Часть 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

Кафедра технической механики и гидравлики

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть 2

контрольные задания и методические указания к выполнению курсовой (расчетно-графической) работы  

СОДЕРЖАНИЕ стр.

Глава 1. Содержание раздела…………………………………………..4

Глава 2. Общие указания к выполнению контрольной работы……....5

Глава 3. Динамика………………………………………………………6

3.1. Теорема о движении центра масс………………………………....6

3.1.1. Задача Д1……………………………………………………….....7

3.1.2. Пример решения задачи Д1…………………………………….11

3.2. Теорема об изменения количества движения системы…………13

3.2.1. Задача Д2…………………………………………………………14

3.2.2. Пример решения задачи Д2……………………………………..15

3.3. Теорема об изменении кинетической энергии механической

системы…………………………………………………………………..19

3.3.1. Задача Д3……………………………………………………….....21

3.3.2. Пример решения задачи Д3……………………………………...22

3.4. Принцип Германа-Эйлера-Даламбера для несвободной механи-

ческой системы………………………………………………………….28

3.4.1. Задача Д 4…………………………………………………………29

3.4.2. Пример решения задачи Д 4……………………………………..29

Литература………………………………………………………………36

Приложения……………………………………………………………. 37

 

Глава 1. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

«Теоретическая механика» - одна из фундаментальных естественнонаучных дисциплин физико-математического цикла. На материале теоретической механики базируются дисциплины: «Сопротивление материалов», «Прикладная механика», «Теория машин и механизмов», «Детали машин», «Строительная механика», « Гидравлика», а также большое число специальных инженерных дисциплин.

Теоретическая механика делится на три раздела: статику, кинематику и динамику.

Статикаизучает условия, при которых механическое воздействие тел не нарушает их относительного покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения.

Кинематика изучает движение объектов с геометрической точки зрения, то есть без учета их масс и сил, приложенных к ним.

Динамика изучает движение материальных объектов с учетом действующих на них сил.

В результате изучения теоретической механики студент должен знать:

ДИНАМИКА

Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Силы , зависящие от времени, от положения точки и от ее скорости. Законы классической механики или законы Галилея-Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.

Динамика точки.

Прямолинейные колебания точки.Свободные колебания материальной точки. Амплитуда, начальная фаза, частота и период колебаний. Затухающие колебания… Введение в динамику.Механическая система. Силы внутренние и внешние. Свойства… Моменты инерции. Момент инерции тела относительно оси; радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно…

Общие теоремы динамики

Теорема об изменении количества движения. Количество движения материальной точки. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток…

Теорема об изменении момента количества движения.

Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения. Закон сохранения кинетического момента механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии.

Кинетическая энергия материальной точки. Работа силы. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Кинетическая энергия механической системы.

Принцип Даламбера для материальной точки и для системы.

Элементы теории удара.Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой… Глава 2. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ, ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ, ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

Глава 3. ДИНАМИКА

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС.

(1) Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической… Уравнение (1) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: центр масс…

ЗАДАЧА Д1

При движении грузов угол изменяется по закону , а угол по закону. В табл. Д.1 эти зависимости даны отдельно для рис.0-4 и 5-9, где φ -выражено… Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями,… Указания: Задача Д 1- на применение теоремы о движении центра масс. При этом для определения составить уравнение в…

Таблица Д1

Номер условия	Рис. 0-4	Рис. 5-9	Найти
,		,
					Х3
					N
					Х3
					N
					Х3
					N
					X3
					N
					X3
					N

 

 

 

 

Пример решения задачи Д1.

 

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁ и D₂ массой m₂ и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃, движущийся вдоль горизонтальных направляющих ( рис. Д1). В момент времени t₀ =0 , когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющие собой окружности радиусов r и R по законам и .

Д а н о : m₁ =6 кг, m₂ =8 кг, m₃ =12 кг, r=0,6 м, R=1,2 м, рад, рад ( t-в секундах). О п р е д е л и т ь: - закон движения плиты, - закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Решение.Рассмотрим механическую систему , состоящую из плиты и грузов D₁ и D₂ , в произвольном положении ( рис. Д 1). Изобразим действующие на систему внешние силы : силы тяжести Р₁, Р₂ , Р₃ и реакцию направляющих N. Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку С₃₀ , где находится центр масс плиты в момент времени t₀ =0.

а) Определения перемещения х₃ . Для определения воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х.

Получим

или (1)

так как , поскольку все действующие на систему внешние силы вертикальны.

Проинтегрировав уравнение (1), найдем, что , т.е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени , то С₁=0.

Интегрируя уравнение , получим

 

(2)

т.е. центр масс системы вдоль оси Ох перемещаться не будет.

Определим значение . Из рисунка Д1 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно , . Так как по формуле, определяющей координату х_с центра масс системы, , то

. (3)

В соответствии с равенством (2) координаты центра масс х_с всей системы в начальном и произвольном положении будут равны. Следовательно, учитывая, что при , получим

(4)

Отсюда получаем зависимость от времени координаты х_с.

О т в е т : м, где t –в секундах.

б) Определение реакции N.Для определения составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у ( см. рис. Д 1):

. (1)

Отсюда получим, учтя, что , и.т.д.:

. (2)

По формуле определяющей ординату у_с центра масс системы,

 

получим

или .

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, найдем

;

.

Подставив это значение в уравнение (2), определим искомую зависимость N от t.

О т в е т: , где t –в секундах, N – в ньютонах.

 

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

(1) Вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный… Проецируем вектор на оси координат:

ЗАДАЧА Д2

На рис 0-3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние S=АД изменяется по закону , а на рисунке 4-9 желоб –окружность радиуса R=0,8 м и… Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями,… Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении количества движения системы. При решении составить уравнение,…

Таблица Д 2

Номер условия
Рис.0,1	Рис. 2,3	Рис 4,5,6	Рис. 7,8,9

 

3.2.2. Пример решения задачи Д2. В центре тяжести А тележки массой m₁ , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень АD длиной с грузом D массой m₂ на конце (Рис. Д2). В момент времени

t₀ =0 , когда скорость тележки U=U₀ стержень АD начинает вращаться вокруг оси А по закону .

Д а н о : m₁ =24 кг, m₂ =12 кг, U₀ =0,5 м/с, =0,6 м, рад (t-в секундах). О п р е д е л и т ь : -закон изменения скорости тележки.

Решение.

Чтобы определить U, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все действующие на систему… , откуда (1)

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МНХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Изменение кинетической энергии материальной системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

Формулы для подсчёта кинетической энергии

Твердого тела в различных видах его движения

1. Тело движется поступательно

Скорости всех точек твердого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому:

,

где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; угловая скорость вращения тела, 1/c.

Тело совершает плоское движение

, где JСz' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz', кг·м2; - угловая…

Тело вращается вокруг неподвижной точки

где Jω – момент инерции тела относительно мгновенной оси скоростей, кг·м2. Примечание: 1. Момент инерции цилиндра: 2. Момент инерции ступенчатого шкива:…

Примеры вычисления работы сил

1. Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

2. Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

3. Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

4. Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.

5. Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А=± Mgh_c, где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g – ускорение свободного падения, м/с².

6. Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу, равна: А=± M^П(φ-φ₀), где M^П- момент пары сил, приложенной к телу, Нм; φ-φ₀ – значение конечного угла поворота тела.

7. Работа силы трения: А= - F_тр·S, где S- перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

8. Работа сил упругости пружины: А=0,5с∙(λ²₀ - λ²₁), где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ₀> λ₁ и отрицательна при λ₀< λ₁.

 

 

ЗАДАЧА Д3

Применение теоремы об изменении кинетической энергии

К изучению движения механической системы

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в… Все катки катятся по плоскостям без скольжения. Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. Д 3.0-3.4) и 2 (рис. Д 3.5-3.9) равны нулю, то на чертеже…

Пример решения задачи Д -3

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ и r₃, радиусом инерции ρ₃ относительно оси вращения, блока 4 радиуса R₄ и подвижного блока 5 (коэффициент трения грузов о плоскость равен f).Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3.

К центру блока 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Дано: m₁=0 кг, m₂=5 кг, m₃=6 кг, m₄=0 кг, m₅=4 кг, R₃=0,3 м, r₃= 0,1 м, ρ₃=0,2 м, f=0,1, с=240 Н/м, М=0,6 Нм, F=80(3+2S)H, s₁=0,2 м.

Определить: v_c5 в тот момент, когда s= s₁.

 

 

Решение:

1.Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 3, 5 и невесомых тел 1 и 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, F_упр, Р₂ , Р₃ , Р₅ , F_тр2 , момент сопротивления М, натяжение нити S₅ и реакции связей N₂ , N₃, N₄ .

 

Рис. Д.3

2. Для определения v_c5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: ,где - соответственно, сумма работ внешних и внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю.

В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т₀=0.

3. Кинетическая энергия системы равна сумме энергий всех тел системы:

Т= Т₂+ Т₃+ Т₅.

4. Выполним кинематический анализ:

- тело 2 движется поступательно;

- тело 3 вращается вокруг неподвижной оси;

- тело 5 участвует в плоскопараллельном движении.

Исходя из этого, кинетическая энергия системы может быть представлена выражением:

.

5. Кинетическая энергия Т, которую получила система после того, как груз переместился вдоль наклонной плоскости на расстояние s₁, зависит от искомой скорости v_c5. Поэтому все скорости, входящие в выражение кинетической энергии данной механической системы, выразим через скорость v_c5.

6. Поскольку грузы 1 и 2 связаны нерастяжимой нитью, то их скорости равны. В свою очередь эта нерастяжимая нить перекинута через малый обод шкива 3, следовательно: v₁= v₂= v_А, где v_А – любая точка обода радиуса r₃ шкива 3.

7. Линейные скорости шкива 2 и блока 5 зависят от одной угловой скорости ω₃: v₂= ω₃r₃, v₅= ω₃R₃.

8. Поскольку точка К₅ является мгновенным центром скоростей для блока 5 (он как бы «катится» по участку нити К₅L), то v₅=2v_c5. Тогда:

9. Осевые моменты инерции подвижного блока 5 и ступенчатого шкива 3 определяется выражениями:

10. Выполнив подстановку всех приведенных выше значений в выражение кинетической энергии для заданной механической системы, получим:

.

11. Находим работу всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь s₁=0,2 м. Введем следующие обозначения: s₂ – перемещение груза 2 ( s₂=s₁); φ₃ – угол поворота шкива 3; h₅ – перемещение центра масс блока 5; λ₀, λ₁ –начальное и конечное удлинение пружины.

Сумма работ всех внешних сил равна:

, где

 

Работы остальных сил равны нулю:

- точка К₅ – мгновенный центр скоростей, поэтому работа силы натяжения

нити S₅ равна нулю;

- реакция опоры N₂ перпендикулярна перемещению груза 2, а поэтому рабо-

ты не совершает;

- реакции N₃ , N₄, приложенные в неподвижных точках, не совершают работы.

По условию задачи λ₀=0, тогда λ₁ = s_c5 – перемещение конца пружины. Выразим величины s_c5 и φ₃ через заданное перемещение s₁. Зависимость между перемещениями такая же, как между соответствующими им скоростями:

12. Поскольку v₅=v₃=ω₃R₃ и v_c5=0,5v₅, то v_c5=0,5ω₃R₃. Следовательно, λ₁ = s_c5=0,5φ₃R₃=0,5(s₁R₃)/r₃.

13. При найденных значениях φ₃ и λ₁ получим выражение для подсчета суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему:

14. Кинетическую энергию приравниваем к работе:

 

=

=

Подставив в полученное выражение известные численные значения заданных величин, найдем искомую скорость v_c5.

Ответ: v_c5 = 2,10 (м/c).

 

Таблица Д-3

Номер условия	m1 кг	m2 кг	m3 кг	m4 кг	m5 кг	С, Н/м	М, Нм	F=f(s), H	Найти
							1,2	80(4+5s)	ω3
							0,8	50(8+3s)	v1
							1,4	60(6+5s)	v2
							1,8	80(5+6s)	ω4
							1,2	40(9+4s)	v1
							1,6	50(7+8s)	Vс5
							0,8	40(8+9s)	ω3
							1,5	60(8+5s)	V2
							1,4	50(9+2s)	ω4
							1,6	80(6+7s)	Vс5

Рис.Д3.0 Д.3.1.

 

 

Рис. Д3.2 Рис.Д 3.3.

 

 

Рис Д 3.4 Рис.Д.3.5.

 

Рис.Д 3.6. Рис. Д 3.7

Рис. Д.3.8 Рис.Д.3.9.

ПРИНЦИП ГЕРМАНА-ЭЙЛЕРА-ДАЛАМБЕРА ДЛЯ НЕСВОБОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

(1) - главный вектор задаваемых сил; главный вектор реакций связей; - главный… Из уравнения (1) следует, что в любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма…

ЗАДАЧА Д 4

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а=0,6 м Указания. Задача Д4- на применение к изучению движения системы принципа…

Пример решения задачи Д 4.

Вертикальный вал длиной 3а( АВ=ВD =DЕ=ЕК=а), закрепленный подпятником А и подшипником D ( Рис. Д 4,а), вращается с постоянной угловой скоростью ω. К валу жестко прикреплен в точке Е ломаный однородный стержень массой m и длиной , состоящий из двух частей 1 и 2 , а в точке В прикреплен невесомый стержень длиной с точечной массой m₃ на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Д а н о :

О п р е д е л и т ь: реакции подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение:1. Изображаем (с учетом заданных углов) и прикрепленные к нему в точках В и Е стержни ( рис. Д4, б). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

. (1)

2. Для определения исходных реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Аху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху , и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести P₁, P₂ , P₃ и реакции связей – составляющие реакции подпятника Х_А, У_А и реакцию цилиндрического подшипника R_D.

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции - будут направлены от оси вращения, а численно

масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 –прямоугольник (рис. Д4,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей , равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где m- масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

 

, , , (4)

где расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а соответствующее расстояние груза:

,

, (5)

.

 

 

Рис. Д 4.а

Рис. Д 4. б

 

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения :

,

, (6)

.

При этом линии действия равнодействующих пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника Е, где .

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

;

(7)

Где плечи сил относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что м)/

м,

м. (8)

Подставив в уравнение (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

О т в е т : Х_А=-33,7 Н, У_А= 117,7 Н, R_D=-45,7 Н.

Рис.Д 4.0 Рис. Д4.1

 

 

Таблица Д 4.

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	α, град.	β, град.	γ,град.	φ,град.
ломаного стержня	невесомого стержня	рис.0-4	рис.5-9
	В	D	К
	К	В	D
	К	Е	В
	D	К	В
	К	D	Е
	Е	В	К
	Е	D	К
	К	В	Е
	D	Е	К
	Е	К	D

 

Рис. Д4.2 Рис.Д4.3

 

Рис. Д4.4 Рис. Д4.5

 

 

Рис. Д4.6 Рис. Д4.7

 

 

 

Рис. Д4.8 Рис. Д4.9

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основной

 

1. Яблонский А.А., В.М.Никифорова Курс теоретической механики. Учеб.пособие для вузов: 15-е изд., стер.-М.;КНОРУС,2010.-608с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2005.-415 с.

3. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие для студ.вузов,обуч.по техн.спец./И.В.Мещерский; Под ред. В.А.Пальмова, Д.Д.Меркина.-45-е изд.,стер.-СПб.и др.: Лань,2006.-447 с. 2. Тарг С.М.

Дополнительный

2. Бать М.И и др. Теоретическая механика в примерах и задачах. Учеб.пособ. для вузов. В 2-х т./М.И.Бать, Г.Ю.Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд.,… 3. Теоретическая механика. Терминология. Буквенные обозначения величин:…  

Министерство сельского хозяйства российской федерации

Фгоу впо

«санкт-петербургский государственный аграрный университет»

Кафедра технической механики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

  Номер варианта_________