ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Министерство общего и профессионального образования РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра теоретической механики

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методическое пособие для студентов заочной формы обучения  

Табл. 12. Ил. 110 . Библиогр.: 10 назв.

 

 

Рецензент канд. техн. наук Ю.В. Акулич

 

 

© Пермский государственный

технический университет,2002

 

1.ВВЕДЕНИЕ

 

Основной формой изучения дисциплины является самостоятельная работа студента, включающая изучение рекомендованной учебной литературы, практические занятия по решению задач и выполнение контрольных заданий. Распределение объемов занятий и видов учебной работы по семестрам дано в табл. 1.

Выписка из учебного плана Таблица 1

 

Специальность	Семестр	Занятия, час.	Число контр. работ	Контроль
Лекции	Практи- ческие	Самост. работа
АТ						Зачет
АТ-у						Зачет
КТЭИ						Экзамен
КТЭИ-у						Зачет
АЭП						Зачет
АЭП-у						Зачет
ЭС						Зачет
ЭС-у						Зачет

 

 

Список учебной литературы

 

Литература основная

 

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 2001, 416с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990, 607с.

3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч.I,II. - М.: Высшая школа, 1984, 424с/488с.

4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Физматгиз, 1985, 448с.

5. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1, 2. М.: Наука, 1990.

Литература дополнительная

 

1. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. Ч.II. - М.: Высшая школа, 1971, 543с.

2. Старжинский В.М. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1980, 464с.

3. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. - М.: Высшая школа, 1966, 248с.

4. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. - М.: Наука, 1991, 264с.

5. Веселовский И.Н. Очерки по истории теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1974, 287с.

 

При составлении разделов 3 и 5 использованы материалы работы Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведеиий/Л. И. Котова, Р. И. Надеева, С. М. Тарг и др.; Под ред. С. М. Тарга — 4-е изд. — М.: Высш. шк., 1989.— 111 с.: ил.

 

 

2. ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

(Соответствует Стандартам специальностей 2001г., страницы изучаемых разделов указаны по основному учебнику: Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.; Высшая школа, 2001)

 

1. Введение в курс теоретической механики. Механическое движение как одна из форм движения материи. Теоретическая механика и ее место среди естественных и технических наук. Объективный характер законов механики. Границы применимости классической механики. Роль советских и русских ученых в развитии механики. Значение курса теоретической механики для специальности. Кинематика. Предмет кинематики. Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория. Понятие скорости и ускорения точки. Координатный способ задания движения точки. Нахождение траектории. Определение скорости и ускорения. Естественный способ задания движения точки. Уравнение движения точки по заданной траектории. Численное значение скорости. Касательное и нормальное ускорения. (Стр. 5-8, 95-116).

2. Понятие об абсолютно твердом теле. Простейшие движения твердого тела. Поступательное движение. Теорема о свойствах поступательного движения. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Равномерное и равнопеременное вращения. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Угловая скорость тела как вектор. Скорость и ускорение точки вращающегося тела в виде векторных произведений. (Стр. 117-126).

3. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения движения плоской фигуры. Независимость угловой скорости плоской фигуры от выбора полюса. Определение скорости точки плоской фигуры методом полюса. Теорема о проекциях скоростей. Мгновенный центр скоростей. Свойства мгновенного центра скоростей. Особые случаи отыскания мгновенного центра скоростей. Определение ускорения точки плоской фигуры методом полюса. (Стр. 127-145).

4. Составное движение точки. Абсолютное и относительное движение точки. Переносное движение. Теорема сложения скоростей. Теорема сложения ускорений. Численное значение и направление ускорения Кориолиса. Физический смысл ускорения Кориолиса. (Стр. 155-168).

5. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, или сферическое движение. Углы Эйлера. Мгновенная ось вращения. Теорема Эйлера-Даламбера. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Определение скоростей и ускорений точек тела, совершающего сферическое движение. Общий случай движения свободного твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела. Сложное движение твердого тела. Сложение вращений вокруг параллельных и пересекающихся осей. (Стр. 147-155, 169-176).

6. Динамика и элементы статики. Предмет динамики и статики. Связи и реакции связей. Проекция силы на ось и на плоскость. Момент силы относительно точки как алгебраическая величина и как вектор. Момент силы относительно оси, его связь с моментом силы относительно точки. Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей. Пара сил. Момент пары как алгебраическая величина и как вектор. (Стр. 9-36).

7. Система сил. Главный вектор и главный момент системы сил. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи равновесия систем сил: системы сходящихся и параллельных сил. Равновесие плоской системы сил. Различные виды уравнений равновесия. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела и его координаты. Статически определимые и статически неопределимые задачи. Равновесие системы тел. (Стр. 37-86).

8. Динамика материальной точки. Законы механики Галилея-Ньютона. Понятие массы. Инерциальная система отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения материальной точки. Задачи динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки в частных случаях. (Стр. 180-200).

9. Свободные прямолинейные колебания материальной точки. Относительное движение материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Случай относительного покоя. Принцип относительности классической механики. (Стр. 223-231).

10. Механическая система. Масса системы. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Центр масс системы. Внешние и внутренние силы. Свойства внутренних сил. Момент инерции системы относительно оси. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Примеры вычисления моментов инерции тел в простейших случаях. (Стр. 263-271).

11. Количество движения материальной точки и механической системы. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и системы материальных точек. Теорема о движении центра масс системы. Условия сохранения скорости движения центра масс системы. (Стр. 201-204, 273-290).

12. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Кинетический момент системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. Теоремы об изменении момента количества движения точки и кинетического момента системы относительно центра и оси. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела. (Стр. 201-204, 273-290).

13. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Формулы для кинетической энергии тела в простейших случаях движения. Теорема Кенига. Элементарная работа силы. Аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном пути. Мощность. Работа силы тяжести и силы упругости. Работа внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся телу. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и системы материальных точек в дифференциальной и конечной формах. (Стр. 208-219, 301-314).

14. Принцип Даламбера для материальной точки. Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для системы. Главный вектор и главный момент сил инерции. Момент инерции тела относительно произвольной оси. Центробежные моменты инерции. Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Свойства главных осей инерции. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравновешивание сил инерции. (Стр. 271-273, 344-356).

15. Связи и их уравнения. Классификация связей. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Применение принципа возможных перемещений к простейшим машинам и к определению реакций связей. Общее уравнение динамики. (Стр. 357-369).

16. Обобщенные координаты системы. Обобщенные силы и способы их вычисления. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа второго рода. Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей. Закон сохранения механической энергии. Условия равновесия и уравнения Лагранжа для системы, находящейся в потенциальном силовом поле. Понятие об устойчивости равновесия. (Стр.317-323, 369-386).

17. Принцип Гамильтона-Остроградского.

18. Малые колебания механической системы. Кинетическая и потенциальная энергия системы при ее малых отклонениях от положения равновесия. Критерий устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с двумя (или n) степенями свободы и их свойства, собственные частоты и коэффициенты формы. (Стр. 387-396).

19. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки Элементарная теория гироскопа. Кинетический момент твердого тела с одной неподвижной точкой. Теорема Резаля. Приближенная теория гироскопов. Свободный гироскоп. Действие силы на ось свободного гироскопа. Регулярная прецессия гироскопа. Гироскопический момент. (Стр. 334-344).

20. Явление удара. Общие теоремы теории удара. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. Коэффициент восстановления при ударе. Удар тела о неподвижную преграду. Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе. Удар по вращающемуся телу. Центр удара. (Стр. 396-408).

 

3.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Теоретическая механика как одна из важнейших физико-математических дисциплин играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей. На основных законах и принципах теоретической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, такие, как сопротивление материалов, строительная механика, гидравлика, теория механизмов и машин, детали машин и др. В различных курсах по машиностроительным, механическим, строительным, приборостроительным и многим другим специальностям также широко используются положения теоретической механики. На основе теорем и принципов теоретической механики решаются многие инженерные задачи и осуществляется проектирование новых машин, конструкций и сооружений. Хорошее усвоение курса теоретической механики требует не только глубокого изучения теории, но и приобретения твердых навыков в решении задач. Для этого необходимо самостоятельно решить большое количество задач по всем разделам.

В курсе теоретической механики студенты изучают три ее раздела: статику, кинематику и динамику (включая элементы аналитической механики и теории колебаний).

Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса, начиная со статики, широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически (построением векторного треугольника или многоугольника) и аналитически (по проекциям на координатные оси) сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведения двух векторов и знать свойства этих произведений, а в кинематике и динамике - дифференцировать векторы. Надо также уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат на плоскости и в пространстве, знать, что такое единичные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов.

Для изучения кинематики надо совершенно свободно уметь дифференцировать функции одного переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с понятиями о естественном трехграннике, кривизне кривой и радиусе кривизны, знать основы теории кривых 2-го порядка, изучаемой в аналитической геометрии.

Для изучения динамики надо уметь находить интегралы (неопределенные и определенные) от простейших функций, вычислять частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (однородные и неоднородные) с постоянными коэффициентами.

При изучении материала курса следует придерживаться следующих этапов:

1. Читая раздел учебника, надо прежде всего уяснить существо каждого излагаемого там вопроса. Главное - это понять изложенное в учебнике, ане "заучить". Изучать материал рекомендуется по темам (пунктам приведенной выше программы со ссылками на страницы основного учебника) или по главам (параграфам) других указанных учебников. Сначала следует прочитать весь материал темы (параграфа), особенно не задерживаясь на том, что показалось не совсем понятным: часто это становится понятным из последующего. Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении обратите на формулировки соответствующих определений, теорем и т.п. (они обычно бывают набраны в учебнике курсивом или разрядкой); в точных формулировках, как правило, существенно каждое слово и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так. Однако не следует стараться заучивать формулировки; важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами. Необходимо также понять ход всех доказательств (в механике они обычно не сложны) и разобраться в их деталях. Доказательства надо уметь воспроизводить самостоятельно, что нетрудно сделать, поняв идею доказательства; пытаться просто их "заучивать" не следует, никакой пользы это не принесет. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект, по возможности не заглядывая в учебник;

2. При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал данной темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методическиеуказания поих решению.Затем постарайтесь решить самостоятельно в качестве практических занятий несколько аналогичных задач из сборника задач И. В. Мещерского [4] (рекомендуемый список задач по темам и методические указания их решения приведены в разделе 4).

3. После приобретения практических навыков решите соответствующую задачу из контрольной работы (раздел 5).

4. Закончив изучение темы, нужно проверить, можете ли вы дать ответ на все вопросы программы курса по этой теме (осуществить самопроверку). Перечень вопросов для самопроверки приводится в разделе 6.

5. Следует иметь в виду, что в различных учебникахматериал может излагаться в разной последовательности. Поэтому ответна какой-нибудь вопрос программы может оказаться в другой главеучебника,но наизучении курса в целом это, конечно, никак не скажется. Указания по выполнению контрольных работ приводятся ниже. Их надо прочитать обязательно и ими руководствоваться. Кроме того, к каждой задаче даются конкретные методические указания по ее решению и приводится пример решения.

 

 

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

 

Для самостоятельного приобретения умения решения задач, что является обязательной частью образования инженера, необходимо решить задачи из сборника задач И. В. Мещерского [4] и задачи из контрольных работ раздела 5. Темы занятий и соответствующие им номера задач приведены в Табл. 2. Задачи из сборника задач И. В. Мещерского [4] имеют двойную цифровую нумерацию (например, 2.17, где 2-номер параграфа, 17- номер задачи в этом параграфе). В номерах задач из контрольных работ содержится буква (например, С1 обозначает: задача 1 радела Статика).

 

Задачи для практических занятий Таблица 2

Номер темы	Тема занятия (объем в часах)	Номера задач
	Равновесие плоской системы сил (6)	4.7, 4.15, 4.33, С1, С2
	Равновесие пространственной системы сил (4)	8.16, 8.29, С3
	Кинематика точки (4)	12.13, 12.22, К1
	Вращательное движение тела (4)	13.15, 14.10, К2
	Плоскопараллельное движение тела (8)	15.3, 16.11, 16.29, 18.11, 18.28, К3
	Сложное движение точки (8)	22.11, 22.17, 23.4, 23.9, К4
	Динамика материальной точки (6)	26.10, 26.13, 26.24, 27.5, 27,16, 27.29, Д1
	Теорема о движении центра масс механической системы (4)	35.10, 35.16, 35,21
	Теорема об изменении количества движения механической системы (2)	36.9, 36.10
	Теорема об изменении момента количества движения механической системы(4)	37.5, 37.7, 37.43, Д2
	Теорема об изменении кинетической энергии механической системы(5)	38.11, 38.24, 38.31, Д3
	Принцип Даламбера (4)	41.10, 41.17, 41.21, Д4
	Уравнения Лагранжа 2-го рода (5)	48.7, 48.35, Д5
	Принцип возможных перемещений	Д6

 

При выполнении практических занятий целесообразно придерживаться общих методических рекомендаций, излагаемых ниже для каждой темы. Подробное применение этих рекомендаций разобрано в примерах к задачам контрольных заданий, приведенных в разделе 5.

 

 

5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,

ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

В соответствии с Табл. 1 выполняется одна контрольная работа, включающая задачи С1, С2, С3, К1, К2, КЗ, К4, Д1, Д2, ДЗ, Д4, Д5, Д6.   К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту…

СТАТИКА

  ВИДЫ СВЯЗЕЙ Связь – тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве.

Таблица С1

Сила
Номер условия	F1 = 10 H	F2 = 20 H	F3 = 30 H	F4 = 40 H
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	H
	-	-	H		K		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	K		E		-	-
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	K
	D		-	-	H		-	-
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	-	-	K

 

Перед выполнением задания прочтите по учебнику темы: «Основные понятия и аксиомы статики», «Связи и реакции связей», «Плоская система сил», «Пара сил».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Сила, линия действия силы.

2. Проекция силы на ось. В каком случае проекция силы на ось равна нулю?

3. Проекция силы на плоскость, в каком случае эта проекция равна нулю. Отличие проекции силы на плоскость от проекции силы на ось.

4. Алгебраической момент силы относительно центра (точки). В каком случае момент силы относительно центра равен нулю?

5. Что называется связями, перечислите виды связей.

6. Аксиома освобождения от связей.

7. Реакция связи, ее направление и точка приложения.

8. Какая система сил называется плоской (произвольной плоской)? Условия равновесия плоской системы сил в алгебраической (координатной) форме.

9. Теорема Вариньона в алгебраической форме.

 

Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН × м, b =30°, l= 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

 

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы:

а) активные силы (нагрузки): силу и пару сил с моментом М;

б) реакции связей:

в точке А связью является неподвижная шарнирная опора, ее реакцию изображаем двумя составляющими , параллельными координатным осям;

в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, ее реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков;

в точке D связью является трос, реакция троса направлена вдоль троса от пластины (по модулю Т = Р).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и учтем, что . Получим

(1)

(2)

(3)

Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную :

кН.

Подставляем в уравнение (1):

.

Подставляем в уравнение (2):

Проверка.Составим, например, уравнение (или уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Если задача решена верно, то эта сумма моментов должна быть равна нулю.

Ответ: Х_А = -8,5 кН, Y_A = -23,3 кН, R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира и направлены противоположно показанным на рис. C1.

В примерах выполнения последующих задач решение уравнений и проверка не приводятся, но это необходимо делать при выполнении каждой задачи контрольной работы.

 

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Выполнить рисунок на странице в клетку или на вклеенном листке миллиметровой бумаги, на котором изобразить:

а) траекторию точки и ее координаты для заданного момента времени (в масштабе координат);

б) проекции скорости точки на оси координат и вектор скорости точки для заданного момента времени (в масштабе скоростей), причем полученный вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории;

в) проекции ускорения точки на оси координат и вектор ускорения точки для заданного момента времени (в масштабе ускорений), причем полученный вектор ускорения должен быть направлен в сторону вогнутости траектории (для прямолинейной траектории – вдоль этой прямой);

г) проекции вектора ускорения на касательную и нормаль (касательное и нормальное ускорения), определить их значения с помощью масштаба ускорений и сравнить со значениями, вычисленными по формулам.

д) отложить по нормали радиус кривизны в масштабе координат и показать центр кривизны траектории для данной точки (если позволяют размеры рисунка, в противном случае указать, что центр кривизны находится за пределами рисунка.

 

Таблица К1

Условия	y = f2(t)
Рис. 1-2	Рис.3-6	Рис.7-9

 

Зависимость х = f₁, (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂ (t) дана в табл. К1 (для рис. О-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C1, C2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin²a = 2 cos²a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.

 

Пример К-1. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

, (1)

, (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при c ; скорость точки; ускорение точки; касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории . В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение.1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

.

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем :

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. 1) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим

, (3)

. (4)

Модуль скорости . Подставляя сюда (3), (4), получим

. (5)

При с : , ,

. (6)

Рис. 1

Выберем масштаб для скоростей (рис.1), проведем в точке M1 линии парал-лельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x и - 4,71 по оси y, что соответствует величи-нам и знакам найденных проекций скорости. На этих составляющих строим пара-ллелограмм (прямоуголь-ник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору . Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению

(с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.

Удобно сейчас построить в точке естественные оси: касательную и главную нормаль (они потребуются позже). Касательную проводим вдоль ; главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории).

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

, (7)

. (8)

Модуль ускорения . Из (7), (8) получим

. (9)

Подставляя в (7) - (9) , найдем

, ,

. (10)

В точке строим в масштабе проекции ускорений , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения . Построив , следует проверить, получилось ли на рисунке (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля .

Учитывая (5), получим .

При

. (11)

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим

, откуда следует

Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле

, (12)

если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле

. (13)

Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

. (14)

Вернемся к рис. 1. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим , . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям и (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы и . Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины , и убедиться, что они совпадают с (11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. 1).

Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : . Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка есть центр кривизны траектории в точке .

Объединяя полученные результаты, запишем ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение ;

2. 3.

4. ;

5. ;

6. ; ;

.

ЗадачаК2

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂, шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех риcyнках и точка K на рис. К2.7-К2.9 расположены в середине соответствующего стержня.

 

Определить величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение аА точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение Î1 = 10 с-2.

 

Таблица К2

Найти Дано Углы, град Номер условия	Углы	Дано	Найти
a°	b°	g°	j°	q°	w 1/с	w 1/с	u м/с
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-
						-		-
						-	-
							-	-

 

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 - от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость u_В- от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движе­ния твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

ПримерК2. Механизм (рис. К2, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a = 120°, b = 60°, g = 90°, j = 0°, q = 30°. AD = DE, l₁ = 0,6 м, l₃ = 1,2 м, w₁ = 5 с^-1, Î₁ =8 с^-2.

Определить: и а_A.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданны­ми углами (рис. К2, б) .

2. Определяем u_E. Точка Е принадлежит стержню AЕ. Чтобы найти u_E, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление u_E. По данным задачи можем определить

(1)

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню 0₂Е, вращающемуся вокруг О₂; следовательно, ^0₂Е. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем u_В. Точка В принадлежит стержню BD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить u_В, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С₂D, соединяющему точки D и С₂, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₂D и С₂А, заметим, что DAС₂E - прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60°, и что С₂А = AE sin 30° = 0,5 АЕ = AD. Тогда DAС₂D является равносторонними С₂А = С₂D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восставляяиз точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К2, б видно, что ÐС₃DB = 30°, a ÐD С₃B = 90°, откуда С₃B = l₃ sin 30°, С₃D = l₃ cos 30°. Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем w₃. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С₃), то

5. Определяем а_A. Так как Î₁, известно, то а_At=l₁Î₁. Далее , или . Тогда . Произведя вычисления, получим а_А = 15,8 м/с².

Ответ: u_Е = 5,2 м/с, u_В = 1,7 м/с, w₃ = 2,9 с^-1, а_А = 15,8 /с².

ДИНАМИКА

Задача Д1

 

Таблица Д1

Номер условия	m, кг	u0, м/с	Q, H	R, H	l, м	t1, с	Fx,H
	2,4			0,8u2	1,5	-	4sin(4t)
				0,4u	-	2,5	-5 cos(4t)
				0,5u2		-	6t2
	1,8			0,3u	-		-2 cos(2t)
				0,6u2		-	-5sin(2t)
	4,5			0,5u	-		3t
				0,8u2	2,5	-	6 cos(4t)
	1,6			0,4u	-		-3sin(4t)
	4,8			0,2u2		-	4 cos(2t)
				0,5u	-		4sin(2t)

 

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила , проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x=f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить, какую скорость будет иметь груз в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет врем

ени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении к переменному х, учтя, что

 

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки А, где u = u₀, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F (t), заданная в ньютонах.

Дано: т = 2 кг, R = mu2, где m = 0,4 кг/м, u0 = 5 м/с, l = 2,5 м, fх = 16 sin (4t).   Определить: х = f (t) - закон движения груза на участке ВС.

 

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

(1)

Далее находим: Р_z = Р = mg, R_z = -R = -mu²; подчеркиваем, Что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что u_z = u, получим

(2)

Введем для сокращения записей обозначения

(3)

где при подсчете принято g » 10 м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

(4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

(5)

По начальным условиям при z = 0 u = u₀ , что дает С₁ =, и из равенства (5) находим

(6)

Полагая в равенстве (6) z = l= 2,5 м и заменяя k и пих значениями (3), определим скорость u_B груза в точке В (u₀ = 5 м/с, число е = 2,7) :

(7)

2. Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость u_B будет для движения на этом участке начальной скоростью (u₀ = u_B). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы

Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

(8)

Так как Р_х = Р sin 30° = 0,5 mg, N_x= 0, F_x = 16 sin (4t), то уравнение (8) примет вид

(9)

Разделив обе части равенства на т = 2 кг и полагая опять g » 10 м/с², получим

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

(11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 , где u_B дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

C₂ = u_B + 2 cos 0 = 6,4 + 2 = 8,4.

При найденном значении C2 , уравнение (11) дает

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем (13) Так как при t = 0 х = 0, то С3 = 0, и искомый закон движения груза будет

Таблица Д3

Номер усло-вия	m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	m5, кг	M4, Н×м	M5, Н×м	F = f(s)	s1, м	Найти
							0,8	50(2+3s)	1,0
						0,6		20(5+2s)	1,2
							0,4	80(3+4s)	0,8
						0,3		40(4+5s)	0,6
							0,6	30(3+2s)	1,4
						0,9		40(3+5s)	1,6
							0,8	60(2+5s)	1,0
						0,6		30(8+3s)	0,8
						0,3		40(2+5s)	1,6
							0,4	50(3+2s)	1,4

Указания. Задача ДЗ - на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении кинетической энергии катка, совершающего плоское движение, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью его центра масс воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение s₁, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Когда по данным таблицы m₂ = 0, груз 2 на чертеже не изображать; шкивы 4 и 5 всегда входят в систему.

Пример ДЗ. Механическая система (рис. ДЗ) состоит из сплошного цилиндрического катка l, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R₂ и r₂ (масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен f ). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2.

 

Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движения из состояния покоя. При движении на шкив 2 действует постоянный момент М2 сил сопротивления. Дано: m1 = 4 кг, m2 = 10кг, m3 = 8 кг, R2 = 0,2 м, r2 = 0,1м, f = 0,2. М2 = 0,6 Н × м, F = 2(1+2s) Н, s1 = 2м. Определить: скорость центра масс катка, когда s = s1.

 

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1 2, 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные , момент сопротивления М₂ реакции и силы трения и .

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

(1)

2. Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

(2)

Учитывая, что тело 1 совершает плоское движение, тело 3 движется поступательно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получим

(3)

Все входящие сюда скорости следует выразить через искомую . Приняв во внимание, что точка K₁ - мгновенный центр скоростей катка 1, и обозначив радиус катка через r₁, получим

(4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

(5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенство (3), а затем используя равенство (2) получим окончательно:

(6)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С₁ пройдет путь s₁. Одновременно все перемещения следует выразить через заданную величину s₁, для чего учтем, что здесь зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (4), т.е.. В результате получим:

Работа остальных сил равна нулю, так как точка K₁, где приложены силы и , является мгновенным центром скоростей, точка O, где приложены , и , неподвижна, а реакция перпендикулярна перемещению груза 3. Тогда окончательно

(7)

4. Подставив выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что T₀ = 0, получим

(8)

При числовых значениях заданных величин равенство (8) дает

Отсюда находим искомую скорость.

Ответ: = 1.53м/с.

Задача Д4

 

Вертикальный вал АК (рис. Д4.0-Д4.9, табл. Д4), вращающийся с постоянной угловой скоростью w = 10 с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д4 в столбце 2 (АВ = ВО = DE = EК = b). К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l₁ = 0,4 м с точечной массой m₁ = 6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l₂ = 0,6 м, имеющий массу m₂ = 4 кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней к валу указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы a и b - в столбцах 5 и 6. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При окончательных подсчетах принять b = 0,4 м.

 

Таблица Д4

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление	a°	b°	Номер условия	Подшипник в точке	Крепление	a°	b°
стержня 1 в точке в точке	стержня 2 в точке в точке	стержня 1 в точке	стержня 2 в точке
	В	D	K				D	K	B
	D	D	E				E	B	K
	E	D	B				K	E	B
	K	D	E				D	E	K
	B	E	D				E	K	D

 

Указания. Задача Д4 - на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня 2) имеют равнодействующую , то численно = ma_C, где а_C - ускорение центра масс С стержня, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д4).

Пример Д4. С невесомым валом АВ, вращающимся с постоянной угловой скоростью w, жестко скреплен стержень OD длиной l и массой m1, имеющий на конце груз массой m2 (рис.Д4). Дано: b1 = 0,6 м, b2 = 0,2 м, a = 30°, l = 0,5 м, m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, w = 6 с-1. Определить: реакции подпятника А и подшипника В.

Решение. Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящейиз вала АВ, стержня OD и груза, и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валомосиАху так, чтобы стержень лежал в плоскости ху, и изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , составляющие реакции подпятника и реакцию подшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно (w = const), то элементы стержня имеют только нормальные ускорения направленные к оси вращения, а численно , где h_k - расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращении и численно , где Dm - масса элемента. Поскольку все пропорциональны h_k, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей , линия действия которой проходит через центр, тяжести этого треугольника, т.е. на расстоянии H₁ от вершины О, где

Но, как известно, равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня = m₁a_C, где а_C ускорение центра масс стержня; при этом, как и для любого элемента стержня, а_C = а_Cn = w²h_C = w²OC sin a (OC= l/2). В результате получим

Аналогично для силы инерции груза найдем, что она тоже направлена от оси вращения, а численно

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ху, то и реакции подпятника А и подшипника В тоже лежат в этой плоскости, что было учтено приих изображении.

По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:

(1)

(2)

(3)

Подставив сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдем искомые реакции.

Ответ: X_A =-11,8 Н, Y_A =49,1 Н, X_B =-19,7 Н.

Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. Д4.

 

 

6. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

 

СТАТИКА И КИНЕМАТИКА

2. Предмет статики. Основные понятия статики (абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные и уравновешенные системы сил, равнодействующая, внешние и… 3. Несвободное твердое тело. Связи и реакции связей. 4. Проекция силы на ось и на плоскость. Алгебраический момент силы относительно точки. Момент силы относительно центра…

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Введение 3

2. Программа 3

3. Методические указания изучения дисциплины 8

4. Методические указания по практическим занятиям 10

5. Контрольные работы 17

6. Вопросы для самопроверки 46