Теоретическая Механика

ГОУВПО

«Воронежский государственный технический университет»

 

 

Н.С. Переславцева

Н.П. Бестужева

 

Теоретическая Механика

 

 

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

 

Воронеж 2009

УДК 531.8

 

Переславцева Н.С. Теоретическая механика: учеб. пособие / Н.С. Переславцева, Н.П. Бестужева. – Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. – 157 с.

 

В работе изложены основные понятия дисциплины «Теоретическая механика». Рассмотрены положения, аксиомы, теоремы статики, кинематики, динамики и аналитической механики и их следствия.

Издание предназначено студентам 1–3 курсов заочной формы обучения всех специальностей.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержится в файле ТиПМ-Теор_механика.document.

 

Ил. 60. Библиогр.: 6 назв.

 

Рецензенты: кафедра теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Спорыхин);

д-р физ.-мат. наук, проф. А.В. Крутов

 

© Переславцева Н.С., Бестужева Н.П., 2009

© Оформление. ГОУВПО

«Воронежский государственный технический университет», 2009

Введение

Современная механика – это отрасль знаний, которая поставляет и исследует механические модели для описания изменений положения и формы материальных объектов.

Теоретическая механика – это раздел общей механики, в которой развиваются математические методы исследования механического движения и механического взаимодействия материальных точек, механических систем и абсолютно твердых тел. Теоретическая механика как наука о движении представляет собой научную базу многих отраслей современной техники и машиностроения. Теоретическая механика содержит разделы, которые называются статика, кинематика, динамика и аналитическая механика.

Статика – раздел теоретической механики, в котором рассматривают свойства сил, приложенных к точкам твердого тела, и условия их равновесия.

В кинематике изучают чисто геометрические формы механических движений материальных объектов без учета условий и причин, вызывающих и изменяющих эти движения.

В динамике изучаются механические движения материальных объектов в зависимости от сил, т.е. от действия на рассматриваемые объекты других материальных объектов.

В аналитической механике изучаются равновесие и движение механических систем в терминах возможного перемещения точки и системы при применении обобщенных координат и обобщенных сил.

Целью преподавания теоретической механики студентам технических специальностей, является обеспечение их знаниями, необходимыми для решения вопросов механики в производственно-технологических проектах, конструкторских и исследовательских задачах.

Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Перечень разделов других дисциплин, знание которых необходимо при изучении теоретической механики:

– Дисциплина «Математика». Разделы:

«Векторная алгебра» (операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведение; определители, матрицы, методы решения алгебраических систем);

«Дифференциальное и интегральное исчисление» (понятие дифференциала и производной; вычисление и геометрический смысл производных; производные сложных функций; функции многих переменных, частные производные; неопределенный интеграл; криволинейные, двойные, тройные интегралы, примеры вычисления площадей и объемов, центров тяжести фигур);

«Дифференциальные уравнения» (обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, общие и частные решения; примеры интегрирования дифференциальных уравнений, методы разделения переменных, вариации переменных и др.; однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, подстановки Эйлера, приемы отыскания частных решений);

«Элементы вариационного исчисления» (понятие функционала и вариации, принцип наименьшего действия).

– Дисциплина «Физика». Разделы:

«Физические основы классической механики» (элементы кинематики точки; динамика материальной точки; законы сохранения; потенциальная и кинетическая энергии системы; осевые моменты инерции твердого тела; элементы кинематики твердого тела);

«Колебания и волны» (гармонические колебания и их характеристики; дифференциальные уравнения гармонических колебаний).

В результате изучения данной дисциплины студенты должны иметь представление о свойствах механического движения объектов в пространстве с течением времени, знать и уметь использовать методы, понятия, модели и законы теоретической механики, иметь навыки исследования механического взаимодействия материальных объектов.

При изучении материала сначала следует прочитать весь материал темы, особенно не задерживаясь на том, что представляется не совсем понятным. Часто первоначально не ясные положения становятся понятны при дальнейшем изложении материала. Затем следует вернуться к местам, вызвавшим затруднения и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении следует обратить на формулировки основных понятий, определений, теорем и т.п. В точных формулировках существенно каждое слово и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так.

Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект. При составлении конспекта следует указывать страницы учебника, на которых излагается соответствующий раздел, и заносить возникающие вопросы. При составлении конспекта следует использовать и материалы обзорной лекции, приводимой на установочных занятиях.

Статика

Основные понятия статики

В статике твердого тела рассматриваются свойства сил, приложенных к твердому телу. В частности, изучается приведение сложных систем сил к более простому виду и устанавливаются условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело или материальную точку.

Материальная точка – простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механической системой называется любая совокупность материальных точек, положение и движение которых между собой связаны.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют механическую систему, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях.

Силой называют одну из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Сила кроме числового значения характеризуется точкой приложения и направлением действия. Она является векторной величиной. Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора, например или . Для выражения числового значения силы или ее модуля используется знак модуля от вектора, т.е. , или те же буквы, но без знака вектора, т. е. , .

Системой сил называют совокупность сил, действующих на рассматриваемый материальный объект.

Системой сил, эквивалентной нулю (или равновесной системой сил), называют такую систему сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

Две системы сил и называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях. Условие эквивалентности двух систем сил и выражают в форме:

~,

где и – число сил в системах.

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называют силу, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующая сила обозначается , условие ее эквивалентности рассматриваемой системе сил выражается в виде:

~.

Отметим, что не каждая система сил имеет равнодействующую

Уравновешивающей силой заданной системы сил считается такая сила, добавление которой к заданной дает новую систему, эквивалентную нулю. Если является уравновешивающей силой системы сил , то, согласно определению, она удовлетворяет условию:

~0.

Момент силы

Алгебраический момент силы относительно точки

. (1) Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой… Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент…

Векторный момент силы относительно точки

. Справедлива формула , (2)

Момент силы относительно оси

, где – вектор проекции силы на плоскость , перпендикулярную оси , а точка –… Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси (в этом случае равна нулю проекция силы на…

Пара сил

Пара сил и алгебраический момент пары сил

Плоскостью действия пары сил называют плоскость, в которой расположены силы пары. Алгебраическим моментом пары сил называют взятое со знаком плюс или минус… Плечом пары сил называют кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Аксиомы статики

I. Аксиома о равновесии системы двух сил. Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела (рис. 7), необходимо и достаточно,… II. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю. Если… III. Аксиома параллелограмма сил. Две силы, действующие в одной точке твердого тела или на одну материальную точку,…

Простейшие теоремы статики

Теорема о трех силах: если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия… Системой сходящихся сил (или пучком сил) называют такую систему сил, линии… Таким образом, система сходящихся сил эквивалентна одной силе , которая и является равнодействующей этой системы…

Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия

Этот процесс замены силы силой и парой сил называют приведением силы к заданному центру. Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил (теорема Пуансо): любую… ~,

Равновесие пар сил

. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно,… Отсюда:

Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме

, или , . (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

; ; , (21) В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно ,… ; , (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось параллельно силам: для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю:

(23)

Условия равновесия плоской системы сил

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно,… (24) Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы…

Центр тяжести твердого тела

Центр параллельных сил

, где – радиус-вектор точки приложения силы . Координаты центра параллельных сил определяется по формулам:

Способы нахождения центра тяжести

Метод разбиения. Если тело составлено из нескольких, например, трех, частей, для каждой из которых известен вес и положение центра тяжести (рис.… , , , , (28)

Распределенные силы

Распределенные силы прежде всего характеризуются интенсивностью распределенной силы, т.е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или… Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой… Равнодействующая сила равна , параллельна распределенным силам и приложена вследствие симметрии распределения сил в…

Трение

Трение скольжения

Пусть на тело действует плоская система активных сил и тело находится в равновесии, соприкасаясь с шероховатой поверхностью другого тела (рис.… Сила реакции шероховатой поверхности будет складываться из нормального… Для силы трения скольжения справедливы законы Кулона:

Трение качения

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 17), кроме силы тяжести обычно состоят из силы , приложенной к центру колеса параллельно… Приведем активные силы в общем случае к точке . В этой точке получим главный… При равновесии катка, т.е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваются силами…

Решение задач статики

Дано: кН, , , м. Определить: реакции в точках , , . Решение:

КИНЕМАТИКА

Кинематика точки

Задать движение точки – значит задать правило, с помощью которого можно указать положение точки в любой момент времени. Существуют векторный,…

Скорость и ускорение точки

Положение движущейся точки относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени радиусом-вектором , который соединяет… Средней скоростью точки за время называют отношение , т.е.: .

Координатный способ задания движения точки

Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 24), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

, , . (50)

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени.

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат. Получим

, , (51)

где – координаты точки ; – единичные векторы осей координат; – проекции скорости на оси координат.

Учитывая (51), согласно определению скорости, имеем:

, (52)

Сравнивая (52) и (51), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

, , . (53)

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

(54)

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

, (55)

где – проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (52) и (51), имеем

. (56)

Формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

, , . (57)

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

. (58)

Касательная и нормальная составляющие ускорения вычисляются по формулам:

, . (59)

При движение точки ускоренное, при – замедленное.

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку , принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 25). Расстояния в одну сторону от точки по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую – отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку , или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него – положительным.

Если в момент времени движущаяся точка занимает положение , то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния , отсчитываемого от точки до точки , т. е. . Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

При естественном способе задания движения используется понятие естественных осей координат. Сначала в точке строится соприкасающаяся окружность, которая наиболее плотно смыкается с траекторией из всех возможных. Ее центр называют центром кривизны траектории. Плоскость, в которой лежит соприкасающаяся окружность, называется соприкасающейся плоскостью.

Построим в точке кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 26). Первой естественной осью является касательная . Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью . Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью.

По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора , и образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси , и , положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов , и , называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Используя определение скорости, имеем:

,

где . Вектор направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором. Модуль этого вектора равен единице, как предел отношения длины хорды к длине стягивающей ее дуги при стремлении ее к нулю.

Единичный вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки.

Величина называется алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний. Единичный вектор определяют по заданной траектории.

В соответствии с определением ускорения получаем

, (60)

так как и направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали .

Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Касательная, нормальная составляющие и полное ускорение равны

, , . (61)

Частные случаи движения точки

, то , , если принять при . Равнопеременное движение. Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором…

Кинематика твердого тела

Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы; тело с одним и тем же числом степеней свободы может совершать различные… Теорема о проекциях скоростей: при любом движении твердого тела проекции… . (64)

Поступательное движение твердого тела

Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема: при поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех… , , (65) где и – любые точки твердого тела.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть осью вращения является ось , которая может иметь в пространстве любое направление. Одно направление оси принимается за положительное (рис.… Через ось вращения проведем неподвижную плоскость и подвижную , скрепленную с… Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени, если задано…

Частные случаи вращения твердого тела

, , , , если принять при . Вращение будет равнопеременным, если . Алгебраическое угловое ускорение при этом тоже постоянно. Его при…

Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси

Алгебраическую скорость точки определяем по формуле Модуль скорости точки

Векторы угловой скорости и углового ускорения

, . (73) Так как – постоянный по модулю и направлению вектор, то из (63) следует, что … . (74)

Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

, (75) где – радиус-вектор точки , проведенный из произвольной точки оси вращения ,… Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем:

Сложное движение точки

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения. Пусть имеем две системы… Теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна… . (78)

Ускорение Кориолиса

. Угловую скорость вращательной части движения подвижной системы отсчета, т.е.… Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влия­ния двух движений: переносного и относительного. Часть его…

Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела

Пусть твердое тело совершает плоское движение, параллельное неподвижной плоскости (рис. 35). Тогда любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и… Значит, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой,… Таким образом, для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости,…

Скорости точек плоской фигуры

, (85) где – абсолютная скорость точки плоской фигуры относительно системы координат,…  

Мгновенный центр скоростей

Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости , проведенном из точки , на расстоянии . Мгновенный центр скоростей является единственной точкой плоской фигуры для… Если мгновенный центр известен, то, приняв его за полюс и учитывая, что скорость его в этом случае равна нулю,…

Ускорения точек плоской фигуры

. (92) Так как переносное движение является поступательным вместе с точкой фигуры, то…

Мгновенный центр ускорений

. При этом угол надо отложить от ускорения в направлении дуговой стрелки… , и тогда

Решение задач кинематики

Даны уравнения движения точки в плоскости : , (, – в сантиметрах, – в секундах).

Динамика

Аксиомы динамики

Равномерное и прямолинейное движение точки называют движением по инерции. Частным случаем движения по инерции является покой точки, при котором… II. Вторая аксиома (основной закон динамики): ускорение материальной точки… . (124)

Динамика материальной точки

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от… . (128) Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 48):

Две основные задачи динамики точки

Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки в той или другой системе координат, можно решать две основные задачи динамики точки.

Первая задача

, , , то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений… ,

Вторая задача

; ; (130') .

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

. (134) Если ввести другую, неинерциальную систему отсчета , которая в общем случае… , (135)

Геометрия масс

Центр масс

, (137) где – масса системы. Формулы для декартовых координат центра масс: , , . (137')

Моменты инерции

Моменты инерции относительно точки и оси

. (139) Момент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В… , (139')

Теорема Штейнера

По определению момента инерции относительно оси имеем: , , где – масса точки , а и – координаты этой точки относительно систем и . Обозначим расстояние между осями и через .

Моменты инерции однородных тел

Однородный стержень

. (146) Момент инерции стержня относительно оси , проходящей через центр масс и… . (147)

Прямоугольная пластина

Моменты инерции пластины относительно осей координат равны: , , . (148)

Сплошной диск

, . (149)

Тонкое кольцо (круглое колесо)

, . (150)

Круглый цилиндр

, . (151)

Шар

Пусть масса шара , радиус . Моменты инерции шара относительно осей координат и центра шара равны:

. (152)

Теоремы динамики

Внутренними силами механической системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы. Внешнюю силу, приложенную к какой-либо точке системы, обозначим , а внутреннюю… Главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю при…

Теорема о движении центра масс

, или , (155) где – масса системы, – ускорение центра масс, – скорость центра масс. Проецируя (155) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем дифференциальные уравнения движения центра масс: …

Теорема об изменении количества движения

Количество движения точки и системы

. (156) Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной… Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат:

Теорема об изменении количества движения точки

, (160) в проекциях на координатные оси: , , . (160')

Теорема об изменении количества движения системы

. (163) В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат , , . (163')

Законы сохранения количества движения

Возможны два частных случая: 1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю,… . (166)

Теорема об изменении кинетического момента

. (168) Кинетический момент приложен к точке , относительно которой он вычисляется. … Проецируя обе части (168) на прямоугольные декартовы оси, получаем кинетические моменты точки относительно этих осей…

Теорема об изменении кинетического момента точки

. (171) Проецируя (171) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об… , , . (171')

Теорема об изменении кинетического момента системы

, (172) где – главный момент всех внешних сил системы. Проецируя (172) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента системы…

Законы сохранения кинетических моментов

. (173) Этот частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы… , , ,

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

, (176) где – угол поворота тела. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи:…

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс

, (177) где – абсолютная скорость центра масс, . Величина является кинетическим моментом системы относительно центра масс для относительного движения относительно…

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

, , . (179) С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи: по заданному…

Теорема об изменении кинетической энергии

Работа силы

Элементарная работа силы. Элементарная работа силы на элементарном (бесконечно малом) перемещении определяется следующим образом (рис. 54): , (180) где – проекция силы на направление скорости точки приложения силы или на направление элементарного перемещения,…

Примеры вычисления работы силы

Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать движение этой точки. Но в природе имеются силы и примеры движения, для которых работу можно вычислить сравнительно просто, зная начальное и конечное положение точки.

Работа силы тяжести. Силу тяжести материальной точки массой вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной , направленной по вертикали вниз. Если взять оси координат , где ось направлена по вертикали вверх, то

, (188)

где – высота опускания точки.

При подъеме точки высота является отрицательной. Следовательно, в общем случае работа силы тяжести равна

. (189)

Если имеем систему материальных точек, то для каждой точки с массой будем иметь работу ее силы тяжести

,

где – начальная и конечная координаты точки.

Работа всех сил тяжести системы материальных точек

, (190)

где – масса системы точек; и – начальная и конечная координаты центра масс системы точек. Вводя обозначение для изменения высоты центра масс , имеем

. (190')

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука:

,

где – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки ; – постоянный коэффициент жесткости.

. (191)

По этой формуле вычисляют работу линейной силы упругости пружины при перемещении по любому пути из точки , в которой ее удлинение (начальная деформация) равно , в точку , где деформация соответственно равна . В новых обозначениях (191) принимает вид

. (191')

Работа силы, приложенной к твердому телу. Получим формулы для вычисления элементарной и полной работы силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, которое совершает то или иное движение. Сначала рассмотрим поступательное и вращательное движения тела, а затем общий случай движения твердого тела.

При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению скорости. Следовательно, если сила приложена к точке , то, так как ,

, (192)

где – радиус-вектор произвольной точки твердого тела. На каком-либо перемещении полная работа

. (193)

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки можно вычислить по векторной формуле Эйлера:

,

тогда элементарную работу силы определим по формуле

. (194)

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа

. (195)

В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. , работу определяют по формуле

. (196)

Используя определение мощности силы

. (197)

Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения тела.

Для свободного тела в общем случае движения скорость точки , в которой приложена сила ,

,

следовательно,

. (198)

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс , для элементарной работы имеем

. (199)

Поворот на угол следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения.

Работа внутренних сил твердого тела. Для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении.

Кинетическая энергия

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, т. е. . (200) Кинетическая энергия как точки, так и сие темы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может…

Теорема об изменении кинетической энергии точки

. (205) Если обе части (205) разделить на и учесть, что мощность , то теорему можно… , (205')

Теорема об изменении кинетической энергии системы

, (207) где кинетическая энергия системы , элементарная работа внешних и внутренних… Если обе части (207) проинтегрировать между двумя положениями системы – начальным и конечным, в которых соответственно…

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки массой относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет… . (210) Сила является равнодействующей активных сил, – равнодействующей реакций связей, – ускорением точки относительно…

Принцип Даламбера для системы материальных точек

, , (214) где – сила инерции для -ой точки. Условия (214) можно представить в… , . (215)

Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения

. Линия действия равнодействующей силы инерции в этом случае проходит через… .

Элементы аналитической механики

Классификация механических связей

В аналитической механике необходимо более подробно рассмотреть связи, налагаемые на точки механической системы. Механической системой, как известно, называют любую совокупность материальных точек. Условия, ограничивающие свободу перемещения точек механической системы, называются связями. Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные но времени различных порядков. Для одной точки уравнение связи в общем случае можно выразить в форме

. (217)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением связей, в уравнения которых могут входить производные по времени от координат не выше первого порядка.

Для механической системы, состоящей из точек, уравнений связей представятся системой уравнений

, . (218)

Считается, что индекс принимает все или часть значений от 1 до как для координат, так и для их производных.

Если в уравнения связей (218) входят только координаты точек и не входят производные от координат, то связи называются геометрическими.

Если в уравнения связей кроме координат входят еще и их производные по времени (проекции скоростей точек на оси координат) или только одни производные, кроме времени, то связи называются кинематическими.

Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными. Неинтегрируемые кинематические связи, которые нельзя свести к геометрическим, являются неголономными.

Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными или склерономными. Если время входит явно в уравнение связи, то связь называется нестационарной и реономной.

Связи называют неосвобождающими или двусторонними, если они выражаются математически уравнениями, и освобождающими или односторонними, если они выражаются неравенствами.

Все связи можно разделить на реальные и идеальные. К идеальным связям относятся все связи без трения. Некоторые связи с трением тоже относятся к идеальным. Понятие идеальных связей дается после введения понятия возможного перемещения системы.

Возможные перемещения

Возможных перемещений у точки в момент времени бесконечно много. Если, например, точка движется по поверхности, все допускаемые связью… Возможное перемещение , как и действительное , является вектором и потому… Возможным перемещением системы называют любую совокупность возможных перемещений точек системы. В общем случае система…

Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи

. (219) Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения… Обозначим силы реакций связей для точек системы . Тогда связи системы называются идеальными, если для любого…

Принцип возможных перемещений

. (221) где – активная сила, приложенная к -й точке системы; – радиус-вектор этой… В принцип возможных перемещений не входят силы реакций связей. Но его можно применять также и для определения…

Обобщенные координаты системы

Предположим, что на систему наложены голономные связи, уравнения которых в общем случае могут содержать и производные от координат точек, но после… , . (222) Освобождающие связи, выражающиеся неравенствами, не рассматриваются. Таким образом, координат связаны уравнениями и…

Обобщенные силы

. (226) Пусть голономная система имеет степеней свободы и, следовательно, ее положение… Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам и , получим

Вычисление обобщенной силы

. 2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих… . (226'')

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив: для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю

. (228')

Общее уравнение динамики

, (229) где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; –… Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных…

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа первого рода для голономной механической системы с степенями свободы, на которую наложены идеальные связи имеют вид: , , (231) где – обобщенные координаты; величина – обобщенная скорость; –обобщенная сила, отнесенная к обобщенной координате ; –…

Решение задач динамики

Дано: кг, , где кг/м, м/с, м, , . Определить: на участке . Решение:

Контрольные Вопросы

1. Основные понятия статики.

2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

3. Момент силы относительно оси.

4. Пара сил и момент пары сил.

5. Аксиомы статики.

6. Простейшие теоремы статики.

7. Система сходящихся сил.

8. Эквивалентность пар сил.

9. Условия равновесия пар сил.

10. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду.

11. Формы условия равновесия пространственной системы сил.

12. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

13. Теорема Вариньона.

14. Формы условий равновесия плоской системы сил.

15. Распределенные силы.

16. Типы реакций связей.

17. Сила трения скольжения.

18. Трение качения.

19. Определения и формулы для вычисления центров тяжести

20. Методы определения центров тяжести

21. Центры тяжести простейших тел.

22. Кинематика точки: скорость и ускорение точки.

23. Векторный способ изучения движения точки.

24. Координатный способ изучения движения точки.

25. Естественный способ изучения движения точки.

26. Теорема о проекциях скоростей.

27. Поступательное движение твердого тела.

28. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

29. Плоское движение твердого тела.

30. Мгновенный центр скоростей.

31. Мгновенный центр ускорений.

32. Сложение скоростей (общий случай переносного движения).

33. Сложение ускорений (общий случай переносного движения).

34. Ускорение Кориолиса.

35. Аксиомы динамики.

36. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

37. Основные задачи динамики точки.

38. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

39. Дифференциальные уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета.

40. Основное свойство внутренних сил.

41. Геометрия центра масс.

42. Моменты инерции относительно точки и оси.

43. Моменты инерции относительно осей координат

44. Теорема Штейнера.

45. Моменты инерции однородных простейших тел.

46. Количество движения точки и системы, элементарный и полный импульсы силы.

47. Теорема о движении центра масс системы.

48. Теорема об изменении количества движения точки.

49. Теорема об изменении количества движения системы.

50. Законы сохранения количества движения.

51. Кинетический момент точки и системы.

52. Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.

53. Теорема об изменении кинетического момента точки.

54. Теорема об изменении кинетического момента системы.

55. Законы сохранения кинетических моментов.

56. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

57. Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс.

58. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

59. Работа силы.

60. Примеры вычисления работы сил.

61. Кинетическая энергия точки и системы. Теорема Кёнига.

62. Кинетическая энергия твердого тела.

63. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

64. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

65. Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении.

66. Классификация связей.

67. Возможное перемещение точки и системы.

68. Принцип Даламбера для материальной точки.

69. Принцип Даламбера для системы материальных точек.

70. Обобщенные координаты системы.

71. Обобщенные силы.

72. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи.

73. Принцип возможных перемещений.

74. Условия равновесия системы в терминах обобщенных координат.

75. Объединенный принцип Даламбера-Лагранжа.

76. Уравнения Лагранжа.

Заключение

В данном учебном пособии кратко изложены основные положения, понятия и законы, которыми оперирует теоретическая механика. Представленный материал соответствует необходимому минимуму, предусмотренному учебными и рабочими программами различных специальностей заочной формы обучения. При этом совершенно не затрагиваются вопросы исторического развития теоретической механики, а также дополнительные разделы, изучение которых индивидуально для каждой специальности. Для изучения этих вопросов, а также для более глубокого изучения курса в библиографическом списке приведен перечень литературы, к которой может обратиться читатель. В пособии также рассмотрены примеры решения задач по статике, кинематике и динамике, которые помогут при решении контрольных работ. Для подготовки к зачету (экзамену) приведены контрольные вопросы для самопроверки, охватывающие основной материал дисциплины.

Библиографический список

2. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: в 2х т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – СПб.: Лань, 2002. 736 с. 3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – М: Высш. шк.,… 4. Цывильский В.Л. Теоретическая механика / В.Л. Цывильский. – М: Высш. шк., 2008. 368 с.

Оглавление

 

Введение…………………………………………………………. 3

1. Статика………………………………………………………... 6

1.1. Основные понятия статики……………………….... 6

1.1.1. Момент силы………………………...……………. 7

1.1.2. Пара сил………………………...………………... 11

1.2. Аксиомы статики………………………...………... 13

1.3. Простейшие теоремы статики……………………. 17

1.4. Приведение системы сил к простейшей

системе. Условия равновесия…………………..... 18

1.5. Центр тяжести твердого тела……………………... 23

1.6. Распределенные силы……………………….......... 25

1.7. Трение………………………...……………………. 26

1.8. Решение задач статики………………………......... 29

2. Кинематика………………………...………………………... 34

2.1. Кинематика точки………………………...………. 34

2.1.1. Скорость и ускорение точки……………………. 34

2.1.2. Векторный способ задания движения точки…... 37

2.1.3. Координатный способ задания движения точки 37

2.1.4. Естественный способ задания движения точки.. 40

2.2. Кинематика твердого тела………………………... 43

2.2.1. Поступательное движение твердого тела……… 44

2.2.2. Вращение твердого тела вокруг

неподвижной оси...………………...…………….. 45

2.3. Сложное движение точки……………………….... 52

2.4. Плоское (плоскопараллельное) движение

твердого тела.…………………...…………………. 57

2.4.1. Скорости точек плоской фигуры……………….. 59

2.4.2. Мгновенный центр скоростей………………….. 60

2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры……………... 62

2.4.4. Мгновенный центр ускорений…………………. 63

2.5. Решение задач кинематики……………………….. 65

3. Динамика………………………...………………………....... 78

3.1. Аксиомы динамики………………………...……… 78

3.2. Динамика материальной точки…………………... 79

3.2.1. Дифференциальные уравнения

движения материальной точки..………………... 79

3.2.2. Две основные задачи динамики точки…………. 81

3.2.3. Дифференциальные уравнения относительного

движения материальной точки………………..... 84

3.3. Геометрия масс………………………...………….. 85

3.3.1. Центр масс………………………...……………... 85

3.3.2. Моменты инерции………………………............. 87

3.3.3. Теорема Штейнера………………………............. 90

3.3.4. Моменты инерции однородных тел……………. 90

3.4. Теоремы динамики………………………............... 92

3.4.1. Теорема о движении центра масс………………. 94

3.4.2. Теорема об изменении количества движения…. 95

3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента. 99

3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии.. 104

3.5. Принцип Даламбера……………………………... 114

3.6. Элементы аналитической механики……………. 118

3.6.1. Классификация механических связей………… 118

3.6.2. Возможные перемещения……………………... 120

3.6.3. Элементарная работа силы на возможном

перемещении. Идеальные связи………………. 121

3.6.4. Принцип возможных перемещений…………... 123

3.6.5. Обобщенные координаты системы…………… 124

3.6.6. Обобщенные силы………………………........... 126

3.6.7. Общее уравнение динамики…………………... 128

3.6.8. Уравнения Лагранжа второго рода…………… 132

3.7. Решение задач динамики………………………... 133

Контрольные вопросы…….………………………………….. 151

Заключение……………………………………………………. 154

Библиографический список………………………………….. 155

 

 

Учебное издание

 

 

Переславцева Наталья Сергеевна

Бестужева Наталья Петровна

 

 

Теоретическая Механика

 

 

В авторской редакции

 

Компьютерный набор Н.С. Переславцевой

 

 

Подписано к изданию 15.04.2009.

Уч.-изд. л. 8,3.

 

 

ГОУВПО

«Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14