МЕХАНИКА

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

 

 

Кафедра радиофизики и электроники

 

Э.К.Гадаева

 

 

МЕХАНИКА

Методические указания к лабораторным работам  

Гадаева, Э.К.

Гадаева; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2010.- 153 с.   Методические указания содержат основные понятия и методы, используемых при обработке результатов экспериментальных…

Содержание

 

1 Лабораторная работа №1. Законы Ньютона...…………………………………..5

1.1 Теоретическая часть……………………………………………………………5

1.2 Экспериментальная часть………………………………………………………9

1.3 Контрольные вопросы……………………………………………………..…..16

1.4 Рекомендуемая литература……………………………………………………16

2 Лабораторная работа №2. Законы сохранения импульса и механической энергии…………………………………………………………...……………...………17

2.1 Теоретическая часть…………………………………………………..……….17

2.2 Экспериментальная часть…………………………………………………..…21

2.3 Контрольные вопросы…………………………………………….………..….26

2.4 Рекомендуемая литература……………………………………………………26

3 Лабораторная работа №3. Маятники……………….………………….……….27

3.1 Теоретическая часть………………………………………………………...…27

3.2 Экспериментальная часть……………………………………………………..31

3.3 Контрольные вопросы………………………………………….………….…..36

3.4 Рекомендуемая литература……………………………………………………37

4 Лабораторная работа №4. Основное уравнение динамики вращательного движения………..………………..………………………………………..……..……..38

4.1 Теоретическая часть…………………….…………………………...…………38

4.2 Экспериментальная часть…………………………………………………...…42

4.3 Контрольные вопросы……………………………………………….……..….50

4.4 Рекомендуемая литература……………………………………………...…….50

5 Лабораторная работа №5. Теорема Гюйгенса-Штейнера……………….……..51

5.1 Теоретическая часть……………………………………….………….……..…51

5.2 Экспериментальная часть…………………………………………………...…59

5.3 Контрольные вопросы……………………………………………………….…62

5.4 Рекомендуемая литература…………………………………………………….62

6 Лабораторная работа №6. Определение момента инерции колеса…………....63

6.1 Теоретическая часть………………………………………………………...….63

6.2 Экспериментальная часть……………………………………………………...71

6.3 Контрольные вопросы………………………………………………………….73

6.4 Рекомендуемая литература…………………………………………………….73

7 Лабораторная работа №7. Закон сохранения момента количества движения……………………………………………………………………………….......74

7.1 Теоретическая часть……………………………………………………………74

7.2 Экспериментальная часть………………………………………………….…..78

7.3 Контрольные вопросы……………………………………………………….…87

7.4 Рекомендуемая литература…………………………………………………….88

8 Лабораторная работа №8. Изучение деформации растяжения и сжатия……..89

8.1 Теоретическая часть……………………………………………………………89

8.2 Экспериментальная часть………………………………………………….…..99

8.3 Контрольные вопросы………………………………………………………...105

8.4 Рекомендуемая литература…………………………………………………...105

9 Лабораторная работа №9. Изучение деформации кручения и сдвига…….…106

9.1 Теоретическая часть…………………………………………………………..106

9.2 Экспериментальная часть…………………………………………………….111

9.3 Контрольные вопросы…………………………………………………..….…116

9.4 Рекомендуемая литература…………………………………………………...116

10 Лабораторная работа №10. Коэффициент качения…………………….……117

10.1 Теоретическая часть……………………….…………………………….…..117

10.2 Экспериментальная часть……………………………………………….…..122

10.3 Контрольные вопросы……………………………………….………………125

10.4 Рекомендуемая литература………………………………………………….125

11 Лабораторная работа №11. Тензор инерции твердого тела…...……………126

11.1 Теоретическая часть………………………………………………………....126

11.2 Экспериментальная часть………………………………………………..….133

11.3 Контрольные вопросы…………………………………………………….…138

11.4 Рекомендуемая литература………………………………………………….138

12 Лабораторная работа №12. Свободные и вынужденные колебания…….…139

12.1 Теоретическая часть……………………………………………….………...139

12.2 Экспериментальная часть………………………………………….………..144

12.3 Контрольные вопросы……………………………………………….………152

12.4 Рекомендуемая литература………………………………………………….152

Приложение А…………………………………………………………….…..…...153

Лабораторная работа №1. Законы Ньютона

Цель работы: 1) изучение законов равноускоренного движения.

2) изучение законов динамики поступательного движения.

3) проверка второго закона Ньютона с помощью машины Атвуда.

 

Теоретическая часть

В кинематике, где речь идет лишь об описании движений и не затрагивается вопрос о причинах, вызывающих эти движения, никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета нет, и все они в этом отношении равноправны. Иначе обстоит дело в динамике: законы механики в разных системах отсчета имеют, вообще говоря, различный вид и может оказаться, что в произвольной системе отсчета законы даже совсем простых явлений будут весьма сложными.

Можно предположить, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки целиком обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Свободная материальной точка, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему отсчета называют инерциальной.

Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом. Первоначальными опытами было установлено, что такой системой отсчета является Земля. Последующие более точные опыты (например, опыт Фуко) показали, что эта система отсчета не совсем инерциальная[1], а именно: были обнаружены ускорения, существование которых нельзя объяснить действием каких-либо определенных тел. В то же время наблюдения над ускорениями планет показали инерциальность гелиоцентрической системы отсчета, связанной с центром Солнца и «неподвижными» звездами.

Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, является также инерциальной. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называют неинерциальными.

Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы. Данное утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея – одного из важнейших принципов ньютоновской механики.

В качестве первого закона движения Ньютон принял закон инерции:

Тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно, т.е. по инерции.

Одной из важнейших характеристик силы является ее материальное происхождение. Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время,… Электромагнитные и гравитационные силы, напротив, являются силами… Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю,…

Произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе.

Уравнение (1.1) называют уравнением движения материальной точки. На всякую материальную точку зачастую действует несколько сил, поэтому в уравнении… Уравнение движения можно представить и в следующем виде:

Экспериментальная часть

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка, получившая название «машина Атвуда», представляет собой вращающийся с максимально малым трением легкий блок, через который перекинута тонкая нить с грузами массой и (рисунок 1.2). На каждый груз действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения нити, под действием этих сил грузы и начинают свое движение. Меняя массы грузов, можно получать различные ускорения.

Рисунок 1.2 - Схема машины Атвуда

При дальнейшем анализе мы предполагаем, что нить невесома и нерастяжима, сопротивление в оси блока отсутствует, масса блока равна нулю, сопротивление воздуха отсутствует.

Выберем систему координат так, как показано на рисунке 1.2. Уравнения движения каждого груза в этой системе координат имеют вид

(1.5)

- (1.6)

В связи с тем, что нить нерастяжима (x₁+x₂ = l = const), ускорения обоих грузов равны по величине и противоположны по направлению, поэтому уравнение кинематической связи можно записать в виде

(1.7)

Из предположений, сделанных ранее, следует также, что натяжения нитей одинаковы, то есть

(1.8)

Пусть , тогда, решая полученную систему уравнений, получаем значение ускорения:

(1.9)

и величину силы натяжения нити:

(1.10)

Ускорение тел системы всегда меньше ускорения свободного падения и меняется при изменении соотношения между массами обоих грузов.

Для выбранной системы тел можно учесть влияние массы блока и силы трения в его оси. Система уравнений в этом случае дополняется уравнением вращательного движения блока и уравнением кинематической связи между угловым ускорением блока и ускорением одного из грузов. Очевидно, что силы натяжения нитей слева и справа от блока будут отличаться. Окончательно система уравнений имеет вид:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

где — момент инерции блока,

m₀ и R — его масса и радиус,

— коэффициент, зависящий от распределения массы (от формы блока),

— угловое ускорение блока,

M_тр — момент сил трения в оси.

Решая систему уравнений (1.11)–(1.15), получаем значение ускорения

(1.16)

Очевидно, что ненулевые значения силы трения в оси и массы блока уменьшают величину ускорения по сравнению с идеальным случаем.

Машина Атвуда, используемая в данной лабораторной работе, состоит из прикрепленной к основанию вертикальной стойки, на которую нанесена шкала (рисунок 1.3). На верхнем конце стойки имеется легкий блок, способный вращаться с малым трением. Через блок перекинута легкая нить, к концам которой прикреплены два одинаковых груза и . На груз можно помещать добавочные грузы в виде тонких пластин (перегрузки), в результате этого система грузов начинает двигаться с некоторым ускорением. Меняя массу перегрузка, можно менять ускорение системы. После того, как груз с перегрузком проходит некоторое расстояние , перегрузок снимается с помощью кронштейна . После этого грузы начинают двигаться равномерно. На стойке укреплены два фотоэлектрических датчика, соединенные с таймером. При этом верхний фотодатчик соединен с кронштейном G. Фотодатчики могут крепиться на стойке в разных положениях. Система грузов удерживается в состоянии покоя специальной фрикционной муфтой, управляемой с помощью электромагнита.

Рисунок 1.3 - Схема экспериментальной установки

Для измерения времени равномерного движения установка снабжена таймером. При нажатии на клавишу "сброс" происходит обнуление табло таймера. В исходном состоянии систему следует затормозить, включив электромагнит фрикционной муфты с помощью выносного выключателя. При выключении электромагнита происходит освобождение системы, грузы приходят в движение. После этого нужно нажать кнопку "пуск" таймера для подготовки его к измерению. Во время прохождения телом верхнего фотодатчика таймер запускается, он начинает отсчитывать время. Импульс от нижнего фотоэлектрического датчика останавливает работу таймера, результат высвечивается на табло.

Перед выполнением эксперимента следует убедиться, что груз может свободно опускаться, не касаясь кронштейна G и фотодатчиков. В противном случае при помощи винтов, крепящих кронштейн и фотодатчики, следует провести необходимые регулировки.

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Анализ закона движения и определение ускорения

Исходя из анализа движения системы тел, можно предположить, что реальное движение тел на участке L₁ будет равнопеременным. В этом случае закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, будет иметь вид

где — координата, от которой груз начинает свое движение. Учитывая, что при равнопеременном движении скорость меняется по закону

,

получаем

(1.17)

где — скорость груза в момент снятия перегрузка и включения таймера, — координата верхнего фотодатчика. Если в системе отсутствуют силы трения, то с этой же скоростью тело будет проходить расстояние между фотодатчиками после снятия с него перегрузка, т. е.

, (1.18)

где — расстояние между двумя фотодатчиками (x₂ — координата нижнего фотодатчика),

t₂ — время движения на этом участке пути.

Измерения

2 Во время прохождения телом верхнего фотодатчика таймер запускается, он начинает отсчитывать время. Импульс от нижнего фотоэлектрического датчика… Систему тел приводят в движение, для чего выключают электромагнит фрикционной… Таблица 1.1 № опыта L1, 10-2 м t2, с v1, м/с v12, (м/с)2 …

Измерения

2 Поместите на груз один из перегрузков, имеющихся в вашем распоряжении. 3 Определите 3–5 раз время t2 прохождения промежутка . Результаты измерений… Проведите аналогичные измерения, положив на груз два, а затем три перегрузка. Результаты измерений также внесите в…

Обработка результатов

где — число измерений. 2 Вычислить выборочное стандартное отклонение среднего арифметического значения

Основные итоги работы

На основании выполнения работы должно быть показано, что движение системы тел под действием постоянной силы является равноускоренным, показано выполнение 2-го закона Ньютона. Должны быть проанализированы систематические погрешности при проведении эксперимента (по указанию преподавателя).

Контрольные вопросы

1 Что такое инерциальные и неинерциальные системы отсчета? Сформулируйте I-й закон Ньютона.

2 Что такое масса, каковы способы ее измерения?

3 Что такое сила, как ее измерить?

4 Сформулируйте II-й закон Ньютона.

5 Сформулируйте III-й закон Ньютона.

6 Охарактеризуйте гравитационное фундаментальное взаимодействие.

7 Охарактеризуйте электромагнитное фундаментальное взаимодействие.

8 Дайте определение, формулу, покажите точку приложения силы тяжести, упругой силы, силы трения.

9 Выведите формулу для веса тела .

10 Покажите применение алгоритма решения задач по динамике для случая, предложенного преподавателем (например, движение связанных тел, перекинутых через блок, и движущихся по наклонным плоскостям с разными углами наклона к горизонту).

11 Границы применимости классической механики.

12 Сформулируйте условия, при которых получены основные соотношения задачи. Как эти условия влияют на вид решаемой системы уравнений?

Рекомендуемая литература

1.4.1 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

1.4.2 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

1.4.3 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

1.4.4 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

Лабораторная работа №2. Законы сохранения импульса и механической энергии

 

Цель работы:1) изучение закона сохранения импульса и механической энергии.

2) использование законов сохранения движения для решения практических задач механики.

 

Теоретическая часть

 

Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними мы будем называть силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему частиц, которые сохраняют при движении постоянные значения. Эти функции носят название интегралов движения.

Для системы из N частиц, между которыми нет жестких связей, можно образовать 6N-1 интегралов движения. Однако интерес представляют только те из них, которые обладают свойством аддитивности. Это свойство заключается в том, что значение интеграла движения для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Аддитивных интегралов движения имеется три. Один из них называется энергией, второй – импульсом, третий – моментом импульса.

Итак, для замкнутых систем имеют место три закона сохранения – закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.

Законы сохранения представляют собой мощное орудие исследования. Часто точное решение уравнений движения оказывается крайне сложным. В этих случаях с помощью законов сохранения можно и без решения уравнений движения получить ряд важных данных о протекании механических явлений. Законы не зависят от характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно получить ряд важных сведений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными. Подчеркнем, что законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются точными законами, строго выполняющимися также и в релятивистской области.

Импульс частицы. Закон сохранения импульса. По определению импульс частицы

,

где и - ее масса и скорость. Воспользовавшись понятием импульса, запишем основное уравнение динамики в иной форме:

, (2.1)

т.е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. В частности, если , то .

Уравнение (2.1) позволяет найти приращение импульса частицы за любой промежуток времени, если известна зависимость силы от времени. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток времени :

. (2.2)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом силы. Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени зависит не только от значения силы, но и от продолжительности ее действия, или, другими словами, равно импульсу силы за это время. В частности, если , то вектор можно вынести из-под интеграла и тогда .

Рассмотрим произвольную систему частиц. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. Импульс системы есть векторная сумма импульсов ее отдельных частиц:

, (2.3)

где - импульс -й частицы.

Продифференцируем выражение (2.3) по времени:

.

Согласно (2.1),

,

где - силы, действующие на -ю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы);

- сила, действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). Подставив последнее выражение в предыдущее, получим

.

Двойная сумма справа – это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате последнее выражение принимает следующий вид:

, (2.4)

где - результирующая всех внешних сил, .

Согласно выражению (2.4), импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения импульса:

импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е. не меняется со временем:

. (2.5)

При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут меняться со временем. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы.

Механическая энергия. Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и напишем ее уравнение движения:

. (2.6)

Умножив уравнение (2.6) на перемещение частицы , получим

(2.7)

Произведя такую замену в (2.6), придем к соотношению

. (2.8)

Если система замкнута, т.е. , то , а сама величина

(2.9)

остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. В случае изолированной частицы кинетическая энергия является интегралом движения.

Величина, стоящая в правой части выражения (2.8) называется работой, совершаемой силой на пути :

. (2.10)

Скалярное произведение (2.10) можно представить в виде произведения проекции силы на направление перемещения и элементарного пути :

.

Проинтегрируем выражение (2.8) вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2:

.

Левая часть представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1, т.е. приращение кинетической энергии на пути 1-2:

,

а правая – работа силы на пути 1-2.

Итак, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:

. (2.11)

Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу действует сила, то частица находится в поле сил, например, частица может находиться в поле сил тяжести или в поле сил сопротивления. Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным. Отметим, что поле стационарное в одной системе отсчета может быть нестационарно в другой системе отсчета. Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути между этими точками. Вместе с тем имеются стационарные силовые поля, в которых работа, совершаемая над частицей силами поля, не зависит от пути между точками 1 и 2. Такие силы называют консервативными, например, сила тяжести. Или, иначе, работа консервативной силы по замкнутому пути равна нулю. К числу неконсервативных сил относят, например, силы трения и сопротивления.

То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае стационарного поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе стационарное поле консервативных сил, в котором будем перемещать частицу из разных точек в некоторую фиксированную точку . Значит, работа сил поля будет некоторой функцией радиус-вектора точки :

(2.12)

Функцию называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рисунок 2.1). Так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку . Тогда работа на пути 12 может быть представлена в виде

,

или с учетом (11)

Рисунок 2.1 . (2.13)

Таким образом, работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле. Отметим, что потенциальная энергия – функция, определяемая с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной, что несущественно, так как в формулы входит только разность значений в двух положениях частицы.

Потенциальная энергия частицы в поле упругой силы имеет вид ; в гравитационном (кулоновском) поле материальной точки - ; в однородном поле сил тяжести - .

Закон сохранения механической энергии Согласно выражению (2.11) результирующая всех сил, действующих на частицу, может быть представлена как сумма:

,

где - консервативная сила, действующая на частицу со стороны силового поля, в котором она находится,

- сторонние силы, не имеющие отношения к данному полю. Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:

,

где - работа сил поля, - работа сторонних сил. Согласно (2.13), работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы: . Получим следующее выражение:

.

Работа сторонних сил идет на приращение величины – суммы кинетической и потенциальной энергий – полной механической энергии частицы в поле:

.

Если , то полная механическая энергия частицы увеличивается, если , то уменьшается.

Если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время:

.

 

Экспериментальная часть

Описание экспериментальной установки

Идея экспериментальной части данной лабораторной работы заключается в использовании законов сохранения движения для решения конкретной практической задачи механики – определение скорости пули.

Принципиальная схема баллистического маятника показана на рисунке 2.2. Будем предполагать, что движение пули и тела маятника происходит в одной (вертикальной) плоскости. Точкой обозначена горизонтальная ось, вокруг которой происходит движение маятника. Точка — центр масс тела маятника, имеющего цилиндрическую форму. Для простоты рассмотрения будем считать, что пуля застревает в теле маятника таким образом, что ее центр масс находится на прямой ОС. Размерами пули будем пренебрегать. Существенной особенностью баллистического маятника является то, что время действия силы со стороны пули на маятник (время удара) мало по сравнению с периодом колебания маятника. Такие кратковременные силы, имеющие конечный импульс силы, называются ударными силами, а процесс взаимодействия пули и маятника — ударным процессом. Ударный характер взаимодействия приводит к тому, что к концу удара маятник, приобретя некоторую скорость, практически не успевает отклониться на какую-либо заметную величину.

При малых временах соударения ударные силы достигают больших значений, так как за малое время действия изменяют импульс тела на заметную величину. Если за время удара на нити не действуют такие большие ударные силы, то для анализа движения цилиндра сразу после удара достаточно учесть лишь силу, действующую со стороны пули. Движение цилиндра при этом можно будет представить, как вращение вокруг мгновенной оси. Но для того, чтобы не возникали ударные силы натяжения нити, необходимо, чтобы такое движение не приводило к изменению длины нитей. А это означает, что мгновенная ось должна совпадать с осью маятника (точка , рисунок 2.2). Точку пересечения линии действия ударной силы с прямойв этом случае называют центром удара, а сам удар — центральным ударом.

В случае центрального удара натяжения нитей в процессе соударения меняются, так как возникают центростремительные ускорения элементов цилиндра. Однако эти изменения натяжений имеют конечные значения при стремлении времени удара к нулю, поэтому их в процессе соударения можно не учитывать. Если же удар не центральный, то возникают такие ударные натяжения, которые необходимо учитывать при соударении. При этом помимо основного движения возникают высокочастотные колебания, которые довольно быстро затухают.

Обозначим расстояние от точки до центра масс через , а расстояние от точки до центра удара — через . Силу, действующую со стороны пули на цилиндр, обозначим через , момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно вертикальной плоскости симметрии,— через , скорость центра масс цилиндра обозначим через , а угловую скорость цилиндра — через . Пусть удар начинается в момент и заканчивается в момент . Учитывая лишь ударную силу , получим изменение импульса и момента импульса цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс.

, (2.14)

. (2.15)

В случае центрального удара мгновенная ось совпадает c осью маятника, поэтому

. (2.16)

Разделим (2.15) на (2.14) и, учитывая (2.16), получим

(2.17)

Соотношение (2.17) определяет положение центра удара. Он расположен на расстоянии от оси , т. е. несколько ниже центра масс С.

Рассмотрим изменение импульса пули в результате соударения. Обозначим силу, действующую со стороны цилиндра на пулю, через , а скорость пули сразу после удара через . Изменение импульса будет определяться импульсом силы

. (2.18)

Учитывая третий закон Ньютона , из сравнения (2.14) и (2.18) получаем соотношение

(2.19)

Соотношение (2.19) имеет вид закона сохранения импульса, к которому мы пришли, так как не учитывали действия всех сил, кроме сил и . Этому соотношению можно придать вид закона сохранения момента импульса. Для этого умножим левую и правую части (2.19) на . Учитывая (2.16), (2.17), кинематическое соотношение и вводя момент инерции цилиндра относительно оси :

(2.20)

получим

. (2.21)

Заметим, что если бы вместо нитей были жесткие тонкие невесомые стержни с осью в точке , то соотношение (2.21) выполнялось бы и для нецентрального удара. Но в случае нецентрального удара возникали бы ударные силы, действующие на стержни и, в конечном счете, на ось.

Соотношение (2.19) можно также записать в виде

(2.22)

После завершения удара маятник будет совершать колебания. При этом максимальное отклонение от положения равновесия пусть будет определяться углом . Если можно пренебречь потерями энергии за четверть периода, то потенциальная энергия маятника в момент остановки будет равна кинетической энергии маятника сразу после удара:

, (2.23)

где равно изменению высоты центра масс цилиндра при отклонении маятника на угол , то есть

(2.24)

Аналогичная формула получается для изменения высоты центра масс пули .

Учитывая соотношение, связывающее период малых колебаний с моментом инерции

(2.25)

можно вместо момента инерции ввести период . При этом получим из (2.23) с учетом (2.24)

(2.26)

При малых отклонениях и (2.26) переходит в соотношение, связывающее амплитудные значения скорости и отклонения .

Из соотношения (2.22) с учетом (2.26) получим

(2.27)

Если , т. е. размеры цилиндра малы по сравнению с длиной нити, то . При этом различием между и в (2.25) можно пренебречь. Вместо (2.25) в таком случае получим

(2.28)

Из (2.27) с учетом (2.28), пренебрегая различием между и , получим

(2.29)

Формула (2.29) является окончательной формулой, которая используется в данной работе для определения скорости пули.

Установка для определения скорости пули состоит из баллистического маятника, шкалы для отсчета отклонений маятника (рисунок 2.2), пружинной пушки (рисунок 2.3) и набора пуль.

Баллистический маятник представляет собой цилиндр, частично заполненный пластилином и подвешенный в горизонтальном положении на длинных и легких нитях (рисунок 2.2). Масса цилиндра с пластилином равна . В маятник в горизонтальном направлении стреляют из пружинной пушки пулей, имеющей массу и скорость . Пуля входит в пластилин и сообщает маятнику некоторую скорость, в результате чего маятник отклоняется в процессе колебания на некоторый угол, который может быть измерен.

Для того чтобы подготовить пистолет к выстрелу, отводят рычаг 1 (рисунок 2.3) в крайнее положение, сжимая пружину. Вставляют пулю в дуло пистолета 2 и задвигают ее шомполом до конца. Убедившись в том, что пуля, вылетевшая из пистолета, может попасть лишь в маятник, производят выстрел. Для этого курок 3 отводят вертикально вниз. Делают отсчет отклонения маятника, по шкале.

Проведение эксперимента

Прежде всего необходимо убедиться в том, что ось цилиндра в положении равновесия горизонтальна, а вертикальная плоскость, проходящая через ось цилиндра, является плоскостью симметрии. Если эти условия не выполнены, то необходимо подрегулировать длину нитей.

Шкалу, предназначенную для определения отклонения маятника, устанавливают параллельно отсчетной рамке маятника на расстоянии примерно 5-6 мм от нее. Угол отклонения маятника определяется по смещению нити отсчетной рамки в горизонтальном направлении, исходя из условия

(2.30)

где — расстояние от оси маятника до горизонтальной линии шкалы, вдоль которой измеряется смещение нити рамки. При малых углах можно считать, что .

Измерения

1 Определить массу пули с помощью весов. Результаты занести в таблицу 2.1.

2 Произвести выстрелы последовательно с каждой из трех пуль. Результаты отсчета отклонений маятника записать в таблицу 2.1. Для каждой пули необходимо произвести не менее пяти выстрелов и соответственно этому не менее пяти отсчетов отклонения маятника.

Таблица 2.1

пуля	№ опыта	S	<S>,sS	a,	υ,
m1=
…
……

 

Обработка результатов

1 Определить среднее значение отклонения <S> и стандартное отклонение от среднего s_S.

2 По формуле (2.30) для каждой пули найти величину и ее стандартное отклонение. Данные занести в таблицу 2.1.

3 По формуле (2.29) вычислить значение скорости пули и ее стандартное отклонение. Используемые в (2.29) масса цилиндра и расстояние от оси О до центра масс цилиндра даются преподавателем.

 

Основные итоги работы

В результате выполнения работы должны быть определены скорости пуль (не менее трех) разной массы.

 

Контрольные вопросы

1 С какими свойствами пространства и времени связаны законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса?

2 Импульс частицы и системы частиц: определение, формула, направление, единицы измерения.

3 Сформулируйте закон сохранения импульса.

4 Механическая работа: определение, формула, единицы измерения. Физический и геометрический смысл механической работы силы.

5 Получите связь между работой результирующей всех сил и приращением кинетической энергии.

6 Механическая мощность: определение, формула, единицы измерения. Что такое «лошадиная сила»?

7 Какие силы называют консервативными? Докажите, что сила тяжести – консервативная сила и работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит от начального и конечного положения тела или частицы.

8 Покажите, что работа консервативной силы по замкнутому пути равна нулю.

9 Пользуясь выражением (2.12), получите потенциальную энергию частицы в поле упругой силы, в однородном поле сил тяжести и в гравитационном поле материальной точки.

10 Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

11 Получите расчетную формулу для вычисления скорости пули методом баллистического маятника.

 

Рекомендуемая литература

2.4.1 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

2.4.2 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

2.4.3 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

2.4.4 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

Лабораторная работа №3. Маятники

 

Цель работы:1) изучение кинематики и динамики гармонического колебательного движения.

2) изучение физического маятника.

3) измерение ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника (метод Бесселя).

 

Теоретическая часть

 

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т.п.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. В данной работе рассматриваются механические колебания.

Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, сообщаемых ему колесами поезда при прохождении через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта – все эти процессы могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или во всяком случае воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров.

Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

В зависимости от характера воздействия на систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными, или собственными, называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например, длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение. Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем по закону

, (3.1)

где – амплитуда, - фаза, – начальная фаза, – циклическая (круговая) частота колебаний. Эта частота связана с периодом (время одного полного колебания) и линейной частотой (число колебаний в единицу времени) как

. (3.2)

Обратим внимание на различие наименований циклической и линейной частот: .

Продифференцировав (1) по времени, найдем скорость и ускорение:

(3.3), (3.4)

Из этих выражений видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смещение по фазе на , а ускорение – на , т.е. в противофазе со смещением. На рисунке 3.1 приведены графики зависимостей , для случая .

Сопоставив (3.1) и (3.4), видим, что , или

. (3.5)

Это дифференциальное уравнение второго порядка называют уравнением гармонического осциллятора. Его решение[2] содержит две произвольные постоянные: и .

Рисунок 3.1

Для каждого конкретного колебания они определяются начальными условиями – смещением и скоростью в начальный момент :

(3.6)

Отсюда находим искомые постоянные:

(3.7)

Обычно рассматривают только значения в интервале (-π, +π). Уравнение для удовлетворяется двумя значениями в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при котором получаются правильные знаки у и в (3.6).

Простейшей колебательной системой является маятник, например, математический, пружинный или физический. Маятник – это твердое тело, совершающее под действием приложенных к нему сил, колебания около неподвижной точки или оси.

Математический маятник – система из упругой и нерастяжимой нити длиной l и тела массой m, размеры которого малы по сравнению с длиной нити (рисунок 3.2).

 

 

Рисунок 3.2 - Математический маятник Рисунок 3.3 - Пружинный маятник

Имея в виду, что и что проекция силы натяжения , запишем: , или

Из сопоставления с (3.5) видим, что это уравнение, вообще говоря, не является уравнением гармонического осциллятора, поскольку в нем вместо смещения стоит . Однако при малых колебаниях,

Рисунок 3.4 Физический маятник

когда , уравнение совпадает с (3.5):

,

Откуда следует, что частота и период математического маятника, совершающего малые колебания, равны

(3.8)

Пружинный маятник – система из пружины жесткостью и твердого тела массой (рисунок 3.3). Пусть грузик массы , подвешенный на невесомой пружине жесткости , совершает вертикальные колебания. Возьмем начало О оси в положении равновесия, где – растяжение пружины в этом положении. Тогда, согласно основному уравнению динамики, , или

Из сопоставления с (3.5) видим, что это уравнение гармонического осциллятора, колеблющегося около положения равновесия с частотой и периодом , равными

(3.9)

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, жестко связанной с телом. Рассмотрим колебания под действием силы тяжести (рисунок 3.4). Выберем положительное направление отсчета угла против часовой стрелки (ось направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось запишется как и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид

,

где - момент инерции тела относительно оси ,

- расстояние между осью (точка ) и центром масс . При малых колебаниях . При этом условии предыдущее уравнение можно записать так:

.

Колебания будут гармоническими с частотой и периодом , равными

(3.10)

Такую же частоту и период имеет математический маятник длины

,

которую называют приведенной длиной физического маятника.

Точку (рисунок 3.4), которая находится на прямой, проходящей через точку подвеса и центр масс , и отстоит от точки на расстоянии , называют центром качания физического маятника. Центр качания обладает замечательным свойством: если маятник перевернуть и заставить совершать малые колебания вокруг оси , то период колебаний не изменится. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника: экспериментально устанавливают положения двух «сопряженных» точек (осей) и , малые колебания вокруг которых происходят с одинаковой частотой. Это значит, что расстояние =. Определив и , из формулы находим . Что и предлагается сделать в экспериментальной части работы.

Рассмотренные примеры относятся к свободным колебаниям без трения. Можно утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т.е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно. Именно квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критерием малых колебаний. Кроме того, частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от амплитуды и начальной фазы, которые определяются начальными условиями.

Энергия гармонического осциллятора. Рассмотрим этот вопрос на примере материальной точки массы , колеблющейся под действием квазиупругой силы Потенциальная и кинетическая энергии частицы имеют в данном случае такой вид:

(3.11)

Из этих соотношений видно, что значения и сдвинуты друг относительно друга по фазе на : когда максимальна, минимальна, и наоборот. При этом полная энергия сохраняется:

(3.12)

где учтено, что Принимая во внимание (3.12), формулы (3.11) можно переписать так:

Графики зависимостей и даны на рисунке 3.5. Из рисунка видно, что в процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это иллюстрирует и рисунок 3.6.

Рисунок 3.5 Рисунок 3.6

 

Экспериментальная часть

 

Измерение периода колебаний любого физического маятника позволяет в принципе определить ускорение свободного падения g в любой точке земного шара. Эти методы определения g известны и используются в гравиметрии. Маятниковые гравиметрические приборы удобны для определения вариаций g, т.е. нахождения отношений значений g в различных точках поля тяготения, однако их точность уступает другим типам гравиметров. Часто маятниковые приборы используются для решения более сложной задачи — определения абсолютного значения g. В этом случае измерения проводятся таким образом, чтобы исключать из окончательных формул величину момента инерции маятника.

Если амплитуда колебаний маятника мала, например, не более 3–4°, то период колебаний определяется формулой (3.10):

.

Используя теорему Гюйгенса–Штейнера

,

где — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной оси подвеса, представим выражение (3.10) для периода колебаний маятника в следующем виде:

.

Предположим, что мы определили периоды колебаний маятника, подвешивая его в двух разных точках, находящихся на расстояниях и от центра масс. Из уравнений

,

получаем

откуда

.

Используя несложные преобразования, для величины g можно также получить формулу, данную Бесселем:

 

, (3.13)

где .

Если периоды равны между собой ([3]), то

, (3.14)

Рисунок 3.7 - Устройство где - приведенная длина маятника.

оборотного маятника

Описание экспериментальной установки

В данной работе используется оборотный маятник, изображенный на рисунке 3.7. На металлическом стержне опорные призмы B₁ и B₂ жестко закреплены и не перемещаются. Расстояние между ними l фиксировано и его значение либо задано, либо измеряется в начале эксперимента.

Также фиксировано и положение чечевицы C. Вторая чечевица D находится на конце стержня (не между призмами) и может перемещаться по нему, причем ее положение определяется по шкале сквозь прозрачный глазок на чечевице (расстояние между рисками шкалы на стержне 10 мм). Центр масс[4] маятника на схеме обозначен точкой О.

Период колебаний определяется секундомером. Для более точного определения периода колебаний, секундомером измеряется время не одного, а двадцати (или сотни) периодов колебаний.

Проведение эксперимента

Измерения и обработка результатов

1 Подвесьте маятник на призме B₁ (прямое положение маятника) и закрепите чечевицу D в ближайшем к призме B₁ положении, соответствующем совмещению риски глазка чечевицы с одной из поперечных рисок на стержне, это положение чечевицы D, - x, примем за 0 и от него будем измерять другие положения чечевицы D.

2 Отклоните маятник от положения равновесия на 5° (нижний конец стержня — на 5 см от вертикали) и измерьте время T_n, за которое происходят n периодов колебаний, где при измерении времени секундомером или n =5–10 раз при измерении с помощью таймера. Проделайте измерения времени 3 раза и результаты занесите в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Положение чечевицы D, х мм	Прямое положение маятника (на призме B1)	Обратное положение маятника (на призме B2)
n	, с	, с	T1, c	n	, с	, с	T2, c
xmax
x1
x2
x3

3 Перевернув маятник и подвесив его на призме B₂ (обратное положение маятника), повторите измерения по п. 2. Результаты также занесите в таблицу 3.1.

4 Измените положение чечевицы D на максимально возможное[5], повторите измерения по п. 2 и п.3. Результаты также занесите в таблицу 3.1.

5 Обратите внимание на то, что первом измерении ( x₁=0 ) Т₁ было меньше Т₂ а во втором ( х₂= x_max ) - Т₁ больше Т₂. Типичный вид зависимости периодов T₁ и T₂ от координаты чечевицы D . показан на рисунке 3.8. Чтобы можно было пользоваться простой формулой (3.14), необходимо найти такое положение чечевицы D, при котором периоды T₁ = T₂ = T (точка пересечения графиков). При этом l_пр будет равна расстоянию между призмами. Эту точку можно найти, многократно повторив измерения по п.1, каждый раз увеличивая x (положение чечевицы D) на 1 см и затем построив зависимости T₁ и T₂ от x.

Другой способ — итерационный. Проведя измерения в точках x_1, x₂ находящихся с разных сторон от точки пересечения графиков, приближенное положение этой точки следует вычислить по формуле:

(3.15)

Установите чечевицу в положение x₃ и повторите измерения по п. 2 и п. 3. Результаты занесите в таблицу 3.1.

6 Если точка x₃ оказалась слева от точки пересечения графиков рассчитайте x₄ по формуле (3.15), заменив в ней x₁ на x₃. Если же точка x₃ оказалась справа от точки пересечения графиков рассчитайте x₄ по формуле (3.15), заменив в ней x₂ на x₃. Проведите измерения для нового положения чечевицы x_4. Результаты занесите в таблицу 3.1.

7 Если периоды колебаний в точке различаются на величину, превышающую ошибку измерения периода, проделайте еще одну итерацию по п.6.

8 По графику рисунка 3.8 определите ординату пересечения кривых 1 и 2, соответствующую искомому значению величины T, вычислите значение g по формуле (3.14).

9 Оцените погрешность проведенных косвенных измерений величины g, вычисленной по формуле (3.14)[6]:

,

где абсолютную погрешность примите равной 0,5 мм (половине цены деления используемой миллиметровой линейки),

абсолютную погрешность примите равной 0,01 с.

10 Для увеличения точности определения ускорения свободного падения проведите измерения при найденном положении чечевицы аналогично п. 2 для прямого и обратного положений маятника, но измеряйте время ста или двухсот периодов колебаний. Результаты занесите в таблицу 3.2.

11 Рассчитайте значения периодов T₁ и T₂ и оцените погрешности их определения. Данные занесите в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

Номер опыта	Прямое положение маятника (на призме B1)	Обратное положение маятника (на призме B2)
n	, с	, с	T1,	n	, с	, с	T2,
	100- -200				100- -200

 

12 Если не удалось найти положения чечевицы, при котором периоды T₁ и T₂ равны, следует определить а₁ и а₂. Для определения величин а₁ и а₂ снимите маятник с подвеса, проденьте его в петлю из нити, подвешенной на подвесе и найдите центр масс маятника (центр масс будет совпадать с положением нити, когда вы добьётесь равновесия и стержень маятника будет располагаться горизонтально).

При помощи линейки измерьте расстояния а₁ и а₂ от центра масс до призм B₁ и B₂. Повторите измерения три раза, результаты занесите в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

Номер опыта

 

13 Определите средние значения a₁ и a₂, а также их стандартные отклонения. Данные занесите в таблицу 3.3.

14 Сравните полученный в п. 8 и 9 результат с табличным (справочным) значением g: g_теор=(9.81±0,01 )м/с².

15 Определите величину g по формуле (3.13), используя данные таблиц 3.2 и 3.3.

16 Сравните результат вычислений по формуле (3.13) с результатом, полученным по упрощенной формуле (3.14).

 

Основные итоги работы

В результате выполнения работы должно быть получено значение ускорения свободного падения, проведено сравнение с табличным значением и проанализированы причины, приводящие к увеличению погрешности эксперимента.

Контрольные вопросы

1 Что такое колебание? Перечислите виды колебаний по способу возбуждения колебательной системы и приведите примеры.

2 Гармоническое колебание: уравнение, график, кинематические, динамические, энергетические превращения в гармоническом осцилляторе.

3 Математический маятник. Вывод формулы для периода колебаний математического маятника.

4 Пружинный маятник. Вывод формулы для периода колебаний пружинного маятника.

5 Получите формулу для периода пружинного маятника, состоящего из грузика массой и двух пружин, соединенных параллельно, жесткостью и .

6 Получите формулу для периода пружинного маятника, состоящего из грузика массой и двух пружин, соединенных последовательно, жесткостью и .

7 Физический маятник. Вывод формулы для периода колебаний физического маятника.

8 Что называется приведенной длиной физического маятника? Напишите формулу для приведенной длины.

9 Что такое квазиупругая сила? При каких условиях маятник совершает гармонические колебания?

10 Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.

11 Дайте вывод упрощенной формулы (3.13) для расчета ускорения свободного падения.

12 По каким причинам ускорение свободного падения зависит от высоты над уровнем моря, а также от географической широты?

13 Если частица совершает гармонические колебания с амплитудой A, то, какое расстояние она проходит за один период?

14 Если маятниковые часы идут точно на уровне моря, то будут ли они спешить или отставать, если их поднять на высокую гору?

 

3.4 Рекомендуемая литература

3.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

3.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

3.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

3.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

3.4.5 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

 

Лабораторная работа №4. Основное уравнение динамики вращательного движения

 

Цель работы:1) изучение кинематики вращательного движения.

2) изучение динамики вращательного движения.

3) экспериментальная проверка основного уравнения вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси.

 

Теоретическая часть

 

Твердым телом в механике называют неизменяемую систему материальных точек, т.е. такую идеализированную систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Здесь, как и вообще в классической механике, под материальными точками понимают не атомы и молекулы, а достаточно малые макроскопические части, на которые мысленно можно разделить рассматриваемую механическую систему.

Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения (поступательное и вращение вокруг неподвижной оси) являются основными движениями твердого тела. Остальные виды движения твердого тела, оказывается, можно свести к одному из основных движений или к их совокупности.

При поступательном движении все точки тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела, т.е. к задаче кинематики точки. Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиуса-вектора любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси , совершило за время бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1

Положение точки А можно задать радиусом-вектором , проведенным из некоторой точки на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиуса-вектора (рисунок 4.1) связано с углом поворота соотношением

, или в векторном виде

. (4.1)

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота .

Вектор угловой скорости определяют как

, (4.2)

где - промежуток времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором .

Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения :

. (4.3)

Направление вектора совпадает с направлением - приращения вектора .

Вектора , и , направление которых связано с направлением оси вращения, называют аксиальными.

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Выражения для угловой скорости и углового ускорения в проекции на ось вращения имеют следующий вид:

(4.4)

Таким образом, зная зависимость - закон вращения тела, по формулам (4.4) можно найти угловую скорость и угловое ускорение в каждый момент времени. И наоборот, если известны зависимость углового ускорения от времени и начальные условия, т.е. угловая скорость и угол в начальный момент времени, то можно найти и .

Связь между линейными и угловыми величинами. Рассмотрим точку А, положение которой относительно некоторой точки оси вращения характеризуется радиусом-вектором (рисунок 4.2).

Если формулу (4.1) поделить на соответствующий промежуток времени и учесть, что , то

, (4.5)

т.е. скорость любой точки А твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус-вектор точки А относительно произвольной точки оси вращения.

Модуль вектора (4.5) , или

,

где - радиус окружности, по которой движется точка А.

Продифференцировав (4.5) по времени, можно найти полное ускорение точки А: , или

(4.6)

В данном случае (ось вращения неподвижна) , поэтому вектор представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор же - это нормальное ускорение . Проекции вектора на орты равны:

Рисунок 4.2 Отсюда модуль полного ускорения

Динамика вращательного движения. Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Однако следует различать моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки есть вектор. Момент того же вектора относительно оси есть проекция на эту ось его момента относительно точки, лежащей на той же оси.

Пусть - какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы, - радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы (рисунок 4.3).

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-

Рисунок 4.3

вектора на силу :

. (4.7)

Из этого определения следует, что момент не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы. .

Моментом нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки. Если линии действия сил лежат в одной плоскости, то момент всех действующих сил относительно некоторой точки равен моменту их равнодействующей силы относительно той же точки:

(4.8)

где - геометрическая сумма сил , называемая их равнодействующей.

Отметим частный случай двух равных параллельных сил и , направленных в противоположные стороны (пара сил):

т.е. момент пары сил равен моменту одной из этих сил относительно точки приложения другой.

Для определения аналитического выражения момента силы относительно оси надо найти проекцию на ось векторного произведения . Воспользуемся цилиндрической системой координат , связав с частицей а (рисунок 4.4) орты направленные в сторону возрастания соответствующих координат.

В этой системе координат радиус-вектор и сила , действующая на частицу, записываются так:

Рисунок 4.4 ,

где - проекции вектора на соответствующие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение можно представить определителем

,

откуда сразу видно, что момент силы относительно оси

. (4.9)

Аналогом массы во вращательном движении является момент инерции. Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат расстояния ее до оси вращения:

(4.10)

Момент инерции – величина скалярная и аддитивная, поэтому момент инерции системы материальных точек относительно оси :

(4.11)

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно данной оси и вычисляется по формуле:

(4.12)

где и - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии от оси ,

- плотность тела в данной точке.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси , проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице:

Твердое тело	Ось	Момент инерции
тонкий стержень длины	перпендикулярна стержню
сплошной цилиндр радиуса	совпадает с осью цилиндра
тонкий диск радиуса	совпадает с диаметром диска
шар радиуса	проходит через центр шара

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той или иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Гюйгенса-Штейнера:момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси , параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

(4.13)

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать по аналогии с уравнением поступательного движения:

(4.14)

где - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения. Из этого уравнения видно, что момент инерции определяет инерционные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение .

Интегрирование уравнения (4.14) с учетом начальных условий – значений и в начальный момент времени – позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т.е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота, и .

Заметим, что уравнение (4.14) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то момент сил включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

 

Экспериментальная часть

Для экспериментального доказательства соотношения (4.14) в работе используется маятник Обербека (рисунок 4.5). Он состоит из четырех стержней A и двух шкивов различного радиуса R1 и R2, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) груза одинаковой массы m. При помощи груза массы m, прикрепленного к концу намотанной на тот или иной шкив нити, маятник может приводиться во вращение.

Пренебрегая силами трения и считая нить невесомой и нерастяжимой, можем написать:

уравнение вращательного движения маятника

, (4.15)

уравнение поступательного движения груза на нити

, (4.16)

уравнение кинематической связи

, (4.17)

где R — радиус шкива,

T — натяжение нити,

a — линейное ускорение груза массы m,

g — ускорение свободного падения.

Из системы уравнений (4.15 – 4.17) следует, что груз m должен двигаться с постоянным ускорением

. (4.18)

Основное уравнение вращательного движения (4.14) было записано без учета момента сил трения в оси маятника и момента сил вязкого трения о воздух. Для доказательства правомерности такого подхода в процессе выполнения работы необходимо убедиться, что суммарный момент сил трения много меньше момента силы натяжения нити , который равен:

С учетом неравенства << J можно записать, что .

Оценить величину момента сил трения можно, если предположить, что он остается неизменным во время движения. При опускании груза m c отметки на полную длину нити до отметки и при последующем подъеме до отметки изменение его потенциальной энергии будет равно работе силы трения, т. е.

где Ф — полный угол поворота маятника Обербека. При этом

,

поэтому

Таким образом, условие малости момента сил трения окончательно имеет вид

. (4.19)

Описание экспериментальной установки

Установка для изучения вращательного движения состоит из основания (1), вертикальной колонны (2) с закрепленными на ней двумя подвижными кронштейнами (3, 4), на которых крепятся оптические датчики положения. На колонне закреплены два неподвижных кронштейна (5, 6).

На нижнем кронштейне (5) закреплен двухступенчатый вал (7). На верхнем кронштейне (6) закреплен подшипниковый узел (8) и блок (9). Через блок перекинута нить (10), один конец которой намотан на двухступенчатый вал (7), а на втором конце закреплен груз (11). На двухступенчатом валу крепится тело маятника (12).

Кронштейны с фотодатчиками могут крепиться на разной высоте. Расстояние между этими кронштейнами измеряется по шкале, нанесенной на колонне. Время движения грузов определяют с помощью электронного таймера. Подготовка таймера к измерению осуществляется нажатием кнопки «Пуск», после перекрытия луча в первом фотодатчике таймер начинает измерение времени, после перекрытия луча во втором фотодатчике останавливается. При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих измерений убираются с табло таймера нажатием кнопки «Сброс».

 

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Проверка закона движения

Из (4.15)–(4.17) следует, что вращение маятника Обербека происходит с постоянным угловым ускорением , при этом груз m опускается с постоянным линейным ускорением a. Координата x груза, отпущенного без начальной скорости с отметки , меняется по закону (ось х системы координат направлена вниз (см. рисунок 4.5)):

. (4.20)

Используя (4.20), определим время t пролета груза между двумя отметками х1и х2:

. (4.21)

Из (4.21) следует, что в случае равнопеременного движения (a = сonst) и фиксированных положений и , зависимость времени t от является линейной и изображается на графике прямой линией.

Измерения

1 Установить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками.

2 Установить грузы m в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия. Начало движения груза m всегда осуществляют от одного и того же положения , которое необходимо записать в рабочий журнал. Нить наматывают на вал большего диаметра виток к витку.

3 Отпустить груз m и произвести измерение времени t пролета груза между фотодатчиками. Данные записать в таблицу 4.1. Провести измерения времени t для нескольких положений х₁ верхнего датчика (рекомендуется менять х₁ с шагом 5 см). Для каждого положения датчика измерения времени проводят не менее 3-х раз.

4 Для 5–7 первых опытов измерить значения — отметки, до которой поднимается груз при вращении маятника в одну сторону. Результаты занести в таблицу 4.1.

5 Определить значение — максимальной отметки, до которой опускается груз m при своем движении.

 

Таблица 4.1

N	x1i	x4

 

 

Обработка результатов

1 По экспериментальным данным для каждого положения фотодатчика рассчитать среднее значение величины tiпо формуле

,

где N — число измерений при каждом фиксированном положении датчика x₁.

2 Вычислить погрешность измерения (выборочное стандартное отклонение)

.

Результаты вычислений внести в таблицу 4.1.

3 Построить зависимость от , которая должна быть линейной. Близость получившейся зависимости к линейной указывает на то, что движение тела является равнопеременным.

4 Найти среднее значение и оценить величину по формуле (4.19). Убедиться в малости момента сил трения по сравнению с начальным моментом силы натяжения нити.

Упражнение 2. Проверка независимости инерционных свойств маятника (момента инерции) от момента внешних сил

В данном упражнении экспериментально показывается, что инерционные свойства маятника, а именно — момент инерции — не зависят от момента внешних сил.

Из уравнения (4.15) имеем

(4.22)

Из уравнений (4.18), (4.21) следует, что

(4.23)

В уравнение (4.23) входят величины, определяемые экспериментально.

 

Измерения

2 Установить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками. Занести в рабочий журнал координаты фотодатчиков x1, x2 и значение х0. 3 Установить грузы в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от… 4 На конец нити, намотанной на шкив радиуса R1, прикрепить груз массы m1и измерить время прохождения груза между двумя…

Таблица 4.2

Комбинации значений радиусов шки-вов и масс при измерениях

N

x4

,

,

 

Обработка результатов

1 По экспериментальным данным вычислить средние значения величин t и ошибки их измерений для четырех различных опытов. Результаты вычислений занести в таблицу 4.2.

2 Вычислить значения моментов инерции J₁+J₄по формуле (4.23).

3 Определить значение для каждого опыта.

4 Найти отношение аналогично тому, как это было сделано в упр. 1. Результаты занести в таблицу 4.2.

5 Произвести оценку погрешностей полученных результатов. Так как экспериментальные значения Jiявляются результатом косвенных измерений, то стандартное отклонение функции нескольких независимых переменных находится через погрешности прямых измерений по методу, описанному в 1-й части.

6. Проанализировать полученный результат. Для этого отметить значения моментов инерции J₁J₄.с учетом погрешностей на числовых осях (рисунок 4.6). Пересечение этих областей будет указывать на выполнение соотношения (4.22), что свидетельствует о независимости инерционных свойств маятника от момента внешних сил.

 

Рисунок 4.6 - Сравнение моментов инерции

между собой для четырех опытов

Упражнение 3. Проверка основного уравнения вращательного движения и теоремы Гюйгенса–Штейнера

Пусть — суммарный момент инерции четырех грузов с массами m относительно осей, проходящих через их центры масс. При удалении центров грузов на расстояние , от оси вращения (см. рисунок 4.5), согласно теореме Гюйгенса–Штейнера, момент инерции будет равен

(4.24)

Если J₀ — момент инерции маятника без грузов, то полный момент инерции маятника будет равен

(4.25)

При удалении центров масс грузов на расстояние соответственно имеем

(4.26)

С учетом уравнений (4.15)–(4.17) и (4.23) зависимость квадрата времени пролета груза между двумя отметками и от расстояния центра грузов от оси вращения имеет вид

(4.27)

Если , то

(4.28)

Уравнения (4.27) и (4.28) дают

(4.29)

где t₁, t₂ — времена пролета груза между датчиками для случаев l = l₁, l = l₂ соответственно.

В это уравнение входят величины, определяемые экспериментально.

Измерения

1 На конец нити, намотанной на шкив радиуса R₂ (большего по размеру), прикрепить груз наибольшей массы. Фотодатчики оставить в том же положении, что и в упражнении 2.

2 Установить минимальное значение момента инерции маятника. Для этого грузы установить в положение, наиболее близкое к оси. Измерить расстояние от грузов до оси. Занести это значение в таблицу 4.3.

Таблица 4.3

N		x4
………..

 

3 Определить величину t — время прохождения груза между двумя фотодатчиками и — отметку, до которой он поднимается в процессе движения. Измерения проводят 3 раза. Результаты заносят в таблицу 4.3.

4 Изменяя положение грузов на стержнях с шагом 3 см, каждый раз измеряют время . Результаты измерения и соответствующие им расстояния l от оси маятника до центров грузов записать в таблицу 4.3. Одновременно для каждого опыта измеряют и заносят в таблицу 4.3 значения величины m.

Обработка результатов

2 Вычислить погрешности измерения . 3 Построить график зависимости квадрата времени опускания груза (t)2от — это… 4 Проверить соотношение (4.29) для нескольких пар значений .

Контрольные вопросы

 

1 Векторное произведение двух векторов: обозначение, модуль и направление. В чем заключается геометрический смысл векторного произведения двух векторов?

2 Какое тело называют твердым? Какое движение твердого тела называют поступательным и вращательным?

3 Покажите, что плоское движение твердого тела есть совокупность поступательного и вращательного движений твердого тела.

4 В чем заключается физический смысл выражений: и ? Покажите на рисунке взаимное расположение векторов , и в случае ускоренного движения и замедленного движения.

5 Сформулируйте задачу (прямую и обратную) кинематики вращательного движения.

6 Получите связь угловых кинематических величин с линейными величинами.

7 Момент инерции: определение, свойства. Момент инерции твердого тела.

8 Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

9 Момент силы относительно некоторой точки пространства и относительно некоторой неподвижной оси вращения .

10 Сформулируйте основной закон вращательного движения и проведите аналогию с основным законом поступательного движения.

 

Рекомендуемая литература

4.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

4.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

4.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

4.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

Лабораторная работа №5. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Цель работы: 1) изучение динамики вращательного движения.

2) изучение колебаний бифилярного и трифилярного подвеса.

3) экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса–Штейнера и определение моментов инерции тел простой формы.

 

Теоретическая часть

 

В экспериментальной части данной лабораторной работы используется связь между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. В качестве маятника выбрана круглая платформа, подвешенная в поле тяжести на трех длинных нитях (трифилярный подвес). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. На платформу помещаются тела различной формы, измеряются периоды колебаний маятника и определяются значения моментов инерции этих тел. Теорема Гюйгенса–Штейнера проверяется по соответствию между экспериментальной и теоретической зависимостями моментов инерции грузов от их расстояния до центра платформы.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси (рисунок 5.2). Линейная скорость элементарной массы равна

,

где - расстояние массы от оси . Следовательно, для кинетической энергии -й элементарной массы получается выражение

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:

(5.1)

Рисунок 5.2

Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (рисунок 5.2). Эти силы совершают за время работу

Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, получим

где - момент внутренней силы относительно точки ,

- аналогичный момент внешней силы.

Просуммировав последнее выражение по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время :

Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил через , придем к выражению

(5.2)

Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, работа же внешних сил определяется формулой (5.2). К формуле (5.2) можно прийти , воспользовавшись тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии. Взяв дифференциал от обеих частей равенства (5.1), придем к соотношению

Таблица 5.1

Поступательное движение	Вращательное движение
- линейная скорость	- угловая скорость
- линейное ускорение	- угловое ускорение
- масса	- момент инерции
- импульс	- момент импульса*
- сила	- момент силы
	*
	*
* Для неподвижной оси вращения

 

В таблице 5.1 сопоставлены формулы механики вращательного движения с аналогичными формулами механики поступательного движения (механики точки). Из этого сопоставления видно, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы – момент силы, роль импульса – момент импульса и т.д.

Бифилярный и трифилярный подвесы

1 Найдем период малых колебаний бифилярного подвеса. Так называется устройство, состоящее из двух нитей и (рисунок 5.3) одинаковой длины, на которых подвешено некоторое тело . Если тело повернуть вокруг вертикальной оси , то оно начнет совершать крутильные колебания вокруг этой оси. Бифилярный подвес есть система с одной степенью свободы. В качестве координаты, определяющей ее мгновенное положение, удобно взять угол поворота тела вокруг оси , отсчитывая этот угол от положения равновесия.

Рисунок 5.3

Кинетическая энергия системы равна

,

где - момент инерции ее относительно оси . Потенциальная энергия равна

,

где - высота поднятия тела , отсчитываемая от его нижнего положения.

Пусть означает длину в положении равновесия, - расстояние между точками подвеса и , - расстояние . Предполагается, что система симметрична, так что точки и являются серединами отрезков и . Высота найдется из условия нерастяжимости нитей и . Введем прямоугольную систему координат с началом в точке , ось направим вдоль прямой , ось - вниз вдоль прямой , ось - перпендикулярно к ним. Координаты точки все время остаются постоянными и равны

Координаты точки в положении равновесия равны

При повороте системы на угол координаты той же точки становятся равными

Условие постоянства длины нити можно записать в виде

или

После простых преобразований отсюда находим

При малых колебаниях можно положить Кроме того, , и величиной в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении

Потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду

где - обобщенная координата,

- обобщенная скорость.

Известно, что если уравнение энергии приводится к такому виду, то движение механической системы с одной степенью свободы есть гармонические колебания:

,

причем частота колебания .

В нашем случае колебания системы будут гармоническими с периодом

.

Период колебаний пропорционален корню квадратному из момента инерции и обратно пропорционален корню квадратному из массы системы. Возьмем в качестве тела металлический стержень. Выведем его из положения равновесия и заставим совершать крутильные колебания. Они будут сравнительно медленными. Прикрепим затем в точке тяжелый груз и снова заставим систему колебаться. Колебания станут значительно более быстрыми. Дело в том, что груз прикреплен на оси вращения, а потому он, значительно увеличивая массу системы, практически не влияет на ее момент инерции. Уменьшение периода колебаний можно объяснить также следующим образом. В положение равновесия система возвращается под действием горизонтальных составляющих сил натяжения нитей. Подвешивая груз, мы сильно увеличиваем натяжение нитей, а момент инерции увеличивается незначительно. Это и приводит к тому, что колебания становятся более быстрыми.

2 Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса , подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рисунок 5.1). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса ). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси , перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.

Если платформа массы , вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту , то приращение потенциальной энергии будет равно

(5.3)

Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h = 0) с кинетической энергией, равной

(5.4)

где — момент инерции платформы,

— угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем

. (5.5)

Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы от времени t в виде

, (5.6)

где — угловое смещение платформы,

— угол максимального поворота платформы, т.е. амплитуда углового смещения,

— период колебаний.

Для угловой скорости , являющейся первой производной по времени от величины углового смещения, можно записать

. (5.7)

В моменты прохождения платформы через положение равновесия величина будет максимальна и равна по модулю

. (5.8)

Из выражений (5.5) и (5.8) следует, что

. (5.9)

Если — длина нитей подвеса, — расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, — радиус верхнего диска (рисунок 5.1), то легко видеть, что

. (5.10)

Так как

, (5.11)

а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия

, (5.12)

то

. (5.13)

При малых углах отклонения значение синуса этого угла можно заменить просто значением . Учитывая также, что при величину знаменателя можно положить равной , получаем

. (5.14)

При этом закон сохранения энергии (9) примет вид:

. (5.15)

откуда следует, что

. (5.16)

По формуле (5.16) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что — это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.

Соотношение (5.16) используется в лабораторной работе для определения моментов инерции тел простой формы и подтверждения справедливости теоремы Гюйгенса–Штейнера.

Моменты инерции прямоугольной пластины относительно главных центральных осей. Для расчета моментов инерции прямоугольной пластинки со сторонами и и массой выберем систему координат так, чтобы ее оси совпадали с главными центральными осями (рисунок 5.4). Для прямоугольной пластинки легко вычислить моменты инерции относительно осей и . Рассмотрим, например, расчет . Пластинку можно представить как совокупность тонких полосок, для каждой из которых момент инерции вычисляется так же, как для тонкой палочки длины . Момент инерции пластинки относительно оси равен сумме моментов инерции этих полосок, т.е.

. (5.17)

Аналогично вычисляется момент инерции пластинки относительно оси

(5.18)

Для вычисления момента инерции пластинки относительно оси z воспользуемся следующим приемом. Рассмотрим малый элемент массы (рисунок 5.5). Его момент инерции относительно оси равен

, (5.19)

т.е. можно записать, что

, (5.20)

где — моменты инерции этого малого элемента относительно осей и .

Это же соотношение справедливо не только для отдельного элемента, но и для любого плоского тела в целом. В этом легко убедиться, представляя плоское тело как совокупность отдельных малых элементов (рисунок 5.5) и производя суммирование по всем этим элементам.

Таким образом, используя (5.17), (5.18) и (5.20), получим

. (5.21)

Момент инерции треугольной пластины относительно главной центральной оси, перпендикулярной его плоскости. Определим момент инерции треугольной пластины с помощью метода подобия. Этот метод используется обычно в тех случаях, когда изначально ясен общий вид формулы, определяющей момент инерции. В частности, если тело является правильной фигурой, например, квадратом, равносторонним треугольником, то в конечное выражение для момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости фигуры, войдет масса тела и квадрат его характерного размера. Действительно — это единственные параметры, которые могут характеризовать инерционные свойства тела при его вращении вокруг выбранной оси. Таким образом, можно записать

 

, (5.22)

где — момент инерции тела,

— его масса,

— характерный размер (сторона квадрата или треугольника),

— неизвестный коэффициент, который определяется формой тела.

Для пластины, имеющей вид правильного треугольника (рисунок 5.6), момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через точку , может быть выражен формулой (5.22).

Проведем геометрическое построение (рисунок 5.6) и рассмотрим треугольную пластину со стороной . Очевидно, что ее масса будет равна , а формула для момента инерции будет иметь вид

. (23)

Пластина состоит из четырех одинаковых треугольников со стороной каждая. В этом случае момент инерции треугольника можно представить в виде суммы моментов инерции четырех треугольных пластин. Для вычисления этих моментов инерции воспользуемся тем, что центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан. Обозначим через расстояние от центров , , до точки — центра масс пластины . Используя теорему Гюйгенса–Штейнера, получаем:

(5.24)

Учитывая, что , и сравнивая (5.24) с (5.18), находим, что

, (5.25)

откуда следует

. (5.26)

Таким образом, момент инерции плоского тела, имеющего форму равностороннего треугольника, относительно оси, проходящей через центр масс (точку О) перпендикулярно его плоскости, равен

. (5.27)

Моменты инерции тонкого диска относительно его главных центральных осей.

Для расчета моментов инерции тонкого диска массы и радиуса выберем систему координат так, чтобы ее оси совпадали с главными центральными осями (рисунок 5.7). Определим момент инерции тонкого однородного диска относительно оси , перпендикулярной к плоскости диска. Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом и наружным . Площадь такого кольца , а его масса , где — площадь всего диска. Момент инерции тонкого кольца найдется по формуле . Момент инерции всего диска определяется интегралом

. (5.28)

Для определения воспользуемся симметрией диска и утверждением (5.20), полученным при расчете момента инерции прямоугольной пластины. При этом из (5.20) получаем

, (5.29)

откуда

. (5.30)

Экспериментальная часть

Экспериментальная установка

Тела на платформу необходимо класть строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для облегчения определения положения грузов и более… Вращательный импульс, необходимый для запуска крутильных колебаний, сообщается… Для измерения периода колебаний используется секундомер. Чтобы увеличить точность, следует измерять время 10-20…

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Проверка теоремы Гюйгенса–Штейнера

Измерения

1 Произвести взвешивание грузов. 2 Установить грузы в центре платформы, положив их один на другой. Создать…

Таблица 5.2

Номер опыта	a	a2	n	tn		Ji
………….

 

3 Расположить грузы симметрично на платформе. Провести измерения времени колебаний для 5–7 положений грузов, постепенно перемещая их к краям платформы. Рекомендуется проводить измерения через 1 см. Занести в таблицу 5.2 значения расстояний от центра масс каждого тела до центра платформы, число колебаний n и значения времени этих колебаний

Обработка результатов

2 Занести в таблицу значения 3 Для каждого положения грузов найти значения момента инерции платформы с… 4 Полученные значения нанести на график зависимости момента инерции системы тел от квадрата расстояния центра масс…

Измерения

2 Платформу поочередно нагружают исследуемыми телами таким образом, чтобы их центр масс совпадал с осью вращения платформы. Масса этих тел известна…

Таблица 5.3

Тело	№ опыта	n	tn	<tn>	St	T	ST	J	SJ
1. Пустая платформа
2. Платформа с квадратной пластиной
3. Платформа с треугольной пластиной
…………..

Обработка результатов

. 2 Найти средние арифметические значения и среднеквадратичные отклонения для… 3 По формуле (5.16) определить величины ,,и среднеквадратичные отклонения этих величин.

Основные итоги работы

В результате выполнения работы должна быть проведена проверка выполнения теоремы Гюйгенса–Штейнера. Должно быть также проведено сравнение экспериментально найденного значения момента инерции для тела заданной формы с соответствующим значением, рассчитанным теоретически.

Контрольные вопросы

1 Кинематика вращательного движения.

2 Кинетическая энергия тела при его вращении вокруг неподвижной оси.

3 Аналогия между физическими величинами поступательного движения и вращательного движения.

4 Гармоническое колебание: формула, превращения механической энергии при гармоническом колебании. Период, частота и циклическая частота гармонического колебания.

5 Бифилярный подвес и вывод формулы для периода колебаний данной системы.

6 Трифилярный подвес. Метод измерения момента инерции исследуемого тела с помощью крутильных колебаний.

7 Выведите момент инерции прямоугольной пластины относительно ее главных осей.

8 Выведите момент инерции треугольной пластины относительно главной центральной оси, перпендикулярной его плоскости.

9 Выведите момент инерции тонкого диска относительно его главных центральных осей.

Рекомендуемая литература

5.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

5.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

5.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

5.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

5.4.5 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

 

Лабораторная работа №6. Определение момента инерции колеса

Цель работы:1) изучение динамики вращательного движения твердого тела.

2) знакомство с методами определения момента инерции твердого тела.

3) определение момента инерции колеса.

 

Теоретическая часть

 

Уравнение вращательного движения для твердого тела, закрепленного на оси, имеет вид

, (6.1)

где J — момент инерции твердого тела относительно оси вращения,

— его угловое ускорение,

M — момент внешних сил, приложенных к телу.

Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением массы тела. В частности, для тела, состоящего из конечного числа элементарных (малых) масс

, (6.2)

где - расстояние от элементарной массы до оси вращения. В общем случае, для сплошных тел, суммирование заменяется интегрированием:

.

Для некоторых тел простой формы, возможен прямой расчет момента инерции. При сложной форме тела и неравномерном распределении его плотности аналитический расчет величины момента инерции может стать достаточно сложной задачей.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса-Штейнера, а также некоторые другие общие соотношения, о которых идет речь ниже.

Рассмотрим два подобных и подобно расположенных относительно оси вращения тела А и В одной и той же плотности. Полные и элементарные массы этих тел относятся как кубы их линейных размеров . Так как элементарные массы умножаются на квадраты расстояний их до оси вращения, то моменты инерции тел А и В будут относиться как пятые степени тех же размеров. Таким образом, , или

(6.3)

Под следует понимать какой-либо характерный размер тела или расстояние какой-либо характерной точки его от оси вращения. Коэффициент пропорциональности зависит только от формы тела и его расположения относительно оси вращения.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой и с координатами относительно прямоугольной системы координат (рисунок 6.1).

 

 

Рисунок 6.1

Квадраты расстояний ее до координатных осей равны соответственно , а моменты инерции относительно тех же осей

Сложив эти три равенства, получим

Но , где – расстояние точки от начала координат . Поэтому

. (6.4)

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке , равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Если повернуть координатные оси относительно тела, оставляя углы между ними прямыми, то моменты инерции , вообще говоря, изменятся. Однако их сумма останется той же самой, так как она равна , а величина не зависит от ориентации координатных осей. Таким образом, сумма моментов инерции относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, зависит от положения этой же точки и не меняется с изменением ориентации осей.

Момент инерции тонкого стержня, относительно оси, проходящей через его середину. Пусть тонкий стержень имеет длину l и массу m. Разделим его на малые элементы длины dx (рисунок 6.2), масса которых . Если выбранный элемент находится на расстоянии x от оси, то его момент инерции , т.е.

Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до l/2 и удваивая полученное выражение (для учета левой половины стержня), получим

. (6.5)

Это выражение может быть получено и другим способом, с помощью метода подобия. Будем считать, что рассматриваемый стержень состоит из двух половин (рисунок 6.3). Каждая из них имеет массу m/2 и длину l/2. Выражение для момента инерции стержня должно включать его массу и длину, так как это единственные параметры, определяющие его инерционные свойства при вращении. Пусть

, (6.6)

где — неизвестный коэффициент.

Для каждой из половин стержня при вращении вокруг оси можно найти момент инерции, используя (6.6) и теорему Гюйгенса–Штейнера:

(6.7)

Полный момент инерции стержня

(6.8)

Но этот же момент инерции, согласно (6.6), равен . Приравнивая (6.6) и (6.8), имеем

(6.9)

или и, следовательно,

, (6.10)

т.е., что совпадает с (6.5).

Моменты инерции цилиндра относительно его главных центральных осей. Выберем оси системы координат, совпадающие с главными центральными осями так, как показано на рисунке 6.4. Определим момент инерции цилиндра относительно оси . Цилиндр представляет собой набор тонких дисков с массами и моментами инерции . Момент инерции цилиндра равен сумме моментов инерций тонких дисков

, (6.11)

где — радиус цилиндра,

— его масса.

Рисунок 6.4 - Выбор системы координат и представление

цилиндра в виде набора тонких дисков

Пусть теперь ось вращения проходит через центр масс цилиндра перпендикулярно его продольной оси (рисунок 6.4) и совпадает с осью координат . Представим цилиндр как совокупность тонких дисков толщины и массы (— длина цилиндра). Момент инерции тонкого диска относительно оси с помощью теоремы Гюйгенса–Штейнера равен

, (6.12)

где — расстояние от диска до центра цилиндра.

Момент инерции всего цилиндра найдем после интегрирования по (по всей длине цилиндра):

, (6.13)

откуда получаем

. (6.14)

 

Момент инерции цилиндра с центральным отверстием относительно его продольной оси. Однородный цилиндр массы с внешним радиусом и внутренним радиусом (рисунок 6.5) можно рассматривать как сплошной цилиндр радиуса , массы , из которого вырезано отверстие — цилиндр радиуса , массы . Очевидно, что и, так как и , то

. (6.15)

Момент инерции шара. Сплошной шар массы и радиуса можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами , радиусом , толщиной (рисунок 6.6).

Рассмотрим малый элемент сферического слоя с координатами x, y, x. Его моменты инерции относительно осей проходящих через центр слоя — ,,, равны

Таким образом, можно записать

(6.16)

Так как для элементов сферического слоя то

После интегрирования по всему объему слоя получим

(6.17)

Так как, в силу симметрии для сферического слоя

, а ,

то

.

Интегрируя по всему объему шара, получаем

.

Окончательно (после интегрирования) получим, что момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр равен

(6.18)

В данной работе применяются два способа экспериментального определения момента инерции: с помощью анализа колебаний физического маятника, составной частью которого является исследуемое тело, и с помощью изучения вращательного движения этого тела.

Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его колебаний как физического маятника.

Уравнение движения такого маятника имеет вид , (6.19) где — моменты инерции твердого тела А и дополнительного грузика B относительно оси О,

Экспериментальная часть

Экспериментальная установка

 

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Определение момента инерции колеса методом колебаний

Измерения

2 После этого не менее трех раз измеряют расстояние L от оси вращения до центра масс груза. Результаты заносятся в таблицу 6.1.

Таблица 6.1

N	n	tn	Tn	<T>	ST	Ln	<L>	SL	mк, mг	J	SJ

 

3 Взвешивают груз и съемный стакан для его крепления. Значение суммарной массы заносят в таблицу 6.1.

Обработка результатов

2 Вычислить выборочные стандартные отклонения (средне-квадратичные ошибки среднего арифметического) для Т и L. 3 По полученным данным, пользуясь уравнением (6.25) и учитывая, что в этом… 4 Оценить погрешности для , используя следующую формулу для расчета погрешностей косвенных измерений:

Измерения

2 Несколько раз измерить радиус цилиндра, на который наматывается нить.

Таблица 6.2

n

x1

x2

Dt

аn

<а>

Sa

x0

x3

x4

<Mтр>

SMтр

…………..

 

Обработка результатов

2 Поскольку , определяются для различных значений , то будем считать полученные значения ускорений и моментов сил трения независимыми. Найти… 3 Вычислить выборочное среднее значение радиуса цилиндра и среднеквадратичную… 4 По формуле (6.29) определить значение момента инерции колеса и его погрешность.

Рекомендуемая литература

6.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

6.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

6.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

6.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

6.4.5 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

 

Лабораторная работа №7. Закон сохранения момента количества движения

Цель работы: 1) изучение динамики вращательного движения.

2) проверка закона сохранения момента количества движения (импульса).

 

Теоретическая часть

 

Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения, - это момент импульса (момент количества движения).

Момент импульса частицы. Рассмотрим частицу, пусть - радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки выбранной системы отсчета, а - ее импульс в этой системе.

Моментом импульса частицы относительно точки (рисунок 7.1) называют вектор , равный векторному произведению векторов и :

(7.1)

Из этого определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки в направлении

Рисунок 7.1

вектора и вектор образуют правовинтовую систему. Модуль вектора равен

, (7.2)

где - угол между и , - плечо вектора относительно точки (рисунок 7.1).

Чтобы выяснить, какая величина отвечает за изменение момента импульса частицы, продифференцируем выражение (7.1) по времени:

.

Так как точка неподвижна, то вектор равен скорости частицы, т.е. совпадает по направлению с вектором , поэтому

.

Согласно второму закону Ньютона, , где - равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

.

Величина, стоящая в правой части последнего уравнения есть момент силы относительно точки .

Таким образом, получаем уравнение моментов:

. (7.3)

Уравнение моментов позволяет получить ответ на два вопроса:

1) найти момент силы относительно интересующей точки в любой момент времени , если известна зависимость от времени момента импульса частицы, относительно той же точки;

2)определить приращение момента импульса частицы относительно точки за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы , действующего на эту частицу (относительно той же точки ).

Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса, решение второго – к интегрированию уравнения (7.3):

(7.4)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время.

Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось . Пусть относительно некоторой точки на оси момент импульса частицы равен .

Моментом импульса относительно оси называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки данной оси и обозначают .Нахождение аналитического выражения для сводится к нахождению проекций на ось векторного произведения .

Воспользуемся цилиндрической системой координат , связав с частицей (рисунок 7.2) орты ,направленные в сторону возрастания соответствующих координат. В данной системе координат радиус-вектор и импульс частицы записывают так:

,

где - проекции вектора на соответствующие орты.

Рисунок 7.2

Из векторной алгебры известно, что векторное произведение можно представить определителем

откуда сразу видно, что момент импульса частицы относительно оси

, (7.5)

где - расстояние частицы от оси . Имея в виду, что , получаем

, (7.6)

где - проекция угловой скорости, с которой поворачивается радиус-вектор частицы.

Закон сохранения момента импульса. Выберем произвольную систему частиц. Момент импульса данной системы частиц можно представить как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

, (7.7)

где все векторы определены относительно одной и той же точки заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы – величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Продифференцируем уравнение (7.7) по времени и представим момент всех сил, действующих на частицу в виде суммы моментов внутренних и внешних сил, т.е. , получим:

.

Здесь первая сумма – это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки , вторая сумма – суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки .

Суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Действительно, внутренние силы – это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т.е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т.е. уравновешивают друг друга, а, значит, .

В результате последнее выражение принимает вид

(7.8)

где - суммарный момент всех внешних сил. Уравнение (7.8) утверждает: производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Т.е. момент импульса системы может меняться под действием только суммарного момента всех внешних сил. Отсюда вытекает другое важное утверждение – закон сохранения момента импульса:момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е. не меняется со временем относительно любой точки инерциальной системы отсчета:

. (7.9)

Поучительные демонстрационные опыты на закон сохранения момента импульса можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. Скамья Жуковского представляет собой угол, сидение которого имеет форму диска. Диск может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках. Во время опыта демонстратор садится или становится на скамью Жуковского и, отталкиваясь от пола, может приводить ее во вращение. После прекращения толчка единственными внешними силами, которые могут создавать момент относительно оси вращения, являются силы трения и сопротивления воздуха. Силы трения благодаря шариковым подшипникам очень малы, а сопротивление воздуха можно не принимать во внимание, пока число оборотов скамьи мало. Поэтому момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Какие бы внутренние движения ни совершались в системе – внутренние движения не могут изменить вращательный импульс. Если демонстратор разведет руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы , а потому угловая скорость вращения должна уменьшится, чтобы остался неизменным вращательный импульс . Если демонстратор сводит руки к оси вращения, то момент инерции уменьшается, а угловая скорость увеличивается.

Рисунок 7.3

С помощью скамьи Жуковского можно демонстрировать и векторный характер момента импульса. Для этой цели применяется велосипедное колесо с утяжеленным ободом. Если колесо вращается вокруг собственной оси, то вследствие осевой симметрии полный импульс его равен нулю. В этом случае момент импульса относительно неподвижной точки не зависит от положения этой точки. С другой стороны, проекция вектора на ось вращения колеса равна , где - момент инерции колеса, а - его угловая скорость. Проекция вектора на любое направление, перпендикулярное к оси колеса, равно нулю ввиду осевой симметрии. Отсюда следует, что вектор момента импульса направлен вдоль оси колеса и по модулю равен .

Рисунок 7.4

Демонстратор садится или становится на скамью Жуковского. Ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рисунок 7.4). Полный момент импульса системы направлен вертикально и равен . Примем вертикальную ось скамьи Жуковского за ось . Так как момент внешних сил относительно оси равен нулю, то проекция полного момента импульса системы на эту ось должна сохраняться. В начале опыта весь вращательный импульс сосредоточен в колесе. Затем демонстратор наклоняет ось колеса на угол . Проекция момента импульса колеса на ось становится равной , т.е. она уменьшается на . Это уменьшение должно быть скомпенсировано возрастанием соответствующей проекции момента импульса скамьи и демонстратора на величину . В результате скамья с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью , определяемой из уравнения , где - момент инерции скамьи. При проекция обращается в нуль – она целиком передается скамье и демонстратору. При изменение вращательного импульса колеса становится максимальным , скамья и демонстратор вращаются с максимальной скоростью . Поворачивая ось, демонстратор придает ей исходное направление – тогда вращение скамьи прекращается.

 

Экспериментальная часть

В эксперименте данной лабораторной работы используется система тел, у которой в процессе движения может меняться конфигурация и, следовательно, ее момент инерции.

Механическая система представляет собой колонку с горизонтальным стержнем, по которому могут свободно перемещаться два цилиндра (рисунок 7.5). Эта колонка может вращаться вокруг своей оси. Для осуществления такого вращения на нее наматывается нить, переброшенная через дополнительный блок. На конце нити подвешен груз массы . В исходном состоянии эта нить намотана на колонку, груз находится в верхнем положении, а цилиндры удерживаются на минимальном расстоянии от оси. Для определенности выберем систему координат так, как показано на рисунке 7.5, совместив ее начало с положением груза в верхней точке.

Рисунок 7.5 Все время движения рассматриваемой механической системы с меняющимся моментом инерции может быть разбито на три стадии. На первой, система, имея наименьший момент инерции, начинает вращаться с ускорением под действием момента силы натяжения нити, на которой подвешен груз . На второй, когда груз полностью опускается (до координаты ), цилиндры освобождаются и меняют свое положение (на рисунке 7.5 новое положение цилиндров показано штриховыми линиями). Момент инерции системы тел в этой стадии быстро увеличивается и становится наибольшим, а угловая скорость вращения уменьшается. В третьей стадии система, имея наибольший момент инерции, вращается замедленно и останавливается. При этом груз поднимется до координаты . Изменение угловой скорости вращения системы со временем может быть изображено примерно так, как показано на рисунке 7.6. Возрастающая ветвь от нуля до точки отвечает первой стадии. Убывающая ветвь, от точки до точки , отвечает третьей стадии. За незначительное время в интервале , угловая скорость быстро уменьшается. Участок кривой соответствует второй стадии, стадии увеличения момента инерции системы. В связи с тем, что время мало, момент силы натяжения нити за это время не успевает существенно вырасти от нулевого значения в момент , и поэтому не успевает заметно изменить момент количества движения колонки.

Рисунок 7.6 - Зависимость угловой скорости колонки от времени

Применяя к этой стадии закон сохранения момента количества движения, получим

, (7.10)

или

, (7.11)

где и ¾ соответственно наименьший и наибольший моменты инерции системы,

¾ наибольшая угловая скорость на первой стадии движения,

¾ наибольшая угловая скорость в третьей стадии движения.

Выразим величины, входящие в уравнения (7.10) и (7.11), через другие параметры системы с изменяющимся значением момента инерции. Для определения угловых скоростей вращения колонки и воспользуемся законом сохранения энергии. Потенциальную энергию груза при примем равной нулю. При опускании груза (при этом цилиндры находятся около колонки) имеем:

, (7.12)

где ¾ ускорение свободного падения,

¾ координата груза в нижней точке,

¾ работа сил трения при опускании груза,

¾ скорость груза в нижней точке, равная (¾ радиус колонки),

¾ кинетическая энергия вращения колонки в момент (рисунок 7.6).

Из уравнения (7.12), с учетом , получаем:

. (7.13)

После полного разматывания нити цилиндры переходят в крайние положения. Момент инерции колонки увеличивается и становится равным , угловая скорость вращения уменьшается и становится равной . При разлете цилиндров, во время их удара о крайние упоры часть механической энергии системы тел переходит в тепло, поэтому кинетическая энергия вращения (в момент времени ) меньше. Закон изменения энергии на участке (см. рисунок 7.6) запишем в виде

, (7.14)

где ¾ работа сил трения при подъеме груза.

Из последнего уравнения получим:

. (7.15)

Определение моментов инерции для двух конфигураций системы может быть осуществлено двумя способами. В первом фиксируют цилиндры в одном из положений и анализируют движение тел системы при опускании груза . При движении с неизменным наименьшим моментом инерции (цилиндры расположены вблизи оси колонки) имеем

уравнение движения груза

, (7.16)

уравнение вращательного движения колонки

, (7.17)

уравнение кинематической связи

, (7.18)

где ¾ ускорение груза на нити,

¾ натяжение нити,

¾ угловое ускорение системы,

¾ момент сил трения.

Из уравнений (7.16), (7.17) и (7.18) имеем

.

Предполагая, что и , получаем

.

В связи с тем, что движение груза равноускоренное,

,

где ¾ время опускания груза в том случае, когда момент инерции колонки неизменен и равен . Из двух последних уравнений получим

. (7.19)

Аналогично при движении системы с неизменным наибольшим моментом инерции имеем

, (7.20)

где ¾ время опускания груза на полную длину нити до отметки .

Используя (7.13), (7.15), (7.19) и (7.20) можно проверить соотношение (7.10). При проверке закона сохранения момента количества движения с использованием соотношения (7.11) отношение моментов инерции можно найти, определяя периоды колебаний крутильного маятника, образованного колонкой с навитой нитью и двумя пружинками с коэффициентом жесткости (рисунок 7.7).

Рисунок 7.7 - Устройство

крутильного маятника

Периоды колебаний такого маятника легко получить, записав уравнение колебаний. Для моментов инерции и периоды колебаний равны соответственно

и . (7.21)

Как видим

. (7.22)

Экспериментальная установка

На диске имеются не указанные на рисунке специальные крепления. Ими можно закрепить, не пользуясь кольцом с нитями, цилиндры у поверхности колонки.…

Проведение эксперимента

Моменты инерции и определяются по формулам (7.19) и (7.20) после экспериментального определения времен опускания груза и . Величины работи определяются экспериментально, исходя из следующих… , (7.23)

Измерения

2 Провести измерения и . При измерениях цилиндры закрепляют у колонки. Навивают нить на колонку, подводя груз к нулю шкалы, останавливают его…  

Таблица 7.1

	i
t1
x3
t2
x4
x2

 

3 Аналогично п.2 провести измерения и . Цилиндры в этом случае располагают в крайних, наиболее удаленных от оси положениях.

4 Провести измерения величины т. е. координаты, до которой поднимется груз после изменения момента инерции системы. Для этого поступают следующим образом. Приблизив цилиндры к колонке, надевают пластинку кольца на конец стерженька фиксатора. Навивают виток к витку нить, соединенную с грузом, на колонку с пластинкой до тех пор, пока груз не будет на нулевой отметке шкалы. Останавливают возможные колебания груза. Освобождают колонку, после полного разматывания нити цилиндры освобождаются и переходят в положения, наиболее удаленные от оси. Отмечают положение груза на шкале , когда он, начав подниматься, вновь остановится. Измерение производится 3–5 раз. Результаты измерений заносятся в таблицу 7.1.

 

Обработка результатов

1 По экспериментальным данным рассчитываются средние значения величин (где j =2¾4) с использованием формулы[7]

,

где N ¾ число измерений. Аналогичные вычисления делаются и для и .

2 Вычислить выборочное стандартное отклонение

.

Результаты вычислений занести в таблицу 7.1.

3 С помощью формул (7.25) и (7.27) вычисляют значения и .

4 Произвести оценку погрешностей полученных значений и . В связи с тем, что измеряемая величина является косвенно измеряемой, то стандартное отклонение ошибок функции нескольких независимых переменных находится через соответствующие стандартные отклонения средних значений.

или

Аналогично для получаем

.

Результаты вычислений , и , заносятся в таблицу 7.2.

Таблица 7.2

 

5 С помощью формул (7.23) и (7.28) определить величины работы и .

6 Провести оценку погрешностей и , используя методику, применяемую для определения погрешностей и (см. п.4). Результаты вычислений А₁, и A₂, заносятся в таблицу 7.2.

7 По формулам (7.19), (7.20) найти и .

8 Провести оценку погрешностей и аналогично тому, как это делалось для и (в п. 4). Результаты вычислений заносятся в таблицу. 7.2.

Упражнение 2. Определение отношения моментов инерции для двух конфигураций системы тел

Измерения

Таблица 7.3

N	tn1			tn2

 

Обработка результатов

2 Найти выборочные стандартные отклонения и величин и . 3 Вычислить средние значения и их стандартные отклонения для периодов и : ,.

Таблица 7.4

,	,

Упражнение 3. Определение моментов количества движения механической системы для двух положений цилиндров. Проверка закона сохранения момента количества движения.

В связи с тем, что для расчета моментов количества движения используются данные, полученные в упр.1 и упр.2, в данном упражнении осуществляется лишь обработка результатов.

1 С помощью формул (7.13) и (7.15) вычислить значения и , используя значения (таблица 7.1), и (таблица 7.2) и и (таблица7.2).

2 Произвести оценку погрешности полученных результатов по формулам для косвенных измерений. Результаты вычислений заносятся в таблицу 7.5.

Таблица 7.5

 

3 Вычислить моменты количества движения при двух положениях цилиндров и . Провести оценку погрешностей определения моментов количества движения. Результаты вычислений занести в таблицу 7.5.

4 Вычислить отношение . Провести оценку погрешностей этой величины. Результаты вычислений внести в таблицу 7.5.

Рисунок 7.9 - Графическое представление результатов вычисления моментов количества движения для системы тел, исследуемых в работе

5 Провести сравнение экспериментально определенных значений моментов количества движения системы тел при двух ее конфигурациях. Для чего на оси значений (см. рисунок 7.9) отметить значения и , а также их стандартные отклонения и (см. рисунок 7.9). На рисунке 7.9 области и имеют различную штриховку. Пересечение этих областей указывает на выполнимость закона сохранения момента количества движения.

Рисунок 7.10 - Схематическое представление выполнимости закона сохранения моментов количества движения для системы тел, исследуемых в работе

6 Выполнимость закона сохранения момента количества движения cогласно (7.11) также следует из равенства отношений и . Поэтому необходимо провести сравнение экспериментально определенных значений этих отношений. Для этого на оси численных значений (см. рисунок 7.10) отметить значения и , взятые из таблицы 7.4, а также их стандартные отклонения (см. рисунок 7.10). Пересечение этих областей указывает на выполнимость закона сохранения момента количества движения.

 

Основные итоги работы

    7.3 Контрольные вопросы:

Рекомендуемая литература

7.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

7.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

7.4.3 Матвеев, А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1986. – 320 с.

7.4.4 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

7.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

7.4.6 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

 

Лабораторная работа №8. Изучение деформации растяжения и сжатия

Цель работы: 1) изучение теории деформаций.

2) изучение деформаций растяжения и изгиба.

3) экспериментальное определение модуля Юнга для нескольких материалов.

 

Теоретическая часть

Все реальные тела деформируемы. Под действием приложенных сил они меняют свою форму или объем. Такие изменения называются деформациями. В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил. Пластическими или остаточными деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил. На пластических деформациях основана холодная обработка металлов — штамповка, ковка и пр. Является ли деформация упругой или пластической зависит не только от материала тела, но и от приложенных сил. Если сила (точнее, сила, отнесенная к единице площади, т. е. напряжение) не превосходит известной величины, называемой пределом упругости, то возникающая деформация будет упругой. Если же она превосходит этот предел, то возникающая деформация будет пластической. Предел упругости имеет различные значения для разных материалов.

Механика описывает упругие свойства тел посредством некоторых эмпирически вводимых упругих постоянных, различных для различных тел и зависящих от их физического состояния (например, от температуры). Более глубоким является физический подход, рассматривающий явление деформаций с атомистической точки зрения. Этим занимается теория твердого тела. Она позволяет в принципе не только вывести основные уравнения механики деформируемых тел с атомистической точки зрения, но и установить связь между упругими постоянными вещества и другими его физическими свойствами.

Тела мы будем считать идеально упругими. Так называются идеализированные тела, которые могут претерпевать только упругие, но не пластические деформации. Такими идеализациями можно пользоваться, когда силы, приложенные к реальным телам, не превосходят предела упругости. Для идеально упругих тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими деформациями. Для малых деформаций справедлив закон Гука. Это приближенный закон, согласно которому деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

Твердые тела разделяются на изотропные и анизотропные. Изотропными называются тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы. Анизотропными называются тела, свойства которых в разных направлениях не одинаковы. Типичными представителями анизотропных тел являются кристаллы. Металлы обычно имеют поликристаллическую структуру, т. е. состоят из мельчайших беспорядочно ориентированных кристалликов. Каждый из таких кристалликов есть тело анизотропное. Но кусочек металла, содержащий множество их, ведет себя как изотропное тело, если всевозможные ориентации кристалликов представлены с одинаковой вероятностью. В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристалликов может нарушиться. Тогда после пластической деформации металл становится анизотропным. Такое явление наблюдается, например, при вытягивании или кручении проволоки.

Рассмотрим однородный стержень и приложим к его основаниям растягивающие или сжимающие силы . Стержень будет деформирован, т. е. растянут или сжат. Мысленно проведем произвольное сечение , перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия стержня необходимо, чтобы на его нижнее основание действовала сила . Это есть сила, с которой нижняя часть стержня тянет верхнюю или давит на нее. Такая сила возникает потому, что нижняя часть стержня деформирована. Верхняя часть стержня также деформирована и действует на нижнюю с силой, равной противоположно направленной. Такие силы действуют в любом поперечном сечении растянутого или сжатого стержня. Таким образом, деформация стержня связана с возникновением упругих сил, с которыми каждая часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Силу, отнесенную к единице площади поперечного сечения стержня, называют напряжением. В рассматриваемом случае напряжение перпендикулярно к поперечному сечению стержня. Если стержень растянут, то это напряжение называется натяжением и определяется выражением

,

где — площадь поперечного сечения стержня. Если же стержень сжат, то напряжение называется давлением и численно определяется той же формулой

.

Давление можно рассматривать как отрицательное натяжение и наоборот, т. е.

.

Это замечание освобождает от необходимости рассматривать отдельно растяжение и сжатие.

Пусть — длина недеформированного стержня. После приложения силы его длина получает приращение и делается равной . Отношение

называется относительным удлинением стержня. В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил — отрицательно. Относительное удлинение, взятое с противоположным знаком, называется относительным сжатием.

Опыт показывает, что для не слишком больших упругих деформаций натяжение (или давление ) пропорционально относительному удлинению (или относительному сжатию)

или , (8.1)

где — постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния - модуль Юнга.

Формулы (8.1) выражают закон Гука для деформаций растяжения и сжатия стержней. Это приближенный закон. Для больших деформаций он может не оправдываться.

Более общим, чем закон Гука, является утверждение, что в случае упругих деформаций натяжение является однозначной функцией относительного удлинения : . Эта функция должна обращаться в нуль при , так как с исчезновением деформации исчезает и напряжение . Поэтому в разложении функции в ряд по степеням должен отсутствовать нулевой член. Это разложение должно иметь вид

,

причем коэффициенты являются постоянными, зависящими только от материала стержня и его физического состояния. Если относительное удлинение мало, то высшими степенями можно пренебречь. Тогда мы придем к закону Гука (8.1).

Если деформации малы, то упругие постоянные тел не изменяются при деформациях. Отсюда следует, что если на тело действует несколько сил, то для вычисления результирующей деформации можно вычислить сначала деформации, вызываемые каждой силой в отдельности (как если бы остальных сил не было вовсе), а затем полученные деформации сложить. Это важное положение называется принципом суперпозиции малых деформаций.

Для того чтобы деформировать тело, над ним надо совершить работу. В свою очередь, деформированное тело само может совершать работу. Оно обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе сил, затраченной на деформацию тела, при том существенном условии, что вся эта работа тратится только на приращение упругой энергии тела и не расходуется на увеличение кинетической энергии. Для того чтобы кинетическая энергия при деформации не возникала, надо деформацию производить достаточно медленно, постепенно увеличивая внешние силы, чтобы в любой момент времени каждая часть тела практически находилась в состоянии равновесия. Иначе говоря, при деформации внешние силы все время должны уравновешиваться возникающими при этом силами внутренних напряжений. Если это условие выполнено, то говорят, что тело совершает квазистатический процесс.

Приложим к стержню растягивающую силу и будем непрерывно и медленно увеличивать ее от начального значения до конечного значения . При этом удлинение стержня будет меняться от до конечного значения . По закону Гука , где — коэффициент упругости. Вся работа в рассматриваемом процессе пойдет на приращение упругой энергии , а потому

. (8.2)

Так как в конечном состоянии , то . Учитывая это, получим

. (8.3)

Если бы к недеформированному стержню мы сразу приложили постоянную силу , то при удлинении его на была бы совершена вдвое большая работа . Так как запас упругой потенциальной энергии в стержне получился бы тем же самым, то ясно, что только половина работы расходуется на приращение упругой энергии стержня. Вторая половина этой работы тратится на кинетическую энергию упругих колебаний и волн, которые всегда возбуждаются в стержне при неквазистатическом воздействии на него. При квазистатическом воздействии колебания и волны не возникают. Вот почему в формулах (8.2) и (8.3) появился числовой коэффициент 1/2.

Найдем объемную плотность упругой энергии, т. е. упругую энергию, и приходящуюся на единицу объема растянутого (или сжатого) стержня. Она найдется делением выражения (8.3) на объем стержня . Это дает

. (8.4)

Если воспользоваться законом Гука, то эту формулу нетрудно привести к виду

. (8.5)

Опыт показывает, что под действием растягивающей или сжимающей силыизменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила — растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются. Пусть — толщина стержня до деформации, — после деформации. За толщину можно принять для круглого стержня его диаметр, для прямоугольного — одну из сторон его прямоугольного основания и т. д. Если сила — растягивающая, то величина - называется относительным поперечным сжатием стержня (). Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона по имени французского ученого Симеона Пуассона (1781 — 1840):

. (8.6)

Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства. Случай сжимающих сил не обязательно выделять особо так как сжимающую силу можно рассматривать как растягивающую, взятую с противоположным знаком.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона µ полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через и .

Заметим, наконец, что все модули и коэффициенты упругости, с которыми мы имели и будем иметь дело, следовало бы для точности называть изотермическими модулями и коэффициентами. Они характеризуют деформации тел в предположении, что температура их поддерживается постоянной. Это обычно имеет место в случае статических деформаций. Но если деформации динамические (например, волны в упругих средах), то они могут происходить настолько быстро, что разности температур, возникшие при деформации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. Важнейшим является предельный случай, когда между различно нагретыми частями среды теплообмен совсем не происходит. Соответствующие процессы, модули и коэффициенты упругости называются адиабатическими.

Рассмотрим изгиб однородного бруса (балки) произвольного поперечного сечения, которое, однако, должно оставаться одинаковым на протяжении всей длины бруса. Пусть до деформации брус имел прямолинейную форму. Проведя сечения и , нормальные к оси бруса, мысленно вырежем из него бесконечно малый элемент (рисунок 8.2,а), длину которого обозначим через . Ввиду бесконечной малости выделенного элемента можно считать, что в результате изгиба прямые , ,и все прямые им параллельные, перейдут в дуги окружности с центрами, лежащими на оси , перпендикулярной к плоскости рисунка (рисунок 8.2,б). Эта ось называется осью изгиба. Наружные волокна, лежащие выше линии , при изгибе удлиняются, волокна, лежащие ниже линии , укорачиваются. Длина линии остается неизменной. Эта линия называется нейтральной линией. Проходящее через нее сечение (недеформированного) бруса плоскостью, перпендикулярной к плоскости рисунка 8.2,а, называется нейтральным сечением. Таким образом, все наружные волокна будут растянуты, все внутренние — сжаты. Пусть — радиус кривизны нейтральной линии . Тогда , где — центральный угол, опирающийся на дугу . Рассмотрим волокно бруса, находящегося на расстоянии от нейтрального сечения. (Величина положительна, если волокно находится выше нейтрального сечения (рисунок 8.2,б), и отрицательна, если оно находится ниже.) Если брус не слишком толст, так что, то длина рассматриваемого волокна будет , а удлинение . Следовательно, натяжение, действующее вдоль рассматриваемого волокна, , или

. (8.7)

Натяжение, таким образом, меняется линейно с расстоянием . Ниже нейтрального сечения оно отрицательно, т. е. является давлением. Сумма сил натяжения и давления, действующих в сечении , может быть и отличной от нуля. Однако в этом случае на изгиб бруса будет накладываться растяжение или сжатие его, одинаковое для всех волокон. Оно может быть учтено особо и исключено из рассмотрения, когда речь идет об изгибе в чистом виде. Поэтому мы будем считать, что сумма всех сил натяжения, действующих в каждом нормальном сечении бруса, равна нулю, т. е. или в силу (8.7) , где — элемент площади рассматриваемого поперечного сечения. Интегрирование ведется по всему поперечному сечению бруса. Отсюда видно, что нейтральная линия и нейтральное сечение проходят через центр тяжести поперечного сечения бруса. Из соотношения следует, что момент сил натяжения , действующих на сечение, не зависит от того, относительно какой оси он берется. Для вычисления проще всего взять ось, перпендикулярную к плоскости рисунка и проходящую через точку . Очевидно,

,

или

, (8.8)

где введено обозначение

(8.9)

Величина называется моментом инерции поперечного сечения бруса по аналогии с соответствующей величиной, вводимой при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Однако в отличие от последней величины, имеющей размерность массы, умноженной на квадрат длины, (8.9) есть чисто геометрическая величина с размерностью четвертой степени длины.

Можно воспользоваться формулами для моментов инерции, заменив всюду массу на площадь поперечного сечения (рисунок 8.3). Если поперечное сечение бруса имеет форму прямоугольника с шириной и высотой (рисунок 8.3,а), то

. (8.10)

Для кругового поперечного сечения радиуса (рисунок 8.3,б)

. (8.11)

 

Для цилиндрической трубы с внутренним диаметроми наружным (рисунок 8.3,в)

. (8.12)

Для трубы с прямоугольным сечением (рисунок 8.3,г)

. (8.13)

Направим ось вдоль нейтральной линии недеформированного бруса. Ось направим к ней перпендикулярно и расположим в плоскости изгиба. Тогда уравнение нейтральной линии изогнутого бруса можно представить в виде . По известной формуле

.

Если изгиб мал (), то квадратом производной можно пренебречь. В этом приближении

.

Рассмотрим прямой упругий стержень, неподвижно закрепленный одним концом в твердой стенке, а к другому его концу приложена сила (рисунок 8.4,а). Стержень согнется.

Перемещение , которое получает свободный конец стержня, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, зависит от формы стержня, его размеров и модуля упругости. Точный анализ деформаций и напряжений в упругом стержне довольно сложен. Приближенные результаты можно получить, используя так называемую гипотезу Бернулли о том, что в каждом малом объеме стержня происходит только деформация сжатия или растяжения.

Определим деформации стержня под действием момента силы, приложенной к его концу, . Выберем систему координат жестко связанную со стержнем (рисунок 8.4,б). Предположим, что сечение стержня имеет симметричную форму (т.е. ) (см. рисунок 8.4, в). Смещение оси стержня в результате действия силыбудем описывать функцией . Для определенности будем считать деформации в стержне достаточно малыми, то есть стрела прогиба . Мысленно вырежем из этого стержня кусочек малой длины (рисунок 8.4,б). При малых деформациях нормальное напряжение в каждом слое выделенного участка пропорционально его удлинению или укорочению и будет линейно изменяться при удалении от нейтрального слоя, который в нашем случае расположен по середине стержня (рисунок 8.4,г),

, (8.14)

где — расстояние от данного слоя до нейтрального,

— напряжение в самом удаленном слое, находящемся на расстоянии от нейтрального,

— координата элемента стержня .

На каждый слой толщины , удаленный от нейтрального слоя на расстояние , действует усилие

. (8.15)

Причем результирующая всех нормальных усилий, действующих на поперечное сечение стержня, в силу условия (8.14), равна нулю, а момент всех этих усилий должен равняться моменту силы относительно сечения с координатой , (это соответствует выполнению условий равновесия для выделенного объема).

 

 

М

 

 

Момент всех нормальных усилий относительно нейтрального слоя в произвольном сечении с координатой находим, интегрируя по всему сечению:

, (8.16)

где - «момента инерции поперечного сечения» балки.

Определим линию прогиба стержня, закрепленного одним концом в стенке, под действием нагрузки . При малой деформации стержня угол между направлением касательной к упругой линии в точке равен (рисунок 8.4,д)

, (8.17)

а изменение направления касательной при переходе от точки к точке равно

.

Из рисунка 8.4,г и рисунка 8.4,д видно, что относительное удлинение слоя, наиболее удаленного от нейтрального, равно

. (8.18)

Используя закон Гука получаем для

.

Учитывая найденную связь между и (8.16), получаем

.

Откуда получаем окончательно уравнение для определения зависимости :

. (8.19)

Интегрируя уравнение (8.19) от до и учитывая, что , получаем

. (8.20)

Интегрируя (8.20) еще раз от 0 до L, получаем, что стрела прогиба для стержня, закрепленного одним концом в стене, равна

. (8.21)

В случае, когда стержень обоими концами упирается на опорные призмы, а в середине на него действует сила F (рисунок 8.5), стрела прогиба найдется также из уравнения (8.21), но только вместо величины нужно будет поставить , а вместо L — L/2. Действительно, в этом случае изгиба каждая из опор оказывает на стержень противодействие, равное, тогда как средняя часть остается горизонтальной. Таким образом, стержень, опирающийся обоими концами на опорные призмы, ведет себя точно так же, как если бы он был закреплен посередине, а на каждый из обоих концов действовала бы сила . Следовательно, стрела прогиба будет равна

. (8.22)

 

Из (8.22) получаем выражение для Е:

. (8.23)

 

8.2 Экспериментальная часть

Описание экспериментальной установки

Установка собрана (рисунок 8.6) на двух металлических трубах, по которым свободно передвигаются и закрепляются винтами следующие компоненты: передвижная стойка 1, предназначенная для крепления струны 9, стойка 2 в комбинации с рамкой (стременем), 2a — для крепления и изгиба линейки 10, стойка 3 с индикатором смещения 4 для измерения удлинения проволоки и стрелы прогиба, блок натяжения, изменяющий силу натяжения посредством поворота ручки 5. Сила натяжения измеряется динамометром 6, прикрепленным к блоку натяжения. Рамка 7 соединяет динамометр со струной или линейкой и служит упором для датчика индикатора смещения 8. Индикатор перемещений позволяет измерять перемещения жесткой рамки, связанной либо со струной, либо со стержнем. Индикатор (рисунок 8.7) имеет металлический корпус 1, в котором заключен механизм прибора. Через корпус индикатора проходит стержень 2 с выступающим наружу наконечником, всегда находящимся под воздействием пружины. Если нажать на стержень снизу вверх, он переместиться в осевом направлении и при этом повернет стрелку 3, которая передвинется по циферблату, имеющему шкалу в 100 делений, каждое из которых соответствует перемещению стержня на 1/100 мм. При перемещении стержня на 1 мм стрелка 3 сделает по циферблату полный оборот. Для отсчета целых оборотов служит стрелка 4.

 

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Изучение деформации растяжения и определение модуля Юнга

 

Измерения

1 С помощью микрометра определите диаметр струны. Измерения проводят не менее трех раз в различных сечениях струны. Данные занесите в таблицу 8.1. Определите с помощью линейки длину струны. Данные занесите в таблицу 8.1. Все измерения проводят для трех струн из различных материалов.

2 Закрепите исследуемую струну в специальных креплениях. Меняя положение креплений, добиваются того, чтобы струна не провисала.

3 Вращая ручку крепления динамометра, меняют натяжение струны, её удлинение определяют по индикатору. Измерения проведите в диапазоне 1–20 Н с шагом 2Н. Данные занесите в таблицу 8.2.

4 Пункты 2–3 проводят для медной, стальной и алюминиевой струн.

Таблица 8.1

	N	d			L
Медь
Сталь
Алюминий

Обработка результатов

1 Найдите среднее значение диаметра каждой струны и погрешность его определения. Данные занесите в таблицу 8.1.

2 Постройте зависимость удлинения струны от ее натяжения . Убеждаются, что эта зависимость близка к линейной. По экспериментальным данным с помощью метода наименьших квадратов (МНК) строят прямую .

3 Так как напряжение в струне , где — площадь сечения струны, а относительное удлинение , то модуль Юнга можно найти по формуле

.

Определите модуль Юнга, используя найденные значения и .

4 Зная погpешности опpеделения (из МНК), и , найдите погpешность рассчитанного значения модуля Юнга по известным фоpмулам для косвенных измеpений.

5 Соответствующие вычисления (пп.2–4) проводят для различных струн.

Таблица 8.2

№ опыта	сила F, Н	Удлинение струны
Медь	Сталь	Алюминий

 

Упражнение 2. Изучение деформации изгиба стержней с прямоугольным сечением

Измерения

1 Опpеделите с помощью штангенциpкуля попеpечные pазмеpы и трех стержней с прямоугольным сечением (см. pисунок 8.3) из различных материалов. Измеpения пpоводят не менее 3-х pаз в различных сечениях, данные занесите в таблицу 8.3.

Таблица 8.3

	N			Sa			Sb
Стержень 1
Стержень 2
Стержень 3

2 На исследуемый стержень надевается подвес стремени, котоpый кpепится к pамке 7 (рисунок 8.6). Пpи этом концы стеpжня опиpаются на опоpные пpизмы. Поворотом шкалы индикатора совмещают его стрелку с нулем шкалы.

3 Вpащая pучку динамометpа 5 (рисунок 8.6), меняют силу, действующую со стоpоны стpемени на стеpжень. Силу меняйте в диапазоне 5–25 Н с шагом 5 Н. Показания индикатоpа занесите в таблицу 8.4.

4 Пункты 2, 3 повторяют для трех исследуемых стержней.

Таблица 8.4

N	сила F	Прогиб стержня
Стержень 1	Стержень 2	Стержень 3
…….

Таблица 8.5

N	сила F	Прогиб стержня
Стержень 4	Стержень 5	Стержень 6
…….

Обработка результатов

1 Найдите средние значения размеров и для стержней с прямоугольным сечением и диаметры для стержня с круглым сечением. Определите средние квадратичные отклонения этих величин.

2 Постройте зависимость стрелы прогиба от величины внешней силы. Убеждаются, что эта зависимость близка к линейной. По экспериментальным данным с помощью МНК строят прямую .

3 Так как коэффициент пропорциональности между стрелой прогиба и силой в соответствии с соотношением (8.22) равен , то модуль Юнга находят по формуле .

4 Найдите погрешности определения поперечных размеров стержня и так как это делается для прямо измеряемых величин.

5 Зная погpешности опpеделения (из МНК), и , найдите погpешность рассчитанного значения модуля Юнга по известным фоpмулам для косвенных измеpений.

Таблица 8.6 - Стержень 4 (круглого сечения)

N				J4

Таблица 8.7 - Стержень 5 (круглая трубка)

N							J5T

 

6 Сответствующие вычисления проводятся для стержней из различных материалов. Используя табличные данные, определите материалы исследуемых в работе стержней.

 

Упражнение 3. Изучение деформации изгиба стержней, имеющих различные поперечные сечения

Измерения

1 Определите поперечные размеры трех стержней: сплошного круглого (рисунок 8.3,б), в виде круглой трубки (рисунок 8.3,в) и в виде трубки, имеющей прямоугольное сечение (рисунок 8.3,г). Измерения проводят с помощью штангенциркуля не менее трех раз каждое. Данные занесите в таблицу 8.5.-8.7.

2 Исследуемый стержень устанавливают на установке так же, как это делалось при выполнении 2-го упражнения.

3 Вращая ручку динамометра 5 (рисунок 8.6), меняйте силу, действующую со стороны стремени на стержень. Силу меняют в диапазоне 5–25 Н с шагом 5 Н. Показания индикатора занесите в таблицу 8.6.

4 Пункты 2,3 повторяют для трех исследуемых стержней.

 

Обработка результатов

1 Найдите средние значения поперечных размеров исследуемых стержней и погрешности их определения. Данные занесите в таблицы 8.6–8.8.

2 По формулам

, ,

рассчитайте значения моментов инерции поперечных сечений трех исследуемых стержней J_4Т, J_5Т, J_6Т и погрешности их определения (как косвенно измеряемых величин). Данные занесите в таблицы 8.6–8.8.

3 Для каждого из трех стержней, используя МНК, постройте зависимость стрелы прогиба от силы, действующей на стержень . Найдите значение и ее погрешность.

 

 

Таблица 8.8 - Стержень 6 (трубка прямоугольного сечения)

N
J6T

4 Используя соотношение , найдите экспериментальное значение момента инерции по формуле .

Для модуля Юнга используют значения, найденные в упражнении 2. Найдите погрешности определения J_э.

Для каждого стержня сравнивают значения J_т и J_э, нанося их и их доверительные интервалы на числовую ось так, как показано на рисунке 8.8.

6 Определите нормированные значения J_э для трех стержней:

,

где S — площадь поперечного сечения стержня. Сравните J_эн для трех стержней между собой и выясните, какой стержень является более “прочным”.

 

 

Упругие свойства твердых тел

Материал	E, н/м	Материал	E, н/м
Алюминий	6,3–7,5	Магналий
Бронза	10,6	Манганин	12,6
Дерево	0,4–1,8	Медь	10–13
Железо кованное	20–22	Нейзильбер
Сталь	20–22	Никель	20–22
Инвар		Олово	4–5,5
Чугун серый	7,5–13	Платина	16–175
Чугун белый		Свинец	1,5–1,7
Золото	7–9,5	Серебро	7–8
Кварц плавленный		Стекло	5–8
Константан	16,6	Тантал
Латунь	8–10	Цинк	8–13

Основные итоги работы

В результате выполнения работы должно быть показано, что закон Гука выполняется для деформации растяжения и для деформации изгиба. Должны быть получены значения модуля упругости для различных материалов и рассчитаны погрешности их определения, проведен анализ причин, приводящих к увеличению погрешности эксперимента.

Контрольные вопросы

1 Что такое деформация? Упругая и пластическая деформация. Предел упругости.

2 Напряжение: определение, формула, обозначение, единицы измерения. Составляющие напряжения.

3 Деформация растяжения (сжатия). Относительное удлинение. Закон Гука. Коэффициент Пуассона.

4 Энергия упругодеформированного стержня.

5 Выведите выражение для стрелы прогиба стержня.

Рекомендуемая литература

8.4.1 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

8.4.2 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

8.4.3 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

 

 

Лабораторная работа №9. Изучение деформации кручения и сдвига

Цель работы: 1) изучение теории деформаций.

2) изучение деформации кручения и сдвига.

3) экспериментальное определение модуля кручения и модуля сдвига.

 

Теоретическая часть

 

Все реальные тела деформируемы. Под действием приложенных сил они меняют свою форму или объем. Такие изменения называются деформациями. В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил. Пластическими или остаточными деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил. На пластических деформациях основана холодная обработка металлов — штамповка, ковка и пр. Является ли деформация упругой или пластической зависит не только от материала тела, но и от приложенных сил. Если сила (точнее, сила, отнесенная к единице площади, т. е. напряжение) не превосходит известной величины, называемой пределом упругости, то возникающая деформация будет упругой. Если же она превосходит этот предел, то возникающая деформация будет пластической. Предел упругости имеет различные значения для разных материалов.

Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к противоположным граням его и равные и противоположно направленные касательные силы (рисунок 9.1,а). Они образуют пару сил, под действием которых куб начинает вращаться. Для устранения вращения приложим такие же касательные силы к граням и . Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформировaться. Необходимость приложения касательных напряжений к граням и непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений.

Опыт показывает, что под действием приложенных напряжений квадрат переходит в ромб . При этом длина диагонали увеличивается, а диагонали — уменьшается. Объем тела при такой деформации практически изменяться не будет. Относительные изменения объема будут величинами более высокого порядка малости, чем относительные изменения длин диагоналей и . В теории малых деформаций такими изменениями пренебрегают. Высшего порядка малости будут и изменения длин сторон квадрата . Поэтому куб после деформации можно повернуть так, чтобы новое основание совместилось с прежним основанием (рисунок 9.1,б). Отсюда видно, что рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба, параллельные основанию , сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном тому же основанию. Поэтому эта деформация называется сдвигом. Сдвиг пропорционален расстоянию сдвигаемого слоя от основания . Угол между гранью до деформации и той же граньюпосле деформации называется углом сдвига. Конечно, ту же деформацию можно получить путем сдвига параллельно грани или на тот же угол . Считается, что угол мал («1), т.е. имеет место закон Гука. Для деформации сдвига этот закон можно записать в виде

, (9.1)

где — касательное напряжение, действующее на гранях куба. Постоянная называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб.

Найдем выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига. Закрепив неподвижно основание (рисунок 9.1,б), будем производить сдвиг квазистатически. Тогда вся работа, затрачиваемая на сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа равна , где — смещение грани при сдвиге, а — площадь этой грани. Если — длина ребра куба, то , а потому , где — объем куба. Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой

. (9.2)

Тангенциальные напряжения, действующие параллельно граням куба, можно свести к совокупности натяжения и давления, равных по модулю и действующих во взаимно перпендикулярных направлениях. Действительно, проведем диагональное сечение куба (плоскость, перпендикулярной к плоскости рисунка 9.1,а). Сила , действующая на часть куба на плоскости , будет нормальна к этой плоскости и направлена внутрь рассматриваемой части. Это и есть сила нормального давления. Определим это давление. Если длина ребра куба есть , то сила , очевидно, равна

.

Площадь диагонального сечения есть . Разделив на эту площадь, получим искомое давление . Итак, в диагональном сечении и во всякой плоскости, ему параллельной, напряжение сводится к нормальному давлению, численно равному . Рассуждая аналогично, можно доказать, что в диагональном сечении и во всякой плоскости, параллельной ему, действует нормальное натяжение , также численно равное .

На основании изложенного ясно, что сдвиг эквивалентен растяжению тела в некотором направлении и сжатию в перпендикулярном направлении.

Для плотности упругой энергии при сдвиге справедлива следующая формула

. (9.3)

Эта величина должна совпадать с (9.2), так как значение и не может зависеть от способа вычисления. Сравнивая оба выражения, получим

. (9.4)

Эта формула устанавливает связь между модулем Юнга , коэффициентом Пуассона и модулем сдвига .

Деформации растяжения и сжатия, сдвига - деформации однородные, т. е. такие, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится — каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде

, (9.5)

где — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения.

В отличие от ранее введенных модулей и коэффициента Пуассона, модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Выведем выражение для модуля кручения . Сделаем это для цилиндрической трубки радиусом и длиной , предполагая, что толщина стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом . Площадь основания трубки есть . Момент сил, действующий на это основание, будет , где — касательное напряжение в том же основании.

При квазистатическом закручивании проволоки на угол совершается работа . Разделив ее на объем трубки, найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

. (9.6)

Ту же величину можно выразить иначе. Вырежем мысленно из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рисунке 9.2. В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки перейдет в положение . Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге дается выражением (9.2). Приравнивая его выражению (9.6), находим искомое соотношение

. (9.7)

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль найдется интегрированием последнего выражения по . Это дает

, (9.8)

где — внутренний радиус трубки,

— наружный.

Для сплошной проволоки радиуса

(9.9)

Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с периодом

,

где - момент инерции тела.

Для простой геометрии испытываемого тела легко получить связь между модулем кручения и модулем сдвига. В частности, для тела в виде длинного тонкого стержня, изображенного на рисунке 9.3, она имеет вид

. (9.10)

Метод определения модуля сдвига , используемый в данной работе, основан на зависимости периода крутильных колебаний маятника, подвешенного на стержне из исследуемого материала, от его упругих свойств. Телом крутильного маятника служит горизонтальная штанга (рисунок 9.3), закрепленная на упругом стержне, с надетыми на нее грузами (). Изменяя расстояние от грузов до оси вращения, можно менять момент инерции, а вместе с этим и период колебаний маятника. Из зависимости периода колебаний маятника от его момента инерции определяется модуль сдвига, а затем и модуль кручения материала.

Если колеблющееся тело совершает вращательное движение, то к нему может быть применено основное уравнение вращательного движения

(9.11)

где — момент инерции маятника,

— угловое ускорение,

— момент внешних сил, в данном случае сил упругости.

Для малых угловых отклонений маятника от положения равновесия выполняется закон Гука, и можно записать

, (9.12)

где — угол отклонения маятника от положения равновесия,

— модуль кручения.

Появление знака "минус" в (9.12) связано с тем, что вращающий момент направлен всегда так, чтобы уменьшить угловое отклонение .

В этом случае основное уравнение вращательного движения примет вид

. (9.13)

Уравнение (9.13) сводится к уравнению колебаний

(9.14)

где — циклическая частота.

Учитывая связь между циклической частотой и периодом

,

получаем для периода колебаний

. (9.15)

Модуль кручения можно определить с помощью (9.15), исключив неизвестный момент инерции . Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника и , соответствующих двум различным значениям момента инерции, отличающихся на известную величину.

Исходя из (9.15) для двух моментов инерции маятника, имеем

или

(9.16)

Момент инерции крутильного маятника можно представить как момент инерции грузов плюс момент инерции штанги , то есть для двух различных расположений грузов

(9.17)

где — расстояния грузов от оси вращения для первого и второго случая. Для того, чтобы исключить неизвестное , вычитаем из :

Учитывая (9.16) получаем

,

откуда

(9.18)

Используя связь между модулем кручения и модулем сдвига (9.10), получаем

(9.19)

В формулы (9.18), (9.19) входят параметры, которые могут быть определены экспериментально.

 

9.2 Экспериментальная часть

 

Описание экспериментальной установки

Общий вид экспериментальной установки показан на рисунке 9.4. К нижнему концу однородного стержня (проволоки) из исследуемого материала, подвешенного на стойке прикреплена металлическая штанга с грузами. Верхний конец проволоки зажимается винтом в специальной оправе, благодаря чему он неподвижен. Поворотом штанги с грузами вокруг горизонтальной оси на небольшой угол возбуждают колебания в системе*). Для определения периода колебаний используется электронный таймер с фотодатчиком. В комплект установки входит набор проволок из различных материалов разной длины и толщины. Для удобства их крепления каждая проволока имеет наконечники для крепления штанги и закрепления в оправе стойки.

В процессе эксперимента могут быть определены модули кручения для различных стержней.

 

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Определение зависимости модуля кручения от длины проволоки

В соответствии с соотношениями (9.15) для маятников, имеющих одинаковые моменты инерции, но разные модули кручения упругого подвеса будет выполняться соотношение

Учитывая (9.10) получаем

(9.20)

Для подвесов, имеющих разную длину и одинаковый радиус

. (9.21)

Таким образом, для того, чтобы проверить обратно пропорциональную зависимость модуля кручения от длины проволоки, достаточно убедиться в том, что зависимость от L является линейной ().

 

Измерения

1 Определить длины трех исследуемых стальных стержней, данные занести в таблицу 9.1.

2 Установить в устройство крепления стальной стержень наименьшей длины. Грузы на горизонтальной штанге установить в крайних положениях. Определить время n = 10–15 колебаний системы. Данные занести в таблицу 9.1. Повторить опыт 3–5 раз.

3 Провести измерения времени n = 10–15 колебаний для остальных стальных стержней, имеющих тот же самый диаметр, но другую длину. Данные занести в таблицу 9.1. Провести опыт 3–5 раз.

Обработка результатов

1 Определить периоды колебаний системы с исследуемыми подвесами, имеющими различную длину.

2 Вычислить средние значения , и значения стандартных отклонений S_T, и занести эти значения в таблицу 9.1.

3 На графике изобразить результаты совместных измерений с указанием стандартных отклонений , построить зависимость , визуально оценить степень соответствия экспериментальных результатов линейной зависимости.

Таблица 9.1

Номер опыта	L,SL	n	tn	T	<T>	ST

Упражнение 2. Определение зависимости модуля кручения от толщины стержня

В соответствии с (9.20) для подвесов, сделанных из одинаковых материалов, имеющих различные радиусы, но одинаковые длины, выполняется соотношение

(9.22)

Проверке этого соотношения и посвящено данное упражнение.

 

Измерения

1 Определить радиусы исследуемых алюминиевых стержней в нескольких сечениях, данные занести в таблицу 9.2.

2 Установить в устройство крепления алюминиевый подвес наименьшей толщины. Грузы на горизонтальном стержне, как и при выполнении упражнения 1, установить в крайних положениях. Определить время t_n n = 10–15 колебаний системы. Данные занести в таблицу 9.2.

3 Провести измерения времени t_n n = 10–15 колебаний для остальных алюминиевых подвесов, имеющих ту же самую длину, но различные диаметры проволоки. Данные занести в таблицу 9.2.

Обработка результатов

1 Определить погрешности измерений радиусов стержней, данные занести в таблицу 9.2.

2 Определить периоды колебаний системы с исследуемыми стержнями, имеющими различные диаметры.

3 Вычислить для каждого подвеса величину и погрешность определения этой величины. Совпадение полученных значений для разных подвесов в пределах погрешностей измерений косвенно подтверждает соотношение (9.10).

Таблица 9.2

Номер опыта				n	tn	T	<T>	ST	B=TR2	SB

 

Упражнение 3. Определение модуля кручения и модуля сдвига для различных материалов

 

Измерения

1 Измерить и занести в таблицу 9.3 радиусы R и длины L исследуемых стержней.

2 Установить в устройство крепления стальной стержень наибольшей длины. Грузы на стержне установить в крайних положениях так, чтобы они не мешали работе фотодатчика. Измерить расстояние от грузов до оси, занести его в таблицу 9.3. Не менее трех раз определить время t_n n = 10–15 колебаний системы. Данные занести в таблицу 9.3.

3 Не менее трех раз провести измерения времени t_n n = 10–15 колебаний, поместив грузы в наиболее близкое к оси положение. Значения и занести в таблицу 9.3.

4 Провести аналогичные измерения для латунного, алюминиевого и медного стержней.

Обработка результатов

1 Определить периоды колебаний системы с исследуемыми стержнями, сделанными из различных материалов. Найти средние значения периодов для каждого материала и фиксированных значений . Найти погрешности определения этих величин. Данные занести в таблицу 9.3.

2 Используя соотношения (9.18) и (9.19) определить модули кручения и модули сдвига для каждого исследованного подвеса. Оценить погрешности определения этих величин. Данные занести в таблицу 9.3. Массу грузов определить по формуле , где — плотность материала, — объем груза.

Таблица 9.3

Материал	l	R	L	n	tn	T		ST	f, Sf	G, SG
Сталь
Медь
Алюминий
Латунь

Основные итоги работы

В процессе выполнения работы должна быть подтверждена зависимость (9.10) модуля кручения от длины и радиуса подвеса. Получены значения модулей кручения для различных подвесов и модули сдвига для стали, алюминия, меди и латуни.

Контрольные вопросы

1 Что такое деформация? Упругая и пластическая деформация. Предел упругости.

2 Напряжение: определение, формула, обозначение, единицы измерения. Составляющие напряжения.

3 Деформация сдвига. Модуль сдвига.

4 Деформация кручения. Модуль кручения.

5 Опишите методику эксперимента по определению модуля кручения и сдвига.

Рекомендуемая литература

9.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

9.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

9.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

9.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

 

Лабораторная работа №10. Коэффициент качения

Цель работы: 1) изучение силы трения и ее видов;

2) экспериментальное определение коэффициентов трения качения различных пар материалов.

 

Теоретическая часть

При соприкосновении движущихся (или приходящих в движение) тел с другими телами, а также с частицами вещества окружающей среды возникают силы, препятствующие такому движению. Эти силы называют силами трения. Действие сил трения всегда сопровождается превращением механической энергии во внутреннюю и вызывает нагревание тел и окружающей их среды.

Существует внешнее и внутреннее трение (иначе называемое вязкостью). Внешним называют такой вид трения, при котором в местах соприкосновения твердых тел возникают силы, затрудняющие взаимное перемещение тел и направленные по касательной к их поверхностям.

Внутренним трением (вязкостью) называется вид трения, состоящий в том, что при взаимном перемещении слоев жидкости или газа между ними возникают касательные силы, препятствующие такому перемещению.

Внешнее трение подразделяют на трение покоя (статическое трение) и кинематическое трение. Трение покоя возникает между неподвижными твердыми телами, когда какое-либо из них пытаются сдвинуть с места. Кинематическое трение существует между взаимно соприкасающимися движущимися твердыми телами. Кинематическое трение, в свою очередь, подразделяется на трение скольжения и трение качения.

В жизни человека силы трения играют важную роль. В одних случаях он их использует, а в других борется с ними. Силы трения имеют электромагнитную природу.

Сила трения покоя. Наблюдения показывают, что сила трения покоя всегда направлена противоположно действующей на тело внешней силе, стремящейся привести это тело в движение. До определенного момента сила трения покоя увеличивается с возрастанием внешней силы, уравновешивая последнюю. Максимальное значение силы трения покоя пропорционально модулю силы давления, производимого телом на опору.

По третьему закону Ньютона сила давления тела на опору равна по модулю силе реакции опоры. Поэтому максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры. Для модулей этих сил справедливо следующее соотношение:

, (10.1)

где - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения покоя. Значение этого коэффициента зависит от материала и состояния трущихся поверхностей.

Определить значение коэффициента трения покоя можно следующим образом. Пусть тело (плоский брусок) лежит на наклонной плоскости АВ (рисунок 10.1).

На него действуют три силы: сила тяжести , сила трения покоя и сила реакции опоры . Нормальная составляющая силы тяжести представляет собой силу давления , производимого телом на опору, т. е.

Рисунок 10.1 . (10.2)

Тангенциальная составляющая силы тяжести представляет собой силу, стремящуюся сдвинуть тело вниз по наклонной плоскости.

При малых углах наклона сила уравновешивается силой трения покоя и тело на наклонной плоскости покоится (сила реакции опоры по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе , т. е. уравновешивает ее).

Будем увеличивать угол наклона до тех пор, пока тело не начнет скользить вниз по наклонной плоскости. В этот момент

(10.3)

Подставив в формулу (10.1) выражения (10.2) и (10.3), получим

(10.4)

Из рисунка 10.1 видно, что

.

Подставив эти значения и в формулу (10.4), получим

. (10.5)

Измерив угол , при котором начинается скольжение тела, можно по формуле (10.5) вычислить значение коэффициента трения покоя .

Сила трения скольжения. Трение скольжения возникает при скольжении одного твердого тела по поверхности другого. Закон для трения скольжения имеет вид

, (10.6)

где - модуль силы трения скольжения;

- безразмерный коэффициент трения скольжения;

- модуль силы реакции опоры.

Значение зависит от того, из каких веществ изготовлены трущиеся поверхности и от качества их обработки. Если сделать поверхности более гладкими, значение уменьшится. Однако уменьшать шероховатость поверхностей можно лишь до определенного предела, так как при очень гладких (например, полированных) поверхностях значение вновь увеличивается. Происходит это потому, что молекулы тел с гладкими поверхностями близко подходят друг к другу и силы молекулярного притяжения между ними вызывают "прилипание" тел, препятствующее их скольжению.

Сила трения качения. Трение качения возникает при качении (без скольжения) твердых тел круглой формы по поверхности других твердых тел.

Причина появления трения качения заключается в следующем. Под действием силы тяжести круглое твердое тело (например, шар или колесо), находящееся на плоской поверхности, деформируется, вследствие чего оно опирается не на одну точку, а на площадку больших или меньших размеров. Это приводит к тому, что, когда тело начинает катиться, точка А приложения реакции опоры смещается немного вперед от вертикали, проходящей через центр тяжести тела, а линия действия силы реакции опоры отклоняется немного назад от этой вертикали (рисунок 10.2).

При этом нормальная составляющая реакции опоры компенсирует силу тяжести (т.е. ), а не скомпенсированная тангенциальная составляющая реакции опоры направлена против движения тела и играет роль силы трения качения . Модуль силы трения качения определяют по следующему приближенному закону

 

 

Рисунок 10.2 , (10.7)

где - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины;

- модуль нормальной составляющей силы реакции опоры;

- радиус катящегося тела.

Если сравнить между собой коэффициенты всех видов внешнего трения для каких-либо двух материалов, из которых изготовлены соприкасающиеся тела, то увидим, что , т. е. при прочих равных условиях наибольшим является трение покоя, а наименьшим - трение качения.

С целью уменьшения внешнего трения между соприкасающимися поверхностями твердых тел вводят смазку, т. е. вязкую жидкость, которая прилипает к твердым телам и образует между их поверхностями слой большей или меньшей толщины. При этом трение возникает уже не между твердыми телами, а между слоями смазки, что и приводит к значительному уменьшению силы трения. Внешнее трение называют сухим, если смазка вообще отсутствует, гидродинамическим, если слой смазки толстый, граничным, если слой смазки очень тонкий.

Силы сопротивления движению тел в жидкостях и газах. Сила сопротивления движению возникает и при движении твердых тел в жидкостях и газах. В данном случае трение покоя вообще отсутствует, так как в жидкости или в газе сколь угодно малая сила может вывести тело из состояния покоя, сообщив ему ускорение.

Сила сопротивления, возникающая в жидкости или газе, всегда направлена против движения тела, по касательной к его поверхности и зависит от скорости движения тела. При небольших скоростях движения сила сопротивления пропорциональна скорости, а при больших скоростях - пропорциональна квадрату скорости.

В газах, из-за их малой плотности, тело может развить большую скорость, поэтому сила сопротивления . В жидкостях плотность вещества велика, тело не может развить большую скорость, а потому . В последних формулах коэффициенты пропорциональности и зависят от рода жидкости или газа и их температуры.

Наблюдения показывают, что сила сопротивления движению в жидкостях или газах в значительной степени зависит также от формы движущегося тела. Геометрическую форму тела, при которой сила сопротивления движению со стороны среды мала, принято называть обтекаемой.

Остановимся подробнее на силе трения качения. Если на цилиндр радиуса (рисунок 10.3) действует горизонтальная внешняя сила , то возникающая в месте контакта цилиндра и опорной плоскости сила реакции смещена в сторону действия силы из-за деформации поверхностей соприкосновения. При равновесии цилиндра сумма моментов сил, действующих на цилиндр, равна нулю: момент силы относительно точки уравновешивается моментом силы реакции опоры

. (10.8)

При увеличении внешней силы увеличивается и момент силы реакции опоры. Наибольшее значение достигается в момент начала качения цилиндра по плоскости.

Для наибольшего значения момента силы реакции опоры, препятствующей качению, установлены следующие приближенные законы:

1 Наибольший момент в широких пределах не зависит от радиуса колеса .

2 Значение максимального момента пропорционально нормальному давлению. В нашем случае

, (10.9)

где коэффициент пропорциональности называют коэффициентом трения качения. Из формулы (10.9) видно, что имеет размерность длины.

Коэффициент трения качения зависит от материала цилиндра и плоскости, состояния их поверхностей и физических параметров (температура, давление и т.д.). Зачастую коэффициент при качении можно считать не зависящим от угловой скорости качения и скорости скольжения по плоскости.

Перечисленные выше положения справедливы для не очень больших нормальных давлений и для относительно слабо деформирующихся материалов.

В технике для характеристики трения качения обычно пользуются минимальной величиной F, необходимой для перекатывания цилиндра, приложенной к его оси в горизонтальном направлении:

. (10.10)

В данной работе для экспериментального определения коэффициента используется маятник, схема которого представлена на рисунке 10.4.

Цилиндр радиуса находится на горизонтальной плите. Стрелка прикреплена к цилиндру сверху. Снизу к системе прикреплен груз G. При отклонении груза от положения равновесия система может совершать колебания. Колебания системы будут затухающими в первую очередь из-за противодействия момента сил трения качения. Движение цилиндра при этом — поступательно-вращательное.

Коэффициент трения качения можно определить по скорости затухания колебаний.

Рассматривая процесс колебаний, воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть маятник в начальный момент отклонили на угол от положения равновесия и отпустили. Через период (одно колебание) угол отклонения будет равен , через n периодов — соответственно, как показано на рисунке 10.5. Потенциальная энергия маятника через n периодов

, (10.11)

где m — масса маятника,

l — расстояние между центром тяжести маятника и осью цилиндра.

Уменьшение потенциальной энергии за первый период будет:

.

При малых углах получим

. (10.12)

Пренебрегая работой сил сопротивления воздуха и считая, что изменение энергии вызвано работой момента трения качения, можно написать:

, (10.13)

где — работа момента M силы реакции опоры Т при повороте на угол .

За один полный период колебаний угол поворота составляет

,

где — угол отклонения после одного полупериода (рисунок 5).

Считая в среднем

,

можно записать

. (10.14)

Приравнивая (10.12) и (10.14), получим:

.

Аналогичные соотношения можно получить для следующих периодов. Для полных n периодов имеем

. (10.15)

Таким образом, определив начальный и конечный углы, а также подсчитав число колебаний, можно оценить коэффициент трения качения .

 

Экспериментальная часть

Описание экспериментальной установки

Схема установки представлена на рисунке 10.6. На столике установлен маятник. Маятник состоит, в свою очередь, из цилиндра, сделанного из нержавеющей стали, стрелки и массивного груза. Начальное отклонение маятника производится вручную до фиксатора, положение которого можно менять. Шкала служит для измерения угла отклонения маятника с помощью стрелки. Положение шкалы можно регулировать, совмещая конец стрелки покоящегося маятника с нулем шкалы. Датчик, подсоединенный к таймеру (на рисунке не показан), позволяет отсчитывать число полных колебаний маятника. Под цилиндр к столику могут крепиться пластинки из различных исследуемых материалов.

В связи с тем, что цилиндр при качении движется вращательно-поступательно, необходимо уточнить связь угла поворота цилиндра с показаниями стрелки маятника, отсчитываемыми по линейной шкале S.

Смещение конца стрелки можно представить в виде суммы двух смещений: поступательного движения оси цилиндра и вращательной компоненты поворота конца стрелки относительно центра цилиндра (рисунок 10.7).

Для суммарного отклонения х конца стрелки от нулевого деления получим

,

где R — радиус цилиндра х,

L — расстояние от оси цилиндра до шкалы (длина стрелки),

— угол поворота маятника.

При малых углах , и можно считать

, ,

где и — начальная и конечная амплитуды отклонения стрелки по шкале S. Тогда расчетную формулу (10.15) можно окончательно представить в виде

, (10.16)

где n — число периодов колебаний маятника за время измерения.

 

Проведение эксперимента

Измерения

2 Определите общую длину стрелки L как сумму длины телескопической части стрелки и радиуса цилиндра. 3 Установите маятник в такое положение, чтобы в равновесии конец стрелки… 4 Для вычисления коэффициента трения качения по формуле (10.16) необходимо измерить начальное отклонение стрелки…

Обработка результатов

2 Определите среднеквадратичное отклонение числа колебаний для каждой серии измерений (каждой пластинки): . (10.17) С помощью формулы (10.15) определите величины коэффициентов трения качения для трех пластин.

Основные итоги работы

В результате выполнения работы должны быть получены значения коэффициентов трения качения для различных пар материалов, рассчитаны погрешности, проведен анализ причин их возникновения.

Контрольные вопросы

1 Почему возникает эффект трения?

2 Дайте определение коэффициента трения качения.

3 В чем отличие трения качения от трения скольжения?

4 Сформулируйте приближенные законы, описывающие эффект трения качения.

5 От чего зависит коэффициент трения качения?

6 Выведите расчетную формулу (10.16).

7 Цилиндр радиуса R находится на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения поверхностей — , коэффициент трения качения — . Во сколько раз отличается сила F₁, необходимая для того, чтобы цилиндр начал движение, от силы F₂, необходимой для начала проскальзывания? Силы приложены к центру цилиндра горизонтально.

 

Рекомендуемая литература

10.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

10.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

10.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

10.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

10.4.5 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

 

Лабораторная работа №11. Тензор инерции твердого тела

Цель работы: 1) изучить тензор инерции твердого тела;

2) экспериментально получить сечение эллипсоида инерции плоскостью исследуемого тела.

Теоретическая часть

Вычислим момент инерции твердого тела относительно произвольной оси (рисунок 11.1), проходящей через начало координат . Пусть координаты. Разложим радиус-вектор элемента массы тела на составляющие вдоль оси и перпендикулярную к ней: . По определению момента инерции

.

Если - единичный вектор вдоль оси , то . Кроме того, . Учтя эти соотношения, а также соотношение , получим

, (11.1)

где - постоянные, определяемые выражениями

,

, (11.2)

.

Совокупность девяти величин

(11.3)

называются тензором инерции тела относительно точки , а сами эти величины – компонентами тензора. Тензор инерции симметричен, т.е. . Формулу (11.1) в таком случае можно переписать в виде

. (11.4)

Если известны для какой-либо координатной системы все шесть компонентов тензора инерции, то по формуле (11.1) или (11.4) можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат . Момент инерции относительно другой оси, не проходящей через начало координат, можно вычислить с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Формула (11.4) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Через начало координат будем проводить прямые во всевозможных направлениях и на них откладывать отрезки длиной . Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность. Найдем ее уравнение. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется выражением , а координаты той же точки - выражением . Исключая с помощью этих соотношений величины , из (11.4), получим уравнение искомой поверхности

. (11.5)

Эта поверхность второго порядка, очевидно, является эллипсоидом, так как момент инерции , а с ним и длина радиуса-вектора имеют конечные значения, каково бы ни было направление оси . Она называется эллипсоидом инерции тела относительно точки , являющейся его центром. При перемещении начала координат относительно тела будет меняться и эллипсоид инерции тела. Если в качестве взят центр масс тела, то и соответствующий эллипсоид называется центральным.

Предположим, что твердое тело закреплено таким образом, что может вращаться вокруг некоторой неподвижной точки . Введем в лабораторной системе отсчета декартову систему координат с началом в этой точке. Произвольная -я точка твердого тела массы будет иметь скорость , где — вектор угловой скорости вращения твердого тела, а — радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку, где в данный момент времени находится -я материальная точка. Момент импульса этой точки равен по определению

. (11.6)

Векторы ,,можно рассматривать как в лабораторной системе координат , так и в системе координат , жестко связанной с телом.

Перепишем выражение для в проекциях на оси системы координат , начало которой лежит в точке . Учитывая, что

, а ,

получаем

 

(11.7)

Момент импульcа вcего тела pавен cумме моментов импульcов вcеx элементаpныx маcc:

. (11.8)

Учитывая (11.7), соотношение (11.8) можно пеpепиcать в пpоекцияx на кооpдинатные оcи в виде:

,

, (11.9)

.

Совокупность девяти величин определяет тензор инерции

. (11.10)

Проекции момента импульса на оси координат (11.9) удобно записать в матричном виде. В рассматриваемом случае начало декартовой системы координат совпадает с точкой (центром вращения), поэтому из (11.7) и (11.8) получаем

(11.11)

Отметим, что выражение (11.8) принимает точно такой же вид, если векторы проецировать на оси лабораторной системы координат . Отличие заключается в том, что в покоящейся лабораторной системе координат постоянно меняются координаты каждого бесконечно малого элемента тела, поэтому и компоненты тензора меняются со временем. В выбранной системе координат радиус-вектор — неизменная величина, а проекции угловой скорости меняются со временем.

Диагональные элементы тензора называются осевыми моментами инерции.Недиагональные элементы называются центробежными моментами инерции.

Тензор инерции является симметричным, так как Симметричный тензор всегда можно привести к диагональному виду, т.е. выбрать такую систему координат, определяемую формой тела, в которой все недиагональные элементы будут равны нулю. Соответствующие направления координатных осей называются главными осями инерции, а величины — главными моментами инерции. Оси, проходящие через центр масс тела, будем называть центральными осями, а оси, проходящие через центр масс и одновременно являющиеся главными, будем называть главными центральными осями.

Связь между моментом инерции и компонентами тензора инерции. Рассмотрим вращение твердого тела относительно некоторой закрепленной оси , имеющей произвольное направление в пространстве. Представим радиус-вектор -й материальной точки массы в виде где (вектор направлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта как показано на рисунке 2). Так как ось закреплена, то линейная скорость точки перпендикулярна этой оси и равна . Предположим, что в жестко связанной с телом системе координат ось (рисунок 11.2) лежит в плоскости , а тензор инерции имеет диагональный вид

.

Вектор угловой скорости будет иметь компоненты В соответствии с (11.9) Отсюда следует, что в общем случае направление вектора момента импульса, даже при вращении вокруг закрепленной оси, не совпадает с направлением вектора угловой скорости. Кроме того, в рассматриваемом случае положение вектора жестко связано с телом. Поэтому при вращении тела вектор момента импульса меняет свое направление в пространстве: конец этого вектора описывает окружность с центром, лежащим на оси . Вектор так же, как и радиус-вектор, удобно разложить на две составляющие — одну, совпадающую с вектором угловой скорости , и другую, перпендикулярную к нему, т.е. . В этом случае векторное уравнение моментов можно разбить на два скалярных уравнения:

(11.12)

(11.13)

В уравнении (11.12) — это проекция момента внешних сил на ось (включая силы трения в оси). Это уравнение полностью описывает вращательное движение твердого тела вокруг закрепленной оси. После представления , где — момент инерции тела относительно закрепленной оси, уравнение (11.12) принимает вид

.

В уравнении (11.13) — это перпендикулярная проекция суммарного момента внешних сил, включая силы упругости, действующие на тело со стороны оси. Наличие этого момента приводит к повороту вектора вокруг . Уравнение (11.13) необходимо решать, если встает вопрос о деформациях, возникающих в оси.

Значение момента инерции твердого тела относительно некоторой оси, можно найти, зная направление этой оси в пространстве и значения компонент тензора инерции. Выразим момент инерции относительно закрепленной оси , проходящей через начало координат, через компоненты тензора . Пусть система координат расположена произвольным образом относительно тела так, что все компоненты тензораявляются ненулевыми.

Воспользуемся соотношением С учетом (11.9) и того, что

,

где — углы, определяющие положение оси относительно осей координат (рисунок 11.3), получим

(11.14)

Уравнение (11.14) может быть использовано и для решения обратной задачи — определения компонент тензора инерции через известные значения моментов инерции относительно нескольких различных закрепленных осей.

Используемая в лабораторной работе установка удобна для определения моментов инерции “плоских тел” — т.е. таких тел, толщина которых значительно меньше их поперечных размеров. При этом одну из осей (например, ось ) связанной с телом системы координат удобно направить перпендикулярно плоскости тела. Оси и находятся в плоскости тела и их направления произвольны, начало координат совпадает с центром масс тела и находится на оси вращения (рисунок 4). При этом один из направляющих косинусов () равен нулю, и вместо (11.14) получим

(11.15)

Величина — момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через его центр масс. При повороте системы координат (осей и ) в своей плоскости, величина момента инерции не изменяется, но каждой ориентации осей соответствуют свои значения компонент тензора инерции и

При определенном выборе системы координат, когда направления осей и совпадают с главными осями инерции тела, и вместо (11.15) имеем

(11.15а)

В последнем соотношении и — направляющие косинусы выбранной ранее оси вращения в новых осях координат ,, и — компоненты тензора инерции в системе координат, оси которой совпадают по направлению с главными осями инерции. Выберем на оси вращения некоторую точку , находящуюся на расстоянии от начала координат и имеющую координаты . Пусть величина численно равна . При этом Подставив эти величины в (11.15а), получим

или

(11.16)

где , a и b являются постоянными величинами.

Уравнение (11.16) является каноническим уравнением эллипса в координатах полуоси которого .

Эллипс (11.16) является сечением эллипсоида инерции плоскостью Эллипсоидом инерции называется поверхность, характеризующая величины моментов инерции твердого тела относительно множества возможных осей вращения, проходящих через одну точку (в данном случае через центр масс тела). При этом для каждого направления вдоль оси откладываются отрезки, численно равные величине где — момент инерции тела относительно оси Концы этих отрезков образуют поверхность, называемую эллипсоидом инерции (трехмерное уравнение эллипсоида инерции может быть получено из (11.14)).

Определение компонент тензора инерции.Пусть исследуемое тело имеет форму, показанную на рисунке 11.5. Точка — центр масс тела. Оси и выбраны произвольно. Тело закреплено в рамке крутильного маятника так, что точка лежит на оси вращения, а положение тела характеризуется углом

Если тело закреплено в рамке так, как показано на рисунке 6а, то и Из (11.15) получаем

 

(11.17)

 

При закреплении тела, соответствующем рисунку 11.6,б, иИ, следовательно, из (11.15)

 

(11.18)

При повороте тела в своей плоскости на угол (рисунок 11.6,в) и –(рисунок 11.6,г) относительно оси вращения получаем, соответственно,

(11.19)

(11.20)

Из (11.19) и (11.20) следует, что

или

(11.21)

Из (11.15) можно получить, что при

(11.22)

Складывая (11.19) и (11.22), получаем

(11.23)

Экспериментальное определение величин и дает возможность найти четыре отличных от нуля компоненты тензора инерции плоского тела: для заданной системы координат. Если оси координат и совпадают с главными осями инерции тела, то Соотношение (11.23) может служить проверкой правильности проведенного эксперимента.

 

Экспериментальная часть

Экспериментальное определение момента инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим колебания крутильного маятника, представляющего собой сложное тело, состоящее из рамки, закрепленной на вертикальной упругой проволоке, и исследуемого тела (рисунок 11.7). Действие момента сил упругости приводит к возникновению колебаний всей системы с периодом

(11.24)

где D — коэффициент упругости подвеса,

— момент инерции рамки с исследуемым телом.

Из соотношения (11.24) можно найти момент инерции :

(11.25)

Определяя период колебаний пустой рамки , можно найти момент инерции маятника без тела

(11.26)

Для момента инерции исследуемого тела относительно фиксированной оси вращения получаем:

 

(11.27)

Меняя положение тела относительно рамки, можно определять моменты инерции для осей вращения, имеющих различное направление относительно тела.

 

Экспериментальная установка

Экспериментальная установка показана на рисунке 11.8. Она состоит из стойки и рамки, закрепленной на упругом подвесе. Исследуемые тела поочередно крепятся в рамке с помощью винта. Конструкция крепления рамки на подвесе такова, что рамка может поворачиваться вокруг горизонтальной оси и фиксироваться в различных положениях. В работе изучаются тензоры инерции для нескольких “плоских” тел, имеющих разную форму: малых по толщине параллелепипеда, треугольной призмы и полудиска. Система координат, относительно которой определяется момент инерции тела, жестко связана с телом, а, следовательно, и с рамкой. На рамке имеется шкала, позволяющая определять углы между осью вращения и осями системы координат, связанной с телом.

Установка снабжена системой автоматического отсчета времени и числа периодов, включающей в себя таймер и фотоэлектронный датчик.

 

Проведение эксперимента

Упражнение 1. Определение коэффициента упругости подвеса и момента инерции пустой рамки

Определение упругости подвеса осуществляется из результатов изучения колебаний параллелепипеда, закрепленного в рамке перпендикулярно оси вращения. Предполагается, что предварительно измерена его длина и масса и вычислен его момент инерции относительно оси вращения, а также определены погрешности этих величин (результаты измерений и расчетов необходимо внести в таблицу 11.1)

Таблица 11.1

Длина параллелепипеда а =	Sа=
Толщина параллелепипеда с =	Sс =
Масса параллелепипеда m =	Sm =
Момент инерции параллелепипеда относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной ширине параллелепипеда J =	SJ =

Измерения

1 Измерить время n = 10–20 колебаний пустой рамки. Измерения провести несколько раз, данные занести в таблицу 11.2.

2 Закрепить параллелепипед в рамке так, чтобы ось вращения была перпендикулярна его длине. Измерить время 10–20 колебаний рамки с параллелепипедом. Измерения провести несколько раз, данные занести в таблицу 11.2.

 

Обработка результатов

1 Для каждого опыта определить периоды колебаний пустой рамки и рамки с параллелепипедом .

2 Найти средние арифметические значения и и выборочные стандартные отклонения для этих величин. Результаты вычислений внести в таблицу 11.2.

Таблица 11.2

Колебания без параллелепипеда	Колебания с параллелепипедом
N	tn	n	T0	<T0>	ST0	N	tn	n	T2	<T2>	ST2
……….

3 Учитывая, что период колебаний крутильного маятника связан с моментом инерции соотношением (11.24), получаем, что

,

где — вычисленный ранее момент инерции параллелепипеда. Отсюда следует, что

.

Используя последнее соотношение, определить коэффициент упругости подвеса, а затем по формуле (11.26) — момент инерции пустой рамки .

Упражнение 2. Определение сечения эллипсоида инерции

Измерения

1 Для выполнения работы необходимо измерить размеры одного из тел по указанию преподавателя (ребра параллелепипеда, стороны треугольной призмы, радиус полудиска). Данные занести в таблицу 11.3.

2 Все тела, исследуемые в данной задаче, закрепляются в рамке благодаря ее конструкции, таким образом, что центр масс лежит на оси вращения. Закрепив в рамке выбранное тело, измерить время n = 5–10 колебаний. Провести несколько таких измерений. Повернуть рамку на небольшой угол (например, на 10°), и вновь измерить время . Снова повернуть рамку на тот же угол и провести измерения . Так поступают до полного поворота рамки на 180°. Результаты каждого измерения заносят в таблицу 11.3.

Таблица 11.3

Формы и размеры исследуемого тела
N	ai	tn	n	T	<Ta>	STa	Ja
· · · · ·

 

Обработка результатов

1 Найти периоды колебаний маятника для каждого значения , их среднее значение и выборочные стандартные отклонения . Величины занести в таблицу 11.3.

2 Определяют моменты инерции исследуемого тела по формулам (11.25)–(11.27) для различных значений . Данные заносят в таблицу 11.3.

3 Построить в полярных координатах сечение эллипсоида инерции для исследованного тела, считая, что . На этом же графике необходимо нарисовать и исследуемое тело.

4 Определить положения рамки, при которых момент инерции принимает максимальное и минимальное значения. Эти положения соответствуют главным центральным осям инерции изучаемого тела.

5 Используя известные формулы, рассчитать величины моментов инерции тела относительно всех трех главных центральных осей и сравнить полученные значения с экспериментальными. При этом теоретическое значение сравнивается с суммой значений , полученной экспериментально, поскольку для плоских тел .

Упражнение 3. Определение компонент тензора инерции

Для выполнения этого упражнения используется то же тело, что и в упр. 2. На поверхности всех тел, входящих в комплект установки нанесены прямые, проходящие через точку, соответствующую его центру масс и повернутые относительно друг друга на 10°. Каждая из этих прямых может быть выбрана за ось Oх системы координат, связанной с телом. Вначале любую из этих прямых принимают за направление Ох.

Измерения

1 Определить четыре величины момента инерции тела для случая, когда выбранная ось , соответственно, совпадает, перпендикулярна, составляет угол и с осью вращения (— произвольный угол, например 30° или 50°). Для выполнения этого пункта необходимо произвести измерения, аналогичные проведенным в упр.2. Результаты занести в таблицу 11.4.

Приняв за ось другую прямую, нанесенную на поверхности тела, повторить все измерения п.1 и получить новые значения величин . Полученные результаты занести в таблицу, аналогичную таблице 11.4.

Обработка результатов

Воспользовавшись измеренными величинами и соотношениями (11.17)–(11.20) определить для двух систем координат, которые использовались в п. 1 и п. 2. Убедиться, что компоненты тензора инерции зависят от выбора системы координат и занести их в таблицу 11.4, указать ориентацию системы координат, для которой они получены.

Таблица 11.4

Формы и размеры тела
	N	tn	n	Т	<T>	S<T>	Ji	SJi
	Ось Ох параллельна оси вращения									Jxx
	Ось Ох перпендикулярна оси вращения									Jyy
	Ось Ох составляет угол a0 с осью вращения									Jxy
	Ось Ох составляет угол a0 с осью вращения
· · · · ·

 

Основные итоги работы

Контрольные вопросы

1 Записать уравнение моментов и объяснить смысл входящих в него величин.

2 Какова связь между моментом импульса и угловой скоростью? Что такое тензор инерции?

3 Записать компоненты тензора инерции для простейших систем: тонкая палочка, система материальных точек.

4 Что такое главные оси? Что такое центральные оси? Примеры.

5 Как направлены векторы угловой скорости и момента количества движения тела вокруг закрепленной оси

если ось вращения совпадает с одной из главных осей;

если ось вращения не совпадает ни с одной из главных осей?

6 Связь между компонентами тензора инерции и моментом инерции относительно фиксированной оси.

7 Что такое эллипсоид инерции? Как с помощью эллипсоида инерции определить значение момента инерции тела относительно заданной оси?

Рекомендуемая литература

11.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

11.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

11.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

11.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

 

Лабораторная работа №12. Свободные и вынужденные колебания

Цель работы: 1) изучение кинематики и динамики гармонического колебательного движения;

2) изучение свободных и вынужденных колебаний в системе с одной степенью свободы.

 

Теоретическая часть

 

В лабораторной работе используется пружинный маятник, тело которого обладает магнитными свойствами и движется в вязкой среде, а внешняя вынуждающая сила создается с помощью переменного магнитного поля. Для анализа движения маятника используется пьезоэлектрический датчик, управление экспериментом и обработка результатов производится с помощью ЭВМ.

Колебания широко распространены в природе. В общем случае под колебаниями понимают движения, в той или иной степени повторяющиеся во времени. По физической природе колебательные процессы разделяют на механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Особую роль в физике играют механические и электромагнитные колебания. С помощью распространяющихся колебаний плотности и давления воздуха (воспринимаемых как звук) и с помощью распространяющихся электромагнитных колебаний (свет) мы получаем большую часть информации об окружающем мире.

Несмотря на различную физическую природу колебаний, их можно описать одинаковыми уравнениями. Если физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону

, (12.1)

колебания называют гармоническими.

Здесь — амплитуда колебаний;

— круговая (циклическая) частота (— период);

— время;

— начальная фаза. Функция из (12.1) представляет решение дифференциального уравнения

, (12.2)

называемого уравнением свободных колебаний (уравнение гармонического осциллятора).

Если уравнения, описывающие колебания, имеют вид линейных дифференциальных уравнений, колебания называются линейными. В реальной системе это соответствуют тем случаям, когда все возникающие силы можно считать линейными функциями координат и скоростей.

Физическую систему, выведенную из состояния равновесия и предоставленную самой себе, в которой изменение одного из параметров описывается дифференциальным уравнением (12.2), называют классическим гармоническим осциллятором.

Колебания можно разделить на собственные и вынужденные. В первом из них за счет внешней силы система выводится из состояния устойчивого равновесия, т.е. ей сообщается некоторое достаточное количество энергии, после чего внешние силы полностью отключаются. В этом случае возникают колебания, которые называются собственными колебаниями системы. Если же на систему постоянно действует внешняя сила, то происходят так называемые вынужденные колебания.

Рассмотрим колебания гармонического осциллятора на примере пружинного маятника.

Пружинный маятник состоит из тела массы и легкой пружины с коэффициентом жесткости , как показано на рисунке 12.1,а. В общем случае движение пружинного маятника в поле силы тяжести довольно сложно и описывается большим числом степеней свободы. Практический интерес, однако, представляют колебания с одной степенью свободы, когда движение маятника происходит вдоль вертикальной оси. Для возбуждения таких колебаний можно немного растянуть пружину, а затем отпустить маятник (рисунок 12.1 б, в). В этом случае для полного описания колебаний необходимо знать поведение только одной переменной, например, вертикальной координаты центра масс тела маятника. На тело, подвешенное на пружине в поле силы тяжести действуют две силы (без учета сил трения): сила тяготения и упругая сила. Начало координат выберем таким образом, чтобы при масса находилась в равновесии. При этом сила тяжести будет скомпенсирована некоторым начальным растяжением пружины и в дальнейшем рассмотрении участвовать не будет.

При отклонении тела от точки равновесия будет возникать возвращающая сила . Рассмотрим малые колебания пружинного маятника. Колебания пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при смещении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смещению и направлена в сторону положения равновесия. Для пружинного маятника условия малости колебаний удовлетворяются при смещениях, создающих возвращающую силу у пружины в пределах применимости закона Гука. Уравнение движения пружинного маятника при этом имеет вид

. (12.3)

Сравнивая с (12.2), имеем

. (12.4)

В реальных осцилляторах, за счет сил трения, происходит рассеяние (диссипация) запасенной энергии, в результате чего свободные колебания со временем затухают. При движении тела пружинного маятника в вязкой среде, с небольшими скоростями сила трения пропорциональна скорости , где — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы тела, свойств его поверхности и среды. При учете диссипации энергии в уравнении движения необходимо добавить силу трения, и уравнение колебаний будет

. (12.5)

Решение этого уравнения имеет вид затухающих колебаний

, (12.6)

где — начальные амплитуда и фаза колебаний,

— частота затухающих колебаний,

— коэффициент затухания. Действительно, подставим (12.6) в (12.5) и получим:

. (12.7)

Отсюда следует, что (12.6) является решением (12.5) при условии

. (12.8)

Обратите внимание: частота затухающих колебаний (12.8) отличается от частоты собственных .

Используя полученный результат, уравнение колебаний удобно записать в виде:

. (12.9)

Отклонение маятника от положения равновесия в зависимости от времени в соответствии с (12.6) имеет вид, показанный на рисунке 12.2,a. Для малых декрементов затухания колебания близки к гармоническим, при больших затухание происходит за 1–2 периода. В том случае, когда , значение частоты становится мнимым и гармонические колебания не реализуются, происходит апериодический процесс — тело маятника после начального отклонения плавно возвращается в положение равновесия (рисунок 12.2,б). При этом величина равна времени, за которое амплитуда колебаний затухает в раз. Затухание колебаний за период носит название логарифмического декремента затухания , его можно определить из соотношения

Х10

, (12.10)

–Х10

где — отношение амплитуд двух последовательных колебаний.

Рассмотрим теперь колебания пружинного маятника, которые возникают под действием внешней периодической силы в системе с одной степенью свободы. Вынужденные колебания в случае гармонического воздействия описываются уравнением

, (12.11)

где — нормированная амплитуда,

— частота вынуждающей силы.

Решение уравнения (12.11) имеет вид

, (12.12)

где соответствует затухающим собственным колебаниям (см. уравнение (12.6)),

— вынужденным колебаниям на частоте вынуждающей силы:

, (12.13)

где

(12.14)

— зависящая от частоты амплитуда вынужденных колебаний,

(12.15)

— фаза колебаний.

Величина в данном случае представляет собой отставание по фазе вынужденного колебания от обуславливающей его вынуждающей силы.

 

Выражения для амплитуды и фазы колебаний , так же, как и для свободных колебаний, можно определить непосредственной подстановкой (12.13) в (12.14). При малых декрементах затухания на частотах вблизи частоты свободных колебаний маятника амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление получило название резонанса. Более точно значение резонансной частоты можно получить из (12.14), проводя исследование функции на экстремум

. (12.16)

Слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний (рисунок 12.3). С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя в решении только слагаемое .

Типичные амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики показаны на рисунке 12.4.

Вместе с логарифмическим декрементом затухания широко пользуются величиной , которая называется добротностью системы . Она определяется как отношение амплитуды смещения при резонансе к амплитуде смещения при . Учитывая определения коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания, а также соотношение (14), получаем

. (12.17)

Можно показать, что в случае добротность можно выразить также через полуширину резонансной кривой, изображенной на рисунке 12.5:

. (12.18)

 

Экспериментальная часть

Описание экспериментальной установки

Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рисунке 12.6. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере (ПК). Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости и тела маятника, в центре которого вмонтирован постоянный магнит. Движение маятника происходит в жидкости и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.

.

Для регистрации колебаний используется пьезоэлектрический датчик, к которому подвешена пружина маятника. Во время движения маятника сила упругости пропорциональна смещению .

Так как ЭДС, возникающая в пьезодатчике, в свою очередь пропорциональна силе давления, то сигнал, получаемый с датчика, будет пропорционален смещению тела маятника от положения равновесия.

Возбуждение колебаний осуществляется с помощью магнитного поля. Гармонический сигнал, создаваемый ПК, усиливается и подается на электромагнит, расположенный под телом маятника. В результате этого вокруг электромагнита переменное во времени и неоднородное в пространстве магнитное поле. Это поле действует на постоянный магнит, вмонтированный в тело маятника и создает внешнюю периодическую силу.

 

Система обработки информации состоит из блока сопряжения с ПК (аналого-цифрового преобразователя) и персонального компьютера. Аналоговый сигнал с пьезоэлектрического датчика с помощью аналого-цифрового преобразователя представляется в цифровом виде и подается на ПК. Установка снабжена также устройством для статических измерений жесткости пружины. На исследуемую пружину могут подвешиваться грузы различной массы. Для регистрации растяжения пружины используется измерительная линейка.

Управление экспериментальной установкой с помощью ЭВМ

Рассмотрим возможные режимы работы программы: Статистика — этот пункт меню используется для обработки результатов первого… После набора данных нажимают на функциональную клавишу F2. На экране появляются рассчитанные с помощью метода…

Проведение эксперимента

Измерения проводятся путем определения удлинения пружины под действием грузов с известными массами. Рекомендуется провести не менее 7–10 измерений… В ходе выполнения упражнения необходимо рассчитать значение собственной частоты колебаний маятника

Основные итоги работы

В результате работы должны быть определены собственная частота колебаний пружинного маятника, декремент затухания и получены его амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики.

Контрольные вопросы

 

1 Что такое классический гармонический осциллятор?

2 Показать, что постоянная сила тяжести не влияет на частоту колебаний пружинного маятника.

3 На какой частоте происходят колебания пружинного маятника при наличии затухания?

4 На какой частоте происходят вынужденные колебания маятника?

5 Что такое коэффициент затухания, добротность?

6 На каких частотах наблюдаются резонансы смещения и скоростей?

 

Рекомендуемая литература

 

12.4.1 Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – Т.1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – 340 с. - ISBN 978-5-8114-0753-8.

12.4.2 Иродов, И.Е. Механика. Основные законы механики / И.Е.Иродов. - М.: Бином, 2009. – 310 с. - ISBN 978-5-9963-0063-1.

12.4.3 Савельев, И.В. Курс общей физики: в 5 кн. / И.В.Савельев. – М.: АСТРЕЛЬ: АСТ, 2005. – Кн. 1: Механика. – 336 с. - ISBN 5-271-01034-1.

12.4.4 Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 3 т. / Д.В.Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Механика. – 560 с. - ISBN 5-89155-078-4.

12.4.5 Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с. - ISBN 5-7695-2277-1.

 

Приложение А

Расчет коэффициента затухания по ФЧХ

, (А.1)   дифференцируя по частоте обе части (А.1) получаем: