Произвольная пространственная система сил. - раздел Механика, Раздел Теоретическая механика 3.2.1. Момент Силы Относительно Точки. Момент Силы Относительно Оси. Теория П...
3.2.1. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве.
В случае плоской системы сил момент силы относительно точки определён как алгебраическая величина: . При пространственном расположении сил этого определения не достаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил и точку, относительно которой определяется момент, различны. Поэтому момент силы P относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение , где - вектор радиус проведенный из точки О в точку приложения силы.
Таким образом вектор направлен перпендикулярно плоскости, содержащий линию действия силы и точку О, так что сила с конца его вектора видно направление против часовой стрелки.
Рис. 1.40
Модуль вектора равен:
Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Рис. 1.41
Если сила с конца оси z видно направление вокруг точки О против часовой стрелки то момент положительный.
Итак, момент силы относительно точки – вектор, а момент силы относительно оси – скалярная величина.
При вычислении моментов относительно оси надо иметь следующие частные случаи:
1. Если сила параллельна оси, то её момент относительно оси равен нулю .
2. Если линия действия силы пересекает ось, то её момент относительно оси равен нулю .
3. Если сила перпендикулярна оси, то её момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью.
Получим аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.
Рис. 1.42
Спроецируем силу на плоскость и разложим полученную проекцию на составляющие и ; численно эти составляющие будут, очевидно, равны проекциям силы на оси . Тогда
Последнее равенство вытекает из теоремы Вариньона. Но как видно из чертежа, следовательно . Аналогично вычисляются моменты относительно других осей.
В результате получим:
3.2.2. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси.
Рис. 1.43
Пусть на тело действует приложенная в точке сила . Проведём ось и возьмем на ней произвольную точку . момент силы относительно центра будет изображаться вектором , перпендикулярным плоскости , причём по модулю
.
Проведём теперь через любую точку плоскость , перпендикулярную оси ; проецируя силу на эту плоскость, найдём:
Но треугольник представляет собой проекцию треугольника на плоскость . Угол между плоскостями треугольников равен .
Тогда .
Умножим обе части уравнения на 2, находим
Так как произведение даёт проекцию или .
Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно центра, лежащего на этой оси. Или проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр, равен моменту силы относительно этой оси.
3.3.3. Главные векторы сил и моментов.
Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил системы.
Рассмотрим систему сил, как угодно ориентированных в пространстве. Вычислим моменты этих сил относительно точки .
Векторы все приложены в точке. Построим многоугольник векторов моментов. Замыкающая сторона этого многоугольника – главный момент относительно неподвижного центра
Рис. 1.44
Таким образом, главным моментом пространственной системы сил относительно центра называется геометрическая сумма моментов сил системы относительно того же центра.
Главным моментом пространственной системы сил относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов сил системы той же оси.
3.2.4. Приведение пространственной системы сил к заданному центру.
Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо).
Рис. 1.45
Приведём силу к центру . В точке приложим систему сил , причём
Силы образуют пару, момент которой .
При приведении сил к заданному центру получаем в этом центре силу, геометрически равную заданной, и пару, момент которой равен моменту силы относительно центра приведения.
Теорема
При приведении пространственной системы сил к центру всегда получим силу, называемую главным вектором сил, приложенную в центре приведения и пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.
Доказательство:
Пусть имеем систему сил, как угодно ориентированных в пространстве (ограничимся тремя силами). Каждую силу приводим к центру на основании метода Пуансо. В точке получим систему сходящихся сил . Геометрическая сумма этих сил – есть главный вектор: .
Векторы моментов
Рис. 1.46 так же образуют систему, сходящихся
векторов. Их геометрическая сумма – есть
главный момент системы сил
относительно центра .
3.2.5. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил.
Главный вектор:
.
Спроектируем обе части этого векторного соотношения на оси .
Тогда модуль равен:
Направление определяется направлением косинусов:
Рис. 1.47
Главный момент
Спроектируем данное векторное соотношение на оси :
Модуль главного момента равен
Направление определяем направлением косинусов:
3.2.6. Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил.
Теорема
Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю.
Доказательство:
Достаточность.
При , система сходящихся сил, приложенных в центре приведения эквивалентна нулю, а при - система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.
Необходимость. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Тогда необходимо, чтобы .
Если какое-либо из этих условий не выполняется, то система сил приводится либо , либо к паре, момент которой и следовательно, не является уравновешенной, что противоречит исходной предпосылке.
Уравнения равновесия:
В случае произвольной пространственной системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более шести.
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА... Раздел Теоретическая механика... Тверь г...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Произвольная пространственная система сил.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Аксиомы статики.
Данные аксиомы сформулированы на основе наблюдения и изучения окружающих нас явлений реального мира. Некоторые основные законы механики Галилея – Ньютона являются одновременно и акс
Система сходящихся сил
2.1.1 Равновесие твёрдого тела, к которому приложена система сходящихся сил.
Сходящимися называются силы, линии, действия которых пересекаются в одной точке.
Теорема. Систе
Произвольная плоская система сил
2.2.1 Равновесие твёрдого тела при наличии плоской системы сил. Случай
параллельных сил.
Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону,
равна по мод
Системы сходящихся сил.
Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоу
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.
Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена
по всему объёму тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твёрдого
тела, образуют систему сил,
КИНЕМАТИКА.
1. ВВЕДЕНИЕ
Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных точек и тел в пространстве с геометрической точ
Поступательное движение тела.
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, пров
Вращательное движение твердого тела.
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывает окружности, центр
Сложение скоростей.
Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени
Мгновенный центр скоростей (МЦС)
МЦС называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Теорема. Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то МЦС существует.
До
Ускорения точек при плоском движении.
Покажем, что ускорение любой точки М тела при плоском или параллельном движении (так же как и скорость) складывается из ускорений, которые она получает в поступательном и во вращательном дви
Мгновенный центр ускорений (МЦУ)
МЦУ называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.
Если в данный момент времени задано ускорение какой-то точки А –
Законы динамики.
В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений. Систематически эти законы впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Матем
Прямолинейное движение точки.
Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление ускорения совпадает с направлением действия с
Импульс силы.
Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводим понятия об импульсе силы.
Элементарным импульсом силы называется векторная величина
Прямолинейные колебания точки
4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к непо
Вынужденные колебания. Резонанс.
Рассмотрим случай колебаний, когда на точку, кроме восстанавливающей силы F, действует ещё периодически изменяющаяся со временем сила
Механическая система.
Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Мате
Масса системы. Центр масс.
Движение системы, кроме действующих сил, зависит от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, обр
Дифференциальные уравнения движения системы.
Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой mк. Обозначим равнодействующие всех приложенных к точке
Закон сохранения движения центра масс.
Из теоремы о движении центра масс можно получить важные следствия.
1). Пусть сумма внешних сил, действующая на систему, равна нулю
Теорема об изменении количества движения.
Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек, составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (2) и сложим их почленно
Закон сохранения количества движения.
Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить важные следствия.
1). Пусть сумма всех внешних сил действующих на систему равна нулю:
Главный момент количества движения системы.
Главным моментом количества движения (или кинематическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина К0, равная геометрической сумме моментов количе
Закон сохранения главного момента количества движения.
Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.
1). Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:
Кинетическая энергия системы.
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы.
Некоторые случаи вычисления работы.
Рассмотрим следующие случаи.
1). Работа сил тяжести, действующих на систему.
Работа силы тяжести, действующая на частицу веса Рк будет равна
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Показанная в п. 3.5. теорема справедлива для любой точки системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой mк имеющую скорость Vк, то
Потенциальная энергия
Для потенциальных сил можно вывести понятие о потенциальной энергии, как о величине, «характеризующей запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового пол
Закон сохранения механической энергии
Допустим, что все действующие на систему внешние и внутренние силы потенциальны.
Тогда для каждой из точек системы работа приложенных сил равна:
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов