МЕХАНИКА

МЕХАНИКА

Лекция 1

  Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь по… К телам больших (по сравнению с массой атомов) масс и малых (по сравнению со скоростью света) скоростей можно считать…

Средняя скорость .

Средняя путевая скорость .

Модуль скорости . В системе СИ скорость имеет размерность – м/с . В проекциях на координатные оси

Лекция 2

Силы   Силой называется векторная величина, характеризующая воздействия на рассматриваемое тело со стороны других тел, в…

Однородная сила тяжести: .

, где – ускорение свободного падения; – ускорение тела вместе с опорой относительно Земли.

Лекция 3

Закон сохранения момента импульса

, где – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А приложения силы.

JO = JC + m.а 2 .

Доказательство теоремы:

Пусть положение i-го элемента твёрдого тела относительно осей О и С характеризуется векторами и , а положение оси С относительно оси О – вектором , плоскость которого перпендикулярна осям О и С . Воспользовавшись связью между этими векторами , преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси О следующим образом:

, или

.

В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерции тела J_C i-го элемента твёрдого тела относительно оси С, а последняя сумма равна m^.а ². Покажем, что средняя сумма равна нулю.

Пусть – радиус-вектор i-го элемента твёрдого тела относительно центра масс, тогда относительно центра масс суммарный вектор . Но – это составляющая вектора , перпендикулярная осям О и С . Очевидно, что если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям О и С , также равна нулю, т.е. и теорема доказана.

 

Моменты инерции некоторых однородных твёрдых тел:

Тело	Положение оси	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиуса R и массы т	Ось обруча или цилиндра	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R и массы т	Ось цилиндра или диска
Шар радиуса R и массы т	Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R и массы т	Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень длины l и массы т	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину   Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

Основной закон динамики вращательного

движения

Выражение 2-ого закона Ньютона можно преобразовать, умножив левую и правую часть на :

 

или или

Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг оси OZ.

Момент импульса твёрдого тела относительно начала координат (точки О)

.

 

Вектор перпендикулярен оси , а вектор направлен вдоль оси OZ. Таким образом , или

.

Тогда

.

 

Если тело в процессе вращения не деформируется, то и

или

, где

– проекция вектора углового ускорения на ось вращения OZ.

Для замкнутой (изолированной) системы момент внешних сил М_ВНЕШН всегда равен нулю, так как на неё внешние силы не действуют. Поэтому из основного закона динамики вращательногодвижения (закона изменения момента импульса) вытекает закон сохранения момента импульса:

и .

Момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной точки не изменяется с течением времени.

Если за неподвижную точку взять центр масс системы, то для замкнутой системы .

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси OZ также всё время остаётся постоянным:

 

.

 

Если в незамкнутой системе сумма моментов относительно какой-либо неподвижной оси всех внешних сил, действующих на систему, тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени. Т.е. если , то .

 

Пример: Скамья Жуковского

 

Скамья Жуковского представляет собой горизонтальную площадку, имеющую форму круга и свободно вращающуюся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси OZ . Человек, стоящий на скамье, держит в руках массивные гимнастические гантели и вращается вместе со скамьёй вокруг OZ .

 

 

Прижимая гантели к груди, человек уменьшает момент инерции системы, и угловая скорость её вращения возрастает.

Поскольку момент внешних сил (сил тяжести и реакции подшипников скамьи) относительно оси OZ равен нулю, момент импульса системы относительно оси OZ в рассматриваемом процессе не изменяется, т.е.

 

. где

– момент инерции человека и скамьи;

т – масса одной гантели.

 

 

Лекция 4

Работа. Рассмотрим малое перемещение , в пределах которого силу , действующую… В механике вводится понятие элементарной работы силы на перемещение:

Консервативные силы

. Работа консервативной силы на произвольной замкнутой траектории l точки её приложения равна нулю

Потенциальная энергия

Работа А1-2 , совершаемая консервативными (потенциальными) силами при изменении конфигурации системы , т.е. расположения её частей (материальных… A1-2 = W1 – W2.  

Пример 1. Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле силы тяжести.

;

h – высота подъёма тела над поверхностью Земли ;

W₀ = 0 на поверхности Земли.

.

Пример 2. Потенциальная энергия упруго деформируемого тела.

по закону Гука ;

при х = 0 (для недеформированного тела);

– деформация (удлинение или сжатие деформируемого тела).

.

 

Пример 3. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.

Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они зависят только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой – центром силы – и направлены всюду от центра силы либо всюду к центру силы. Если центр силы принять за начало координат, то центральная сила

, где

– радиус вектор, проведённый из центра силы в рассматриваемую точку поля;

– расстояние от точки до центра силы;

– проекция силы на радиус-вектор .

Для сил отталкивания ;

Для сил притяжения .

Докажем, что поле центральных сил потенциально:

т.к. и

.

Найдём потенциальную энергию материальной точки:

.

Обычно полагают, что . Тогда

.

 

а) для гравитационного поля материальной точки или однородного шара , где

М – масса материальной точки или однородного шара, создающих гравитационное поле;

т – масса материальной точки, находящейся в рассматриваемом поле.

 

.

 

б) для электростатического поля точечного электрического заряда или равномерно заряженных шара или сферы .

.

 

Механической энергией системы называют величину Е , равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы:

 

E = K + W .

Изменение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на систему, и изменения потенциальной энергии системы за рассматриваемый промежуток времени, обусловленного нестационарностью внешних консервативных сил

.

Если система замкнута то .

 

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы консервативные (потенциальные) либо не совершают работы (например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают).

Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси

Поступательное движение	Вращение
– линейная скорость	– угловая скорость
– линейное ускорение	– угловое ускорение
т – масса	J – момент инерции
– импульс	– момент импульса
– сила	– момент силы
или – уравнение движения	или – уравнение движения
– кинетическая энергия	– кинетическая энергия
– работа	– работа
– мощность	– мощность

Лекция 5

Колебания

Колебания называют периодическими если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при её колебаниях,… Т0 – период колебаний (наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому… – частота колебаний;

А) сложение колебаний одного направления

Б) сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.

Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОУ по законам:   и

Свободные незатухающие колебания

  , тогда и

E, K, W

E

K

W

 

Линейный гармонический осциллятор – (например, пружинный маятник).

или

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, решением которого является

,

где

Импульс гармонического осциллятора

 

.

 

Если из системы уравнений р(t) и x(t) исключить время то после преобразований приходим к уравнению, которое на координатной плоскости х, р (фазовой плоскости) является уравнением эллипса

.

График зависимости р = р(х) называют фазовой траекторией. Любая точка этой траектории соответствует состоянию осциллятора в некоторый момент времени. Ниже представлены фазовые траектории свободных незатухающих колебаний, образующих семейство подобных эллипсов (отношение длин полуосей равно k² ).

Каждому эллипсу соответствует определённый уровень энергии осциллятора. Площадь эллипса равна произведению его полуосей, умноженному на :

.

Следовательно, для полной энергии осциллятора можно записать ,

где интеграл представляет из себя площадь, охватываемую фазовой кривой.

 

Физический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться под действием своей силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси О , не проходящей через центр масс тела и называемой осью качания маятника.

 

Если пренебречь силами трения в подвесе маятника, то момент относительно оси качания создаёт только mg и при отклонении маятника на угол α эта сила создаёт момент численно равный и стремящийся возвратить маятник в положение равновесия (α = 0).

 

В соответствии с основным законом динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, уравнение движения физического маятника имеет вид

, где

– расстояние от центра масс маятника до оси качания;

J – момент инерции маятника относительно той же оси.

При малых колебаниях . Тогда

и угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний

, где

– амплитуда колебаний угла .

 

 

Математический маятник – предельный случай физического маятника – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

В этом случае d = l – длина математического маятника, а J = ml².

Соответственно .

Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник называется приведённой длиной l_пр этого физического маятника

 

.

 

Точка О₁ , лежащая на прямой ОС на расстоянии l_пр от точки подвеса О , называется центром качания физического маятника. Точки О и О₁ обладают свойством взаимности.

 

 

Лекция 6

Свободные затухающие колебания

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухания свободных механических колебаний вызываются главным образом трением, сопротивлением… Система называется линейной если параметры, характеризующие существенные в… Пример: свободные затухающие колебания пружинного маятника массы т , движущегося в вязкой среде вдоль оси ОХ. На…

И δ2 – корни характеристического уравнения .

, где – мнимая единица. Общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид

Вынужденные колебания

Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая её вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора … , где

Лекция 7

Механические волны

Среду называют упругой, а деформации, вызываемые внешними воздействиями, называют упругими деформациями, если они полностью исчезают после… Газу присуща объёмная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению его… По закону Гука для объёмной деформации

Энергия волны

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной… Выбрав малый объём среды dV можно записать для плотности энергии , где

Интерференция волн

Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками S1 и S2 , с циклическими частотами…

Лекции 8 и 9

 

Элементы релятивистской механики

В общем случае принцип относительности Галилея можно записать следующим образом: законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта… После того как во второй половине ХIХ в. Максвеллом были сформулированы… В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и…

Пример с поездом

Световой сигнал из середины поезда для пассажира поезда (в системе отчёта К^*) приходит в точки 1 и 2 одновременно, а для наблюдателя, находящегося на платформе (в системе отсчёта К) точка1 движется навстречу сигналу, а точку 2 сигналу приходится «догонять».

Таким образом в разных системах отсчёта время течёт неодинаково.

Чтобы описать «точечное» событие (например, распад элементарной частицы) нужно указать, в каком месте и в какой момент времени оно происходит. Эта задача может быть осуществимой, если создать в пространстве равноотстоящие координатные метки и совместить с каждой такой меткой часы. Синхронизацию часов можно сделать, посылая от одних часов к другим световой согнал.

Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время оказываются взаимосвязанными, образуя единое пространство-время. Эта взаимосвязь может быть представлена в виде виртуального четырёхмерного пространства

 

Х, у, z, ct .

Преобразования Лоренца . Подобно тому как классические представления о пространстве и времени формулируются количественно с помощью…