Реферат Курсовая Конспект
Решение задач динамики - раздел Механика, Теоретическая Механика Пример 7. ...
|
Пример 7. На вертикальном участке трубы (рис. 55) на груз массой действуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки , где , до точки равно . На наклонном участке на груз действуют сила тяжести, сила трения скольжения с коэффициентом трения переменная сила , заданная в ньютонах.
Дано: кг, , где кг/м, м/с, м, , .
Определить: на участке .
Решение:
1. Рассмотрим движение груза на участке , считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
, или, . (232)
Далее находим , . Подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что , получим
, или . (233)
Введем для сокращения записей обозначения:
м–1, м2/с2, (234)
где при подсчете принято м2/с2. Тогда уравнение (233) можно представить в виде:
. (235)
Разделяя в уравнении (235) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим
и . (236)
По начальным условиям при , что дает и из равенства (236) находим или . Отсюда
и .
В результате находим:
. (237)
Полагая в равенстве (237) м, и заменяя и их значениями (234), определим скорость ив груза в точке (м/с, число ):
и м/с. (238)
2. Рассмотрим теперь движение груза на участке . Найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью (). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , , и . Проведем из точки оси и и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось :
,
или
, (239)
где . Для определения составим уравнение в проекции на ось . Так как , получим , откуда . Следовательно, . Кроме того, и уравнение (239) примет вид:
. (240)
Разделив обе части равенства на , вычислив и , подставим эти значения в (9). Тогда получим:
. (241)
Умножая обе части уравнения (241) на и интегрируя, найдем:
. (242)
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке , считая в этот момент . Тогда при , где дается равенством (238). Подставляя эти величины в (242), получим
.
При найденном значении уравнение (242) дает:
. (243)
Умножая здесь обе части на и снова интегрируя, найдем
. (244)
Так как при , то и окончательно искомый закон движения груза будет
. (245)
где – в метрах, – в секундах.
Ответ: , – в метрах, – в секундах.
Пример 8. В центре тяжести тележки массой , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень длиной с грузом массой на конце (рис. 56). В момент времени , когда скорость тележки , стержень начинает вращаться вокруг оси по закону .
Дано: кг, кг, м/с, м, рад, где – в секундах.
Определить: закон изменения скорости тележки .
Решение:
1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза , в произвольном положении (рис. 56). Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , и реакции плоскости , . Проведем координатные оси так, чтобы ось была горизонтальна.
Чтобы определить , воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в проекции на ось . Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. 56), то и теорема дает
, откуда . (246)
Для рассматриваемой механической системы , где и – количества движения тележки и груза соответственно (– скорость тележки, – скорость груза по отношению к осям ). Тогда из равенства (246) следует, что
или . (247)
2. Определение . Рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня вокруг оси ), а движение самой тележки – переносным. Тогда и
. (248)
Но и, следовательно, . Вектор направлен перпендикулярно стержню и численно .
Изобразив этот вектор на рис. 56 с учетом знака , найдем, что . Окончательно из равенства (248) получим
. (249)
(В данной задаче величину можно еще найти другим путем, определив абсциссу груза , для которой, как видно из рис. 56, получим , тогда , где , .)
3. При найденном значении равенство (247), если учесть, что , примет вид
. (250)
Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при , . Подстановка этих величин в уравнение (250) дает и тогда из (250) получим:
.
Отсюда находим следующую зависимость скорости и тележки от времени
. (251)
Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость и от от :
. (252)
Ответ:
Пример 9. Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами и ), имеющая массу , жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси с угловой скоростью (рис. 57,а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент , направленный противоположно ; одновременно груз массой , находящийся в желобе в точке , начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону .
Дано: кг, кг, с–1, м, (где в метрах, – в секундах), , где .
Определить: закон изменения угловой скорости платформы .
а) б)
Рис. 57
Решение:
1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза . Для определения применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси :
. (253)
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , и реакции , и вращающий момент . Так как силы и параллельны оси , а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление против хода часовой стрелки, получим и уравнение (253) примет такой вид:
. (254)
Умножая обе части этого уравнения на и интегрируя, получим
. (255)
Для рассматриваемой механической системы
, (256)
где и – кинетические моменты платформы и груза соответственно.
2. Определение . Так как платформа вращается вокруг оси , то . Значение найдем по теореме Гюйгенса: (– момент инерции относительно оси , параллельной оси и проходящей через центр платформы).
Но, как известно,
.
Тогда
.
Следовательно,
. (257)
3. Для определения обратимся к рис. 57,б и рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза . Так как груз движется по закону , то ; изображаем вектор на рис. 57,б с учетом знака (при направление было бы противоположным). Затем, учитывая направление , изображаем вектор (); численно . Тогда, по теореме Вариньона,
. (258)
Из рис. 57,б видно, что . Подставляя эту величину в равенство (6), находим .
4. Подставив значения и из (257) и (258) в равенство (256), получим с учетом данных задачи:
. (259)
Тогда уравнение (255), где , примет вид
. (260)
Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при , . Получим . При этом значении из уравнения (260) находим искомую зависимость от :
. (261)
Ответ: с–1, где – в секундах.
Пример 10. Механическая система (рис. 58) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и и радиусом инерции относительно оси вращения , блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен ). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости ; ее начальная деформация равна нулю. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы , зависящей от перемещения точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент сил сопротивления.
Дано: кг, кг, кг, кг, кг, м, м, м, , Н/м, , Н, м.
Определить: в тот момент времени, когда .
Решение:
1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные , , , , , реакции , , , , натяжение нити , силы трения , и момент .
Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
. (262)
2. Определяем и . Так как в начальный момент система находилась в покое, то . Величина равна сумме энергий всех тел системы:
. (263)
Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим
,
,
, (264)
Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что , где – любая точка обода радиуса шкива 3 и что точка – мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим . Тогда
, . (265)
Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения
, . (266)
Подставив все величины (265) и (266) в равенства (264), а затем, используя равенство (263), получим окончательно
. (267)
3. Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь . Введя обозначения: – перемещение груза 5 (), – угол поворота шкива 3, и – начальное и конечное удлинения пружины, получим
,
,
,
,
.
Работы остальных сил равны нулю, т.к. точки и , где приложены силы , и – мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы , и – неподвижны; а сила – перпендикулярна перемещению груза.
По условиям задачи, . Тогда , где – перемещение точки (конца пружины). Величины и надо выразить через заданное перемещение . Для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда, так как (равенство уже отмечалось), то и .
Из рис. 59 видно, что , а так как точка является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити ), то ; следовательно, и . При найденных значениях и для суммы вычисленных работ получим
. (268)
Подставляя выражения (267) и (268) в уравнение (262) и учитывая, что , придем к равенству
. (269)
Из равенства (269), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .
Ответ: с–1.
Пример 11. Механическая система (рис. 60) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и , радиус инерции относительно оси вращения ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.
Дано: Н, Н, Н, Н, , м, м, м; м.
Определить: ускорение груза 3, пренебрегая трением.
Рис. 60
Решение:
1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, – идеальные.
Для определения применим общее уравнение динамики:
, (270)
где – сумма элементарных работ активных сил; – сумма элементарных работ сил инерции.
2. Изображаем на чертеже активные силы , , и пару сил с моментом . Сообщим системе возможное перемещение и составим выражение для суммы работ:
.
Выразим через :
.
В результате получим
. (271)
3. Задавшись направлением ускорения , изображаем на чертеже силы инерции , и пару сил инерции с моментом , величины которых равны:
, , . (272)
Сообщая системе возможное перемещение , получим:
. (273)
Выразим все ускорения, входящие в (272) через искомую величину
, ,
а перемещения через :
, , .
В результате получим:
. (274)
Подставив величины и (формулы (271) и (274)) в уравнение (270), и сократив на , найдем:
. (275)
Вычисления дают м/с2. Знак указывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. 60.
Ответ: м/с2, ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рисунке.
Пример 12.
Механическая система (рис. 60) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и , радиус инерции относительно оси вращения ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.
Дано: Н, Н, Н, Н, , м, м, м; м.
Определить: ускорение груза 3, пренебрегая трением.
Решение:
1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение груза 3, полагая, что он движется вниз и отсчитывая в сторону движения (рис. 60). Составим уравнение Лагранжа:
. (276)
2. Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:
. (277)
Грузы 3 и 4 движутся поступательно, поэтому шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, следовательно
, , . (278)
Скорости , и выразим через обобщенную скорость :
, , . (279)
Подставляя значения величин (279) в равенства (278), а затем значения , и в соотношение (277), получим:
. (280)
Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (276) примут вид:
,
, . (281)
3. Найдем обобщенную силу . Для этого составим уравнение работ активных сил на перемещении . Воспользуемся соотношением (271) примера 11:
. (282)
.
Коэффициент при в (282) и будет обобщенной силой:
. (283)
Подставляя (281) и (283) в уравнение (276), получим
.
Отсюда находим
м/с2,
что совпадает с ответом примера 11.
Ответ: м/с2, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рисунке.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Воронежский государственный технический университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение задач динамики
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов