Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его колебаний как физического маятника.

Если закрепить исследуемое тело А на горизонтальной оси О, проходящей через центр масс (рисунок 6.7), то момент сил тяготения будет равен нулю, и тело остается в состоянии безразличного равновесия. Если теперь закрепить на исследуемом теле на некотором удалении L от оси малое тело В с известной массой m, то равновесие перестанет быть безразличным — при равновесии момент силы тяжести, действующий на тело В будет равен нулю. Такую систему тел можно рассматривать как физический маятник.

Уравнение движения такого маятника имеет вид

, (6.19)

где — моменты инерции твердого тела А и дополнительного грузика B относительно оси О,

g — ускорение свободного падения,

— угол отклонения тела от положения равновесия,

— его угловое ускорение.

Если углы отклонения малы , то и можно записать

. (6.20)

Данное уравнение является уравнением собственных (свободных) гармонических колебаний, его решение имеет вид

, (6.21)

где — собственная циклическая частота,

T — период колебаний,

— амплитуда колебаний,

— начальная фаза колебаний.

Дважды дифференцируя соотношение (6.21) по времени, получаем

. (6.22)

Сопоставляя (6.20) и (6.22), находим, что

. (6.23)

В связи с тем, что размеры малого тела В во много раз меньше расстояния до оси L, можно считать его материальной точкой и положить

(6.24)

Тогда из уравнений (6.23) и (6.24) получаем

. (6.25)

Таким образом, для определения момента инерции твердого тела можно закрепить его на оси, проходящей через центр масс, установить на нем добавочное малое тело с известной массой, измерить период колебаний и, зная расстояние L, по формуле (6.25) определить неизвестный момент инерции.

Отметим, что при выводе соотношения (6.25) не учитывалось влияние момента сил трения () в оси. Это приближение обусловлено тем, что при достаточно малом его воздействие приводит прежде всего к постепенному уменьшению амплитуды колебаний и практически не влияет на их период.

Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его равноускоренного вращательного движения.

Рассмотрим, как и в предыдущем случае, тело А, закрепленное на оси О, проходящей через центр масс (рисунок 6.8). Соосно с телом закреплен цилиндр С, на который наматывается нить с прикрепленным к ней грузом В.

Под действием силы тяжести груз будет опускаться, приводя исследуемое тело А во вращение. Уравнение движения груза В, уравнение вращательного движения тела А и уравнение кинематической связи имеют вид:

, (6.26)

, (6.27)

, (6.28)

где m — масса груза В,

J — момент инерции исследуемого тела вместе с цилиндром C,

g — ускорение силы тяжести,

T — натяжение нити,

r — радиус цилиндра, на который намотана нить,

— момент сил трения,

a — ускорение тела В.

Из уравнений (6.26)–(6.28) получаем

. (6.29)

Таким образом, если известно ускорение груза В и момент сил трения в оси, то по формуле (6.29) мы можем определить момент инерции исследуемого тела.

Предположим, что груз начинает опускаться с отметки , а мы измеряем время прохождения его между двумя точками и . Движение груза на участке является равноускоренным, и можно записать

, (6.30)

, (6.31)

где — время прохождения участка ,

— время прохождения участка .

Из (6.30) и (6.31) следует:

(6.32)

Решая это уравнение относительно ускорения a, находим

. (6.33)

Таким образом, для определения a нам нужно знать и время прохождения грузика между точками с координатами и .

Рассмотрим соотношения, позволяющие определить момент сил трения.

При опускания груза с отметки на полную длину нити до отметки его потенциальная энергия переходит в кинетическую и в некоторое количество тепловой энергии, по величине равное работе сил трения,

, (6.34)

где — полный угол поворота тела при его опускании,

— кинетическая энергия системы в нижней точке.

Предполагается, что момент силы трения при движении остается постоянным, т.е. не зависит от скорости.

После того, как груз опустится на полную длину нити до отметки , тело будет продолжать вращаться, и нить начнет наматываться на цилиндр. В результате груз поднимется до отметки . Очевидно,

, (6.35)

где — полный угол поворота тела при подъеме груза.

Учитывая, что , получаем величину момента силы трения

. (6.36)