Х, у, z, ct .

 

Преобразования Лоренца

.

Подобно тому как классические представления о пространстве и времени формулируются количественно с помощью преобразований Галилея для координат и времени, новые релятивистские представления о пространстве и времени формулируются с помощью преобразований Лоренца.

Пусть имеется инерциальная система отсчёта К . координаты любой точки, например, точки В , в этой системе обозначим через х, у, z , а время через t. Другая инерциальная система К^’ движется с постоянной скоростью относительно системы К , а оси y^’ и z^’ параллельны соответствующим осям y и z (это означает рассмотрение частных преобразований, а не общих). Начало отсчёта времени выбраны таким образом, чтобы в момент времени t = 0 точки О и О^’ совпадали.

и

в К-системе

в К^’-системе . Следовательно

, где

– некоторая константа.

Аналогично: в К^’-системе

в К-системе и

.

Из равноправия систем К и К^’ вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях должен быть один и тот же.

Для произвольной точки В получаем

и

 

Для нахождения коэффициента используем 2-ой постулат СТО. Пусть в момент времени t = t^* = 0 в направлении осей х и х^* посылается световой сигнал, который производит вспышку на экране в точке В. Это событие описывается координатой х и моментом t в системе К и координатой х^’ и моментом t^’ в системе К^’, причём

и , тогда

Перемножив два последних уравнения, получаем

или .

Для координат получаем

и , где

.

Для получения формулы, определяющей t по известным t^’ и х^’ исключаем координату х из исходной системы уравнений

или

.

Так же получают

 

.

 

Зависимости ; ;и называют преобразованиями Лоренца.

 

В пределе, при и при β << 1 преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея.

 

Различие в течение времени в разных системах отсчёта обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействий.

 

При выражения для становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с невозможно.

 

Для запоминания удобна следующая запись

.

 

Кинематические следствия из преобразований Лоренца

1). Одновременность событий в разных системах отсчёта

Пусть в системе К в точках х₁ и х₂ происходят одновременно два события в момент времени t₁ = t₂ = τ. Тогда в системе К^’ этим событиям будут соответствовать моменты

и т.е.

если в К-системе события пространственно разобщены, то в К^’-системе они не будут одновременными .

Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, а в других системах может быть наоборот. Сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. (Рождение элементарной частицы во всех системах отсчёта происходит раньше её распада и ни в одной из систем ребёнок не рождается раньше его родителей).

 

2). Длина тел в разных системах

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ^’ и покоящийся относительно К^’-системы.

Длина его в этой системе

.

Относительно К-системы стержень движется со скоростью . Для определения его длины в этой К-системе нужно отметить координаты его концов х₁ и х₂ в один и тот же момент времени τ = t₁= t₂ .

Из преобразований Лоренца получаем

и

откуда или .

Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины l₀ , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.

В направлении осей ОУ и OZ размеры стержня одинаковы во всех системах отсчёта.

3). Промежуток времени между событиями

Пусть в одной и той же точке А системы К^* происходят два события в моменты времени и . Полагая получим

 

и

 

Тогда или

 

, где

– собственное время тела, неподвижного относительно К^’-системы и движущегося со скоростью относительно К-системы (т.е. промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно движущегося тела т.е., движущимся вместе с телом).

– инвариант. В какой бы системе отсчёта ни рассматривалось движение тела, промежуток собственного времни измеряется по часам системы, в которой частица покоится. Отсюда следует, что промежуток собственного времени является инвариантом, т.е. величиной, имеющей одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчёта.

Собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела (движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы).

Это явление получило непосредственное экспериментальное подтверждение в опытах с мюонами.

Мюон – нестабильная элементарная частица, распадающаяся на электрон (или позитрон) и два нейтрино и имеющая среднее собственное время жизни в условиях, когда они движутся с малой скоростью мкс. Мюоны рождаются в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движутся к Земле со скоростями υ ~ c . Если бы релятивистского эффекта замедления хода времени не было, то по отношению к земному наблюдателю мюон мог бы пройти за время своей жизни путь в атмосфере, не превосходящий в среднем м. Но они регистрируются приборами, установленными на поверхности Земли, т.е., время жизни мюона по часам земного наблюдателя .

Парадокс часов

Согласно принципу относительности, все процессы на космическом корабле, движущемся относительно Земли, включая и процесс старения космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Но если космонавт, совершив космический полёт со скоростью близкой к скорости света возвратится на Землю, то он может оказаться среди представителей последующих поколений (полёт в будущее).

На первый взгляд кажется, что основываясь на принципе относительности, можно прийти к прямо противоположным выводам: часы на Земле, движущейся со скоростью υ относительно космического корабля, должны отставать от часов на корабле. Поэтому длительность полёта должна быть большей для космонавта, а не для жителей Земли.

Таким образом получается, что разность показаний часов на Земле и на космическом корабле после приземления последнего должна быть, с одной стороны, положительной, а с другой – отрицательной. Этот абсурдный результат разрешается в рамках общей теории относительности, которая не рассматривается в нашем курсе физики. Часы космонавта всегда должны идти медленнее, чем часы на Земле.

 

Интервал

Интервалом между событиями или расстоянием между двумя мировыми точками в четырёхмерном пространстве-времени называется величина

.

Пространство, в котором расстояние между двумя точками определяется таким выражением называется псевдоэвклидовым.

В обычном пространстве (эвклидовым)

тогда .

 

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда – скорость частицы и

.

 

Поскольку с – константа, а Δτ – инвариант, то и интервал ΔS также оказывается инвариантом.

В общем случае интервал может быть вещественным , мнимым и равным нулю (, то есть, для светового сигнала).

Вследствие инвариантности интервала

 

.

 

Пусть в К^’-системе (события пространственно совмещённые). Тогда для вещественного интервала , т.е. события не могут быть одновременными. Поэтому вещественные интервалы называют времениподобными.

Мнимые интервалы называют пространственноподобными.

Преобразование скоростей

Для К^’-системы , движущейся относительно К-системы с постоянной скоростью υ₀ вдоль оси ОХ получаем из преобразований Лоренца для координат и времени:

 

.

Так как

,

то

и

и

и

 

Эти формулы выражают закон сложения (преобразования) скоростей в релятивистской кинематике.

В пределе при (при этом ) они приводят к классическому закону сложения скоростей в классической механике Ньютона:

; ; и .

Как бы ни были близки к с скорости двух частиц, их относительная скорость друг относительно друга всегда меньше с .

Пример: две частицы движутся вдоль оси ОХ К-системы (лабораторной системы отсчёта) навстречу друг другу со скоростями υ₁ = 0,9с и υ₂ =0,7с .

Будем считать, что частица 2 неподвижна в К^*-системе, т.е. . Тогда υ₁ = υ_{х ,} а относительная скорость

Получаем:

 

Элементы релятивистской динамики

 

Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что уравнения, описывающие какое-либо явление в К^’-системе, получаются из уравнений, описывающих то же самое явление в К-системе путём простой замены всех нештрихованных величин на штрихованные (условие ковариантности или условие лоренц-инвариантности).

 

Релятивистским импульсом материальной точки называют величину

.

Величину называют релятивистской массой, а т – массой частицы (иногда называют массой покоя), одинаковой во всех системах отсчёта (инвариантной).

Опыт подтверждает, что приведённый выше релятивистский импульс частицы действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора инерциальной системы отсчёта.

Основное уравнение динамики в релятивистской динамике принимает вид .

Видно, что сила F зависит от скорости . Т.е. в разных системах отсчёта её числовое значение и направление будут различны (неинвариантны).

 

Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдём приращение кинетической энергии dK релятивистской частицы под действием силы на элементарном пути :

 

Рассмотрим теперь выражение . Введя левую и правую часть этого выражения в квадрат получаем:

 

Найдём дифференциал этого выражения, имея в виду, что т и с – постоянные величины:

.

Разделив на (2т) и сравнивая с dK получаем

 

dK = c^2.dm_{p .}

 

После интегрирования получаем:

Анализ выражения для кинетической энергии привёл Эйнштейна к важному выводу: тс² – этообщая внутренняя энергия тела, из каких бы видов она ни состояла (электрическая, химическая и др.). Эту энергию назвали энергией покоя Е₀ = тс² .

Величину Е = т_рс² = Е₀ + К назвали полной энергией тела.

В полную энергию не включена потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле, если таковое действует на тело.

Из закона взаимосвязи массы т и энергии покоя Е₀ тела видно, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела.

 

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

 

Воспользовавшись формулами Е = т_рс²и р = т_р^.υ можно записать

или

 

.

Так как т = const и с = const то () – является инвариантом и имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчёта.

 

К формулам, которые полезно знать относятся также и следующие выражения

 

и

 

.