рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

И δ2 – корни характеристического уравнения .

И δ2 – корни характеристического уравнения . - Лекция, раздел Механика, МЕХАНИКА Если ...

Если , то корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые:

, где

– мнимая единица.

Общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид

.

Используя формулу Эйлера для комплексных чисел

получаем

.

Вводя вместо С1и С2 новые две постоянные А0 и ψ0 ,связанные с С1и С2 соотношениями

получаем окончательно

.

Значения А0 и ψ0 определяют из начальных условий, т.е. из значений S и в начальный момент времени (t =0).

График зависимости S(t) при затухающих колебаниях имеет вид

Затухающие колебания не являются периодическими, так как амплитуда колебаний всё время уменьшается, но величину обычно называют условным периодом, а ω – условной циклической частотой затухающих колебаний.

– амплитуда затухающих колебаний;

А0 – начальная амплитуда.

– время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

 

Для количественной характеристики быстрого убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента – λ

, где

Ne – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Так как и , то

и .

 

Энергия затухающих колебаний складывается из потенциальной и кинетической . После подстановке сюда и получаем зависимость E(t), которая графически представлена на рисунке

Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна

.

Таким образом, кроме тех моментов, когда υ = 0.

При малом затухании (β << ω0) зависимость E(t) становится практически эквипотенциальной: и убыль энергии в этом случае

.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q , равная произведению 2π на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени равный одному условному периоду затухающих колебаний (от t до t + Т)

.

Так как E(t) пропорциональна A2(t) то

При малых значениях логарифмического декремента (λ << 1) можно принять и для этого случая

Для гармонического осциллятора (пружинного маятника) при малом затухании получаем

.

При достаточно большом затухании система совершает апериодическое движение. Выведенная из положения равновесия, она возвращается в это положение.

 

Фазовая траектория свободных затухающих колебаний имеет форму спирали

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МЕХАНИКА

Средняя скорость Средняя путевая скорость Модуль скорости В системе СИ скорость имеет... Лекция Закон сохранения момента... JO JC m а...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: И δ2 – корни характеристического уравнения .

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 1
Механическим движением называют изменение с течением времени положения тел или их частей друг относительно друга.   Материальной точкой

Средняя путевая скорость .
Мгновенная скоростьили простоскорость -вектор, направленный по касательн

Лекция 2
Динамика материальной точки. Силы   Силой называется векторная величина, характеризующая воздействия на рассматрив

Однородная сила тяжести: .
В отличие от силы тяжести вес тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Закон сохранения момента импульса
Моментом силы относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина

Лекция 4
Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике Работа. Рассмотрим малое перемещение

Консервативные силы
Силу, действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного по

Потенциальная энергия
  Работа А1-2 , совершаемая консервативными (потенциальными) силами при изменении конфигурации системы , т.е. расположения её частей (материа

Колебания
Колебаниями называют процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. Колебания называют

А) сложение колебаний одного направления

Б) сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.
  Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОУ по законам:  

Свободные незатухающие колебания
Пусть материальная точка совершает прямые гармонические колебания вдоль оси ОХ   , тогда

Свободные затухающие колебания
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы. Свободные колебания реальн

Вынужденные колебания
  Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая её вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей. Дифференц

Механические волны
Механическими (или упругими) волнами называют механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые, воздействуя на упругую среду, вызывают

Энергия волны
  Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформац

Интерференция волн
Две волны называют когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Гармонические упругие волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда. Рассмотрим н

Элементы релятивистской механики
В первой лекции был рассмотрен принцип относительности Галилея, который утверждал, что промежутки времени, расстояния и ускорения инвариантны т.е. одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Л

Х, у, z, ct .
  Преобразования Лоренца . Подобно тому как классические представления о пространстве и времени формулируются количественно с помощью

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги