рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Волновое уравнение

Волновое уравнение - раздел Механика, КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ     Из Курса Электричества Мы Уже Знаем, Что Пере...

 

 

Из курса электричества мы уже знаем, что переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле. Линии этого поля замкнуты, оно существует независимо от электрических зарядов и только до тех пор, пока происходит изменение магнитного поля. На электрические заряды оно действует так же, как электростатическое поле, что следует из явления электромагнитной индукции.

Изучая взаимосвязь между электрическим и магнитным полями, Д. Максвелл создал теорию электромагнитного поля на основе двух постулатов (утверждений):

1) переменное магнитное поле создает в окружающем его пространстве вихревое электрическое поле;

2) переменное электрическое поле создает в окружающем его пространстве вихревое магнитное поле.

Когда конденсатор включен в цепь переменного тока, то между его обкладками имеется переменное электрическое поле, а это означает, что в том же пространстве должно быть магнитное поле. Таким образом, изменяющееся электрическое поле по его магнитному действию можно рассматривать как своеобразный электрический ток без зарядов. В отличие от тока проводимости Максвелл стал называть его током смещения. Итак, применяя термин «электрический ток» в широком смысле слова, т. е. включая в него и ток проводимости и ток смещения, можно утверждать, что магнитное поле создается только электрическим током и действует только на движущиеся заряды; электрическое же поле создается электрическими зарядами и переменным магнитным полем и действует на любые электрические заряды.

Описанное выше изменение электрического поля в конденсаторе создает в близлежащих точках окружающего пространства изменяющееся магнитное поле, которое в свою очередь создает в соседних точках электрическое поле, и т. д. Таким образом, во всем пространстве, где происходят изменения полей, одновременно существуют вихревые электрическое и магнитное поля, взаимно порождающие и поддерживающие друг друга. Поскольку эти поля неразрывно связаны, их общее поле условились называть электромагнитным полем.

Из сказанного выше следует, что если в какой-либо малой области пространства периодически изменять электрическое и магнитное поля, то эти изменения должны периодически повторяться и во всех других точках пространства, причем в каждой последующей точке несколько позже, чем в предыдущей. Иными словами, если создать электромагнитные колебания в какой-либо небольшой области, то от нее должны распространяться во все стороны электромагнитные волны с определенной скоростью[3]. Итак, из постулатов Максвелла следует, что в природе должны существовать электромагнитные волны.

Посмотрим теперь, как из уравнений Максвелла получается волновое уравнение вида (*.*), рассмотренное нами в главе 1. Зачем это надо? Ну прежде всего математически подтвердить наши качественные рассуждения. Но не только. Как мы помним коэффициент в правой части волнового уравнения есть квадрат скорости распространения волны. Таким образом, мы можем надеяться получить теоретическое предсказание для скорости электромагнитных волн, затем сравнить ее с измеренной экспериментально и, следовательно, подтвердить или опровергнуть нашу теорию. Проделаем это.

Нас интересует распространение электромагнитных волн в самом простом случае, например в воздухе. С хорошей точностью можно считать, что воздух является диэлектриком, притом однородным. Для такой среды уравнения Максвелла имеют вид:

 

; ; (1.1)

 

 

Здесь вектора Е и Н это напряженности электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля, индексом снизу мы обозначаем соответствующую проекцию, ε0 – электрическая постоянная, ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды (в нашем случае – воздуха).

Уравнения (1.1) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных и математически выражают уже упомянутый нами факт: переменное электрическое поле создает в окружающем его пространстве вихревое магнитное поле..

Вторая группа уравнений Максвелла математически выражает другой упомянутый факт: переменное магнитное поле создает в окружающем его пространстве вихревое электрическое поле

 

; ; (1.2)

 

здесь μ0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.

К этим уравнениям добавим еще два:

 

(1.3)

 

 

(1.4)

 

Уравнения (1.1)-(1.4) представляют собой полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме, в которых все входящие величины относятся к одной и той же точке поля и одному и тому же моменту времени.

Как Е, так и Н являются в общем случае функциями времени и координат x, y, z, т.е. всего 4-х переменных. Аналитически (как это не прискорбно) эти уравнения решаются только в очень ограниченном числе простейших случаев, поэтому их решают численно.

Далее мы ограничимся особенно простым случаем электромагнитного поля, когда Е и Н зависят от одной координаты х и от времени (одномерная задача). Это значит, что все пространство можно разбить на бесконечно тонкие плоские слои, внутри которых Е и Н имеют одно и то же значение во всех точках (рис. 1.1).

Как и у механических волн, у электромагнитных волн, поверхность, во всех точках которой колебания имеют одинаковую фазу, называют фронтом волны. В зависимости от того, какую форму имеет волновой фронт, мы говорим о плоских волнах (волновой фронт плоский), сферических, цилиндрических и т. д. Рассматриваемая одномерная задача соответствует, очевидно, плоским электромагнитным волнам.

Для одномерного случая уравнения Максвелла сильно упрощаются. Так как все производные по у и z равны нулю, то прежде всего из первого уравнения (1.1) следует, что , а из первого уравнения (1.2) — что . Это значит, что составляющие полей Ех и Нх не зависят от времени. Далее из (1.3) и (1.4) получается, что и , а значит, Ех и Нх не зависят также и от координаты. Поэтому

 

Ех=const и Нх=const

 

Остающиеся уравнения (1.1) теперь принимают вид

 

 

 

а уравнения (1.2) — вид

 

 

 

Эти четыре уравнения можно сгруппировать в две независимые группы, одна из которых связывает y-составляющие электрического поля и z-составляющие магнитного поля

 

 

 

 

а другая — z-составляющие электрического поля и y-составляющие магнитного поля

 

 

 

 

Отсюда следует, что меняющееся во времени электрическое поле Еy вызывает появление только магнитного поля Hz, направленного вдоль оси Z, а переменное во времени магнитное поле Hz влечет появление электрического поля Еy, целиком направленного вдоль оси Y. Или, иначе: в электромагнитном поле электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг к другу. Такой же вывод вытекает и из второй пары уравнений.

Найденный результат позволяет положить без нарушения общности, что все электрическое поле направлено вдоль одной из осей, например вдоль оси У, а магнитное поле — вдоль оси Z (рис. 1.2). Поэтому в последних уравнениях можно положить, Еy=E, Еz = 0, Hz =H, Hy = 0, и мы находим окончательно уравнения Максвелла для одномерного случая в следующем простом виде:

 

(1.5)

 

Исключим из уравнений Максвелла (1.5) магнитное поле Н. Для этого умножим первое из уравнений на μ0 μ и продифференцируем обе его части один раз по t:

 

 

 

Второе уравнение продифференцируем по х:

 

 

 

 

Так как правые части этих уравнений одинаковы, то, следовательно, равны и левые части, т. е.

 

(1.6)

 

Такое же уравнение мы получили бы и для Н, если бы из (1.5) исключили электрическое поле Е.

Уравнение (1.6) есть волновое уравнение, рассмотренное в главе 1. Отсюда следует, что поля Е и Н могут распространяться в пространстве, т. е. могут существовать электромагнитные волны.

Теперь ясно, что обещанное теоретическое значение скорости электромагнитных волн равно:

 

(1.7)

 

где с есть скорость распространения при ε = μ = 1, т. е. в вакууме. Мы получили, таким образом, выражение для скорости распространения электромагнитных волн, которое соответствует опыту с=3·108 м/c.

Уравнению (1.6) удовлетворяет, в частности, простейшая – синусоидальная волна:

 

,

 

в которой вектор Е распространяется вдоль оси ОХ со скоростью с; – круговая частота; λ - длина волны.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

На сайте allrefs.net читайте: КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ВВЕДЕНИЕ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Волновое уравнение

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Образование и распространение волн в упругой среде
Начнем с определения упругой среды. Как можно заключить из названия упругая среда это такая среда в которой действуют силы упругости. Применительно к нашим целям, добавим, что при любом возмущении

Линию, вдоль которой происходит распространение фронта волны, называют лучом.
  Нетрудно сообразить, что в изотропной среде луч всегда нормален (перпендикулярен) к волновой поверхности. В изотропной среде все лучи представляют собой прямые линии. Каждая прямая,

Плоскость, проходящая через луч, вдоль которого распространяется волна, и через направление колебаний частиц в ней называется плоскостью поляризации.
  Эта плоскость может оставаться одной и той же при перемещении вдоль луча, в таком случае волна называется линейно поляризованной, а может как то менять свою ориентацию в прос

Уравнение волны
При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных точках среды и изменение этих величин с течением времени. Эта задача может быть решена, если изв

Поток энергии в волновых процессах
    Процесс распространения волны в каком-нибудь направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Допустим, что S есть часть фро

Эффект Допплера.
  Разберем вопрос о том, какова связь между колебаниями, испускаемыми источником, и колебаниями, воспринимаемыми каким-либо прибором, регистрирующим колебания, если источник и прибор

Стоячие волны
  Особым примером результата интерференции двух волн служат так называемые стоячие волны, образующиеся в результате наложения двух встречных волн с одинаковыми амплитудами.

Свойства электромагнитных волн
В предыдущем параграфе мы видели, что в электромагнитной волне векторы Е и Н перпендикулярны друг другу. Но кроме того они еще и перпендикулярны напр

Энергия и импульс электромагнитного поля
  Наверное вы уже поняли, что основные свойства волн не зависят от их природы. Это касается и такого важного свойства как перенос энергии. Подобно механическим волнам, электромагнитны

Электромагнитная природа света
    С самой ранней эпохи еще до древних греков, когда, как об этом говорит легенда, Аполлон разъезжал в огненной колеснице по небу, и до наших дней, когда Тверская утопа

Естественный свет
В предыдущей главе мы назвали простейшей синусоидальную волну вида:   (2.1) где конечно ω = 2πν . Заметим здесь, такую волну называют ещ

Волновой пакет
Понятие фазовой скорости, введенное нами ранее, применимо только к строго монохроматическим волнам, которые реально не осуществимы, так как они должны были бы существовать неограниченно долго во вр

Законы отражения и преломления света
  Первые законы оптических явлений были установлены на основе представлений о прямолинейных световых лучах. Они относились к изменениям направления распространения света при отражении

Геометрическая оптика
    Устройство большого числа оптических приборов базируется на представлении о световых лучах, распространяющихся прямолинейно в однородном веществе и испытывающих отра

Увеличение
  Выберем в качестве светящегося предмета линию А1В1, перпендикулярную к оси, и построим ее изображение А2В2 (рис. 6.1). Отно

Центрированная оптическая система
Случай преломления на одной сферической поверхности сравнительно редок. Большинство реальных преломляющих систем содержит, по крайней мере, две преломляющие поверхности (линза) или большее их число

Преломление в линзе. Общая формула линзы
    Большое значение имеет простейший случай центрированной системы, состоящей всего из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный хорошо прелом

Глаз как оптическая система
Глаз человека представляет собой сложную оптическую систему, которая по своему действию аналогична оптической системе фотоаппарата. Схематическое устройство глаза представлено на рис. 1. Глаз имеет

Фотометрические понятия и единицы
Воздействие света на глаз или какой-либо другой приемный аппарат состоит прежде всего в передаче этому регистрирующему аппарату энергии, переносимой световой волной. Поэтому, прежде чем рассматрива

Понятие о когерентности
Закон независимости световых пучков, упомянутый ранее, означает, что световые пучки, встречаясь, не воздействуют друг на друга. Это положение было ясно сформулировано Гюйгенсом, который писал в сво

Интерференция волн
  В соответствии с определением предыдущего параграфа мы говорим об интерференции волн, когда при их совместном действии не происходит суммирования интенсивностей. Условием инт

Осуществление когерентных волн в оптике
Опыт показывает, что когда два независимых источника света, например две свечи, или даже два различных участка одного и того же светящегося тела посылают световые волны в одну область пространства,

Цвета тонких пластинок
Как было выяснено ранее, при точечных источниках света будут наблюдаться резкие интерференционные картины. В таком случае при любом положении экрана, пересекающего систему поверхностей максимумов и

Кольца Ньютона
    Особый исторический интерес представляет случай интерференции в тонком воздушном слое, известный под именем колец Ньютона. Эта картина наблюдается, когда выпуклая по

Интерференция в плоскопараллельных пластинках. Полосы равного наклона
    Из соотношения Δ = 2hn cos r следует, что для плоскопараллельной однородной пластинки (h и п всюду одни и те же) разность хода может

Интерферометр Майкельсона
Рассмотрим вначале подробнее одну схему, на которой очень отчетливо выступают все наиболее существенные детали интерференционной схемы. Эта схема, известная под названием билинзы Бийе, осу

Интерференция немонохроматических световых пучков
Как уже упоминалось интерференция немонохроматического света приводит к сложной картине, состоящей из совокупности максимумов и минимумов, соответствующих разным λ,. Если λ имеет все возм

Принцип Гюйгенса — Френеля
Явления интерференции света во всем их многообразии служат убедительнейшим доказательством волновой природы световых процессов. Однако окончательная победа волновых представлений была невозможна бе

Зонная пластинка
  Хорошей иллюстрацией, подтверждающей приведенный метод рассуждения Френеля, может служить опыт с зонной пластинкой. Как следует из сказанного выше, радиус т-й зоны Френеля ра

Графическое вычисление результирующей амплитуды
  Рассмотрение вопроса о действии световой волны в точке В (см. рис. 1.4), равно как и многих других аналогичных вопросов, чрезвычайно удобно производить, пользуясь графически

Дифракция Френеля на круглом отверстии
  Применение метода Френеля позволяет предвидеть и объяснить особенности в распространении световых волн, наблюдающиеся тогда, когда часть фронта идущей волны перестает действовать вс

Дифракция Фраунгфера от щели
    До сих пор мы рассматривали дифракцию сферических или плоских воли, изучая дифракционную картину в точке наблюдения, лежащей па конечном расстоянии от препятствия. И

Дифракция на двух щелях
Рассмотрим опять явление дифракции на щели по схеме, изображенной на рис. 5.2. Положение дифракционных максимумов и минимумов не будет зависеть от положения щели, ибо положение максимумов определяе

Дифракционная решетка
  Рассмотрение дифракции на двух щелях показывает, что в этом случае дифракционные максимумы становятся более узкими, чем в случае одной щели. Увеличение числа щелей делает это явлени

Волновые поверхности в одноосном кристалле.
  Объяснение двойного лучепреломления в одноосных кристаллах было впервые дано Гюйгенсом в его „Трактате о свете" (1690 г.). Гюйгенс предположил, что обыкновенному лучу соответст

Поляризационные приборы.
    Для получения из естественного света плоско поляризованного света можно воспользоваться либо поляризацией при отражении под углом Брюстера, либо двойным лучепреломле

Интерференция поляризованных лучей. Эллиптическая и круговая поляризация.
    Лучи, обыкновенный и необыкновенный, возникающие при двойном лучепреломлении из естественного свети, не когерентны. Если естественный луч разложить па два луча, поля

Кристаллическая пластинка между николями.
  До сих пор мы рассматривали интерференцию поляризованных лучей, колебания в которых происходят во взаимно перпендикулярных направлениях. Рассмотрим теперь интерференцию двух поляриз

Искусственное двойное лучепреломление.
  В начале девятнадцатого столетия было открыто возникновение двойного лучепреломления в прозрачных изотропных телах под влиянием механической деформации. Оптическую анизотропию, появ

Двойное лучепреломление в электрическом поле.
    Другим примером искусственной анизотропии является анизотропия, возникающая в телах под влиянием электриче­ского поля. Этот вид анизотропии был открыт в 1875 г. Керр

Вращение плоскости поляризации.
    В направлении оптической оси свет распространяется в кристалле так же, как и в однородной среде, не давая двойного лучепреломления. Однако было замечено, что в крист

Магнитное вращение плоскости поляризации.
    Вещества, не обладающие естественной способностью вращать плоскость поляризации, приобретают такую способность под влиянием внешнего магнитного поля. Явление магнитн

Дисперсия света. Методы наблюдения и результаты
Любой метод, который применяется для определения показателя преломления, — преломление в призмах, полное внутреннее отражение, интерференционные приборы — может служить для обнаружения дисперсии.

Основы теории дисперсии
    Плодотворная попытка истолкования богатого материала, полученного экспериментальным путем, была сделана еще в «упругой» теории света. Хотя эта теория не могла связат

Поглощение (абсорбция) света
Прохождение света через вещество ведет к возникновению колебаний электронов среды под действием электромагнитного поля волны и сопровождается потерей энергии последней, затрачиваемой на возбуждение

Ширина спектральных линий и затухание излучения
  Уже неоднократно указывалось, что идеальное монохроматическое излучение представляет собой фикцию и что в реальных случаях излучение всегда соответствует некоторому интервалу длин в

Прохождение света через оптически неоднородную среду
Как уже упоминалось ранее, вторичные волны, вызываемые вынужденными колебаниями электронов, рассеивают в стороны часть энергии, приносимой световой волной. Другими словами, распространение света в

Частота и поляризация – основные характеристики света в долазерной оптике
Световая волна, являющаяся волной электромагнитной, характеризуется частотой, амплитудой и поляризацией. Гармоническая (или монохроматическая) волна, распространяющаяся вдоль оси , описывается выра

Роль интенсивности света
В подавляющем числе оптических эффектов, исследованных до создания лазеров, амплитуда световой волны А все же не влияла на характер явления. В большинстве случаев количественные, а тем более

Линейный атомный осциллятор
Взаимодействие света со средой. Причины, по которым в линейной оптике характер явлении не зависит от интенсивности излучения, можно выявить, обратившись к ее теоретическим основам. Известно, что эф

Нелинейный атомный осциллятор. Нелинейные восприимчивости
Движение электрона в поле ядра — это движение в потенциальной яме, имеющей конечную глубину (рис. 1,а). Наглядным, хотя и грубым, аналогом движения электрона в поле ядра и соответству

Причины нелинейных оптических эффектов
Нелинейный отклик атомного или молекулярного осциллятора на сильное световое поле – наиболее универсальная причина нелинейных оптических эффектов. Существуют и другие причины: например, изменение п

Фотоны друг с другом непосредственно не взаимодействуют
В физике используется (и подтверждается) представления о «непосредственном взаимодействии», приводящем к рассеянию частиц друг на друге, к поглощению одних частиц другими, взаимным превращениям час

Однофотонные и многофотонные переходы
Оптические переходы разделяются на однофотонные и многофотонные. В однофотонном переходе участвует, т. е. испускается либо поглощается один фотон. В многофотонном переходе участвуют о

Виртуальный уровень.
На рисунке 1а изображены два однофотонных перехода: сначала поглощается один фотон с энергией и микрообъект переходит с уровня 1 на уровень 2, затем поглощается другой фотон и микрообъект пе

Каким образом микрообъект играет роль «посредника» в процессах преобразования «света» в «свет»?
Рассмотрим различные процессы «превращения» одних фотонов в другие фотоны. Начнем с процесса, представленного на рисунке 2. Микрообъект поглощает фотон с энергией и переходит с уровня 1

Процесс, описывающий генерацию второй гармоники.
Многофотонные процессы, в которых начальное и конечное состояния микрообъекта одинаковы, представляют для нелинейной оптики особый интерес. Выше мы рассмотрели двухфотонный процесс. Далее рассмотри

Некогерентные и когерентные процессы преобразования света в свет
В предыдущем вопросе на примере (элементарных актов взаимодействия фотонов с микрообъектом были рассмотрены различные процессы преобразования света в свет. В одних процессах переходы с поглощением

Тепловое излучение. Закон Кирхгофа
  Тепловое излучение — это электромагнитное излучение, возбуждаемое за счет энергии теплового движения атомов и молекул. Если излучающее тело не получает теплоты извне, то оно охлажда

Законы излучения абсолютно черного тела
  Спектральная плотность излучения абсолютно черного тела является универсальной функцией длины волны и температуры. Это значит, что спектральный состав и энергия излучения абсолютно

Фотоэффект
Фотоэлектрический эффект был открыт в 1887 году немецким физиком Г. Герцем и в 1888–1890 годах экспериментально исследован А. Г. Столетовым. Наиболее полное исследование явления фотоэффекта было в

Специальная теория относительности.
  В классической физике до появления теории относительности (1905 г.), предполагалось, что любой физический процесс, использо­ванный (как «эталонный») для измерения времени, выявляет

Преобразования Лоренца.
  Допустим, что один из законов физики, полученный относительно системы отсчета S, имеет вид f (x, y, z, t . . . )=0,   а относительно си

Следствия из преобразований теории относи­тельности.
  Рассмотрим наиболее важные следствия преобра­зований Лоренца.   а) Длина тел в разных системах. Преобразова­ния Лоренца показывают, что одно и то же

Механика теории относительности.
  Рассуждения, приведенные выше, показывают, что оптические (и электро­магнитные) явления подтверждают кинематику теории отно­сительности, вытекающую из преобразований Лоренца. Есте­с

Эффект Комптона
  Рисунок 1 Особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства света в явлении, которое получило название

Постулаты Бора. Опыт Франка и Герца
В предыдущем параграфе было выяснено, что ядерная модель атома в сочетании с классической механикой и электродинамикой оказалась неспособной объяснить ни устойчивость атома, ни характер атомного сп

Волновые свойства частиц. Соотношение неопределенностей.
  В 1923 году произошло примечательное событие, которое в значительной степени ускорило развитие квантовой физики. Французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги