Сложение ускорений. Теорема Кориолиса. - раздел Механика, Раздел Теоретическая механика Найдем Зависимость Между Абсолютным ...
Найдем зависимость между абсолютным , относительным и переносным ускорениями. Эти величины отличаются не только тем, что при их вычислении рассматриваются приращения разных векторов скоростей, но и тем, что эти приращения вычисляются на разных перемещениях.
Рис. 2.16
При определении рассматривается приращение вектора на абсолютном элементарном перемещении , при вычислении – приращении вектора на относительном элементарном перемещении и при вычислении – приращение вектора на переносном элементарном перемещении .
Условимся обозначать элементарное перемещение, получаемое вектором при абсолютном перемещении, символом d, при относительном – d1 и при переносном – d2. Тогда
(*)
где – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении , – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении и – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении .
Поскольку при сложном движении , то
Однако в этом равенстве, , как и , представляют собой элементарные приращения соответственно векторов на абсолютном перемещении , поэтому стоящие справа величины не будут равны
Для получения искомых зависимостей учтем, что абсолютное перемещение слагается геометрически из относительного и переносного элементарных перемещений и . Следовательно, (элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении ) можно представить в виде
, (**)
где – элементарное приращение, получаемое вектором на относительном перемещении , а – элементарное приращение, получаемое тем же вектором на переносном перемещении . Отношение к и дает согласно (*) величину . Для вычисления учтем, что переносное движение (движение осей О, х, у, z) слагается в общем случае из поступательного перемещения вместе с полюсом О и повороте вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через этот полюс, угловую скорость этого поворота .
При поступательном перемещении вектор остается параллельным самому себе и никакого приращения не получает. При повороте нее вместе с осями О, х, у, z вокруг мгновенной оси ОР вектор оставаясь постоянным по модулю, изменяет свое направление. Поворот вектора при непоступательном переносном движении и является причиной того, что этот вектор получает приращение на перемещении (рис. б, где и А// В// изображают вектор и кривую АВ в момент , а пунктиром показан вектор в момент ). Приращение, получаемое вектором при таком повороте, определяется формулой
.
Следовательно, и ,
где – угловая скорость переносного движения.
В результате из равенства (**) находим
(А)
По аналогии с (**) величину (элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении ) можно также представить в виде
, (***)
где – элементарное приращение, получаемое вектором на относитель-ном перемещении , а – элементарное приращение того же вектора на переносном перемещении .
Согласно (*) .
Скорость точки в случае плоскопоступательного движения (скорость полюса)
(****)
Когда переносное движение не является поступательным (), значения в точках М и М/ будут разными.
Вследствие этого вектор на относительном перемещении и получает приращение (см. рис в) - значение в точке М/, т.е в момент , а пунктиром показан вектор в точке М, т.е. в момент времени .
Чтобы найти необходимо, продифференцировать равенство (****), считая в нем и постоянными, а вектор изменяется только в относительном движении.
Тогда будем иметь:
, где
Следовательно
В результате из равенства (***) находим
(В)
Найденные в ходе расчетов соотношения (А, В) показывают, что в общем случае производные действительно отличаются от и причем на одну и туже величину ().
Введем обозначение
(25)
Величина, характеризующая изменения вектора относительной скорости в переносном движении и вектора в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением.
Окончательно получим
. (26)
Формула выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении, переносного, характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении и кориолисова, характеризующего изменение относительной скорости в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.
Если переносное движение поступательное, то и . Тогда .
Направление определятся по правилу векторного произведения. Кроме того, направление определяется по правилу Н.Е. Жуковского.
Чтобы определить направление вектора ускорения Кориолиса, следует вектор относительной скорости спроектировать на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения, полученный при этом вектор следует повернуть в этой плоскости на угол 900 в сторону .
Рис. 2.17
Причины появления ускорения Кориолиса
Причиной появления ускорения Кориолиса является взаимное влияние относительного движения на переносное и переносного на относительное. В результате этого влияния переносная скорость меняет модуль и направление, а вектор относительной скорости – направление.
Пример
Пусть по радиусу диска, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска, перемещается равномерно человек с относительной скоростью . Для какого-либо фиксированного момента времени , то есть переносная скорость человека – скорость той точки диска, где в данный момент времени находится человек.
Рис. 2.18
Пусть в момент времени человек занимает положение М/. Очевидно, что за время относительная скорость изменяется по направлению от до вследствие вращательного переносного движения. Вследствие относи-тельного движения человека из точки М в точку М/ модуль переносной скорости изменяется:
Указанные изменения вызывают появление Кориолисова ускорения.
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА... Раздел Теоретическая механика... Тверь г...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Сложение ускорений. Теорема Кориолиса.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Аксиомы статики.
Данные аксиомы сформулированы на основе наблюдения и изучения окружающих нас явлений реального мира. Некоторые основные законы механики Галилея – Ньютона являются одновременно и акс
Система сходящихся сил
2.1.1 Равновесие твёрдого тела, к которому приложена система сходящихся сил.
Сходящимися называются силы, линии, действия которых пересекаются в одной точке.
Теорема. Систе
Произвольная плоская система сил
2.2.1 Равновесие твёрдого тела при наличии плоской системы сил. Случай
параллельных сил.
Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону,
равна по мод
Системы сходящихся сил.
Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоу
Произвольная пространственная система сил.
3.2.1. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве.
В случае плоской системы сил момент силы относительно точки определён как алгебраическая вел
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.
Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена
по всему объёму тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твёрдого
тела, образуют систему сил,
КИНЕМАТИКА.
1. ВВЕДЕНИЕ
Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных точек и тел в пространстве с геометрической точ
Поступательное движение тела.
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, пров
Вращательное движение твердого тела.
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывает окружности, центр
Сложение скоростей.
Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени
Мгновенный центр скоростей (МЦС)
МЦС называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Теорема. Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то МЦС существует.
До
Ускорения точек при плоском движении.
Покажем, что ускорение любой точки М тела при плоском или параллельном движении (так же как и скорость) складывается из ускорений, которые она получает в поступательном и во вращательном дви
Мгновенный центр ускорений (МЦУ)
МЦУ называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.
Если в данный момент времени задано ускорение какой-то точки А –
Законы динамики.
В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений. Систематически эти законы впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Матем
Прямолинейное движение точки.
Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление ускорения совпадает с направлением действия с
Импульс силы.
Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводим понятия об импульсе силы.
Элементарным импульсом силы называется векторная величина
Прямолинейные колебания точки
4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к непо
Вынужденные колебания. Резонанс.
Рассмотрим случай колебаний, когда на точку, кроме восстанавливающей силы F, действует ещё периодически изменяющаяся со временем сила
Механическая система.
Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Мате
Масса системы. Центр масс.
Движение системы, кроме действующих сил, зависит от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, обр
Дифференциальные уравнения движения системы.
Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой mк. Обозначим равнодействующие всех приложенных к точке
Закон сохранения движения центра масс.
Из теоремы о движении центра масс можно получить важные следствия.
1). Пусть сумма внешних сил, действующая на систему, равна нулю
Теорема об изменении количества движения.
Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек, составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (2) и сложим их почленно
Закон сохранения количества движения.
Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить важные следствия.
1). Пусть сумма всех внешних сил действующих на систему равна нулю:
Главный момент количества движения системы.
Главным моментом количества движения (или кинематическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина К0, равная геометрической сумме моментов количе
Закон сохранения главного момента количества движения.
Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.
1). Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:
Кинетическая энергия системы.
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы.
Некоторые случаи вычисления работы.
Рассмотрим следующие случаи.
1). Работа сил тяжести, действующих на систему.
Работа силы тяжести, действующая на частицу веса Рк будет равна
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Показанная в п. 3.5. теорема справедлива для любой точки системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой mк имеющую скорость Vк, то
Потенциальная энергия
Для потенциальных сил можно вывести понятие о потенциальной энергии, как о величине, «характеризующей запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового пол
Закон сохранения механической энергии
Допустим, что все действующие на систему внешние и внутренние силы потенциальны.
Тогда для каждой из точек системы работа приложенных сил равна:
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов