рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Величина

Величина - раздел Механика, Часть 1. Механика ...

(2.1)

 

называется средней скоростьюдвижения за время Δt. Направление средней скорости совпадает с направлением Δг. Если в (2.1) перейти к пределу при Δг → 0, тополучим выражение для мгновенной скорости v:

 

 

Мгновенная скорость v есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3).

 

По мере уменьшения Δt путь Δs все больше будет приближаться к | Δr |, поэтому

 

 

Таким образом, числовое значение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

 

(2.2)

 

В случае неравномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости с течением времени изменяется, пользуются скалярной величиной <v> – средней скоростью неравномерного движения на данном участке:

 

 

Из рис. 3 вытекает, что <v> > | <v> |, так как Δs > | Δг | и только в случае прямолинейного движения

 

Δs = | Δг |

 

 

Если выражение ds = υ dt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по временив пределах от t до t + Δt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δt:

(2.3)

 

В случае равномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости постоянно, выражение (2.3) примет вид

 

Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом

§ 3. Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от vкак по модулю, так и направлению, равную v1 = v +Δv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Δv (рис. 4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Δt

называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δvк интервалу времени Δt:

Мгновенным ускорением а(ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

(3.1)

 

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δv на две составляющие. Для этого из точки А (см. рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Δvτ, представляет собой изменение скорости по модулю за время Δt: Δυτ = υ1 — υ. Вторая же составляющая вектора ΔvΔvnхарактеризует изменение скорости за время Δt по направлению.

Предел отношения , являющийся производной от скорости по времени, определяет быстроту изменения скорости в данный момент времени t и является тангенциальной составляющей ускоренияaτ:

(3.2)

 

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Δvn/АВ = υ1/r, но так как АВ = υ Δt, то

 

 

В пределе при Δt → 0 v1 → v.

Поскольку v1 → v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и Δvn, стремится к прямому. Следовательно, при t → 0 векторы Δvn и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δvn, перпендикулярный скорости, будет направлен к центру круга ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

 

, (3.3)

 

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):

(3.4)

 

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории). С учетом тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) аτ = 0, аn = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) аτ = а = const, an = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

 

Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость υ1 = υ0, то, обозначив t2 = t и υ2 = υ, получим a = (υ – υ0)/t, откуда

 

υ = υ0 + at

 

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим формулу для пройденного пути в случае равнопеременного движения:

 

;

 

 

3) аτ = f (t), аn = 0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) аτ = 0, аn= const. При аτ = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы аn= υ2­/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, имеем дело с равномерным движением по окружности;

5) аτ =0, аn = f (t) — равномерное криволинейное движение;

6) аτ =const, аn ≠ 0 — криволинейное равнопеременное движение;

7) аτ = f (t), аn ≠ 0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

 

 

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

В случае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение.

Пусть точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через малый промежуток времени зададим углом Δφ. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

 

(4.1)

 

Направление вектора угловой скорости задается правилом винта: вектор угловой скорости совпадает по направлению с поступательным движением острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности (рис. 7). Размерность угловой скорости [ω] =Т -1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

 

т. е.

υ= ωR.

 

Если ω = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt = Т соответствует Δφ = 2π, то

ω = 2 π /Т.

 

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

 

n = 1/Т= ω /(2π),

откуда

ω = 2πn.

 

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

. (4.2)

 

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор e параллелен вектору w(рис. 8), при замедленном антипараллелен (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

 

и

 

Нормальная составляющая ускорения

 

 

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость υ, тангенциальное ускорение aτ нормальное ускорение аn) и угловыми величинами ( угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε ) выражается следующими формулами:

s = Rφ, υ = Rω, aτ = Rε, an = ω2R

 

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const)

 

ω = ω0 + εt, φ = ω0t + εt2/2,

 

где ω0 — начальная угловая скорость.

 

 

Глава 2. Динамика материальной точки

§ 5. Первый закон Ньютона. Масса и сила

Как уже указывалось, кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин, обусловливающих это движение. Динамика же рассматривает законы движения тел и те причины, которые его вызывают или изменяют. Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат законы Ньютона.

Первый закон Ньютона –всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит изменить ее это состояние.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), пренебрежимо малы, поэтому при решении многих задач ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что инертная и гравитационная массы равны друг другу. Поэтому в дальнейшем будем говорить просто о массе тела.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила— это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело получает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

 

§ 6. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

a ~ F (m = const) (6.1)

 

При действии одной и той же силы на различные тела их ускорения оказываются различными. Чем больше масса тела, тем больше его инертность и тем меньшее ускорение под действием данной силы оно приобретает, т. е.

 

a ~ 1/m (F = const) (6.2)

 

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать

 

a = kF/m (6.3)

 

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона - ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе материальной точки.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона является частным случаем второго. Действительно, в случае равенства нулю равнодействующей всех сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также будет равно нулю.

В системе СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

 

а = F/m,

или

(6.4)

Учитывая, что масса тела (материальной точки) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

(6.5)

 

Векторная величина

 

p=mv, (6.6)

 

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется количеством движения (импульсом) этой материальной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

 

(6.7)

 

Выражение (6.7) более общая формулировка второго закона Ньютона –производная количества движения материальной точки по времени равна действующей на нее силе.

Из (6.4) следует определение: за единицу силы принимают силу, которая единице массы сообщает ускорение, равное единице. Единица силы — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы:1 Н = 1 кг · м/с2.

§ 7. Третий закон Ньютона

 

Характер взаимодействий между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг; на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F1 = - F2 (7.1)

 

Рассмотрим, например, два разноименных заряженных тела массами m1 и m2, которые притягивают друг друга (рис. 11). Под действием сил F1 и F2 тела приобретают ускорения а1 и а2. Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

F1 = m1a1 и F2 = m2a2 (7.2)

 

Используя выражения (7.1) и (7.2), получим

 

m1a1 = - m2a2,

 

илиa1 = - m2a2/m1,

 

т. е. ускорения двух взаимодействующих тел обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны.

 

§ 8. Силы трения

Рассматривая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением. Однако в механических процессах действуют различные силы: трения, упругости, тяготения. Рассмотрим силы трения. Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. С механической точки зрения, это можно объяснить существованием некоторой силы, которая препятствует движению. Это сила трения — сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхностям.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое, или вязкое) трение.Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.

Внутренним трениемназывается трение между частями одного и того же тела, например, между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки ≈

N
0,1 мкм и меньше).

Рассмотрим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей, в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

mg
Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 12), к которому приложена горизонтальная сила F. Тело придет в движение лишь тогда, когдаприложенная сила F будет больше силы трения Fтр. Французские физики Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили следующий закон: сила Fтр трения скольжения пропорциональна силе N нормального давления:

 

N
Fтр = mN,


где m — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициента трения. Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона α (рис. 13), то оно приходит в движение только когда тангенциальная составляющая F силы тяжести mg будет больше силы трения Fтр . Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела)

 

F = Fтр

 

или

mg sinα = mN = mmg cosα

 

откуда

m = tgα

 

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла α, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости. коэффициент трения скольжения.

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д. В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между трущимися поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят относительно друг друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости.

Довольно радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Коэффициент трения качения в десятки раз меньше коэффициента трения скольжения.

§ 9. Закон сохранения количества движения (импульса)

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек и тел, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2, … mn, и v1, v2, … vn. Пусть F' — равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, а F — равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

 

Складывая почленно эти уравнения, получим

 

 

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(9.1)

 

Таким образом, производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Рассматривая замкнутую систему, можем записать

 

F1 + F2 + … + Fn = 0

 

Таким образом,

(9.2)

 

или

т. е.

(9.3)

 

Это выражение и является законом сохранения количества движения (импульса) - количество движения (импульс) замкнутой механической системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон справедлив не только в рамках классической механики. Он является фундаментальным законом природы.

 

§ 10. Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Если система выбрасывает часть своей массы в каком-то определенном направлении, то она получает количество движения в противоположном направлении. В этом заключается физическая сущность принципа реактивного движения лежащего в основе ракетной техники.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса становится равной m - dm, а скорость - v + dv. Изменение количества движения

 

dp = (m - dm)(v + dv) + (v + dv - u)dm - mv,

 

или

dp = mdvudm,

 

где u — скорость истечения газов из ракеты.

Если на систему действуют внешние силы, то dp = Fdt, поэтому

 

Fdt = mdvudm,

или

(10.1)

Член есть дополнительная сила, ее называют реактивной силой Fp. Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

 

ma= F + Fp(10.2)

 

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F= 0 и учитывая, что скорость истечения газов из ракеты по направлению противоположна скорости ракеты, получим

или в скалярной форме

откуда

 

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса m0, то С = u ln m0. Следовательно,

 

υ = u ln (m0/m). (10.3)

 

Это соотношение называется формулой Циолковского. Онo показывает, что:

1) чем больше полезная нагрузка, тем больше должна быть начальная масса ракеты m0;

2) чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть полезная нагрузка при данной массе ракеты.

 

 

Глава 3. Работа и энергия

 

§ 11. Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других— переходит в другую форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии, полученной вторым телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

 

А = Fss = Fs cos α (11.1)

 

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента — постоянной. Тогда элементарная работа (рис. 14)

 

dAi = Fsidsi = Fi dsi cosαi

 

а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ:

 

(11.2)

 

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость Fs от s вдоль траектории МN. Если эта зависимость представлена графически (рис. 15), то искомая работа А определяется заштрихованной на графике площадью. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F = const и α = const, то получим

 

,

 

где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.2) следует, что при α < π/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fsiсовпадает по направлению с вектором скорости движения v. Если α > π/2, то работа силы отрицательна, в этом случае работа совершается против данной силы. При α = π/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю. Единица работы — джоуль (Дж):1 Дж - работа, совершаемая силой в. 1 Н на пути в 1 м.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность N есть физическая величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt, за который она совершена:

 

Если тело движется с постоянной скоростью v под действием силы F, то

мощность может быть выражена формулой

 

(11.3)

 

 

т. е. равна произведению проекции силы на направление перемещения на скорость тела.

В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени Δt совершается неодинаковая работа ΔА) вводится понятие мгновенной мощности:

(11.4)

 

Если мгновенная мощность (11.4) не постоянна, то формула (11.3) определяет

среднюю мощность <N>. Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

 

§ 12. Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела.

Если сила F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v, то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е.

 

dA = dT.

 

Используя скалярную запись второго закона Ньютона и умножая обе части равенства на перемещение ds, получим

 

Так как , то

и

 

Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью v, кинетическая энергия

 

(12.1)

 

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия — часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их являются силы трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П, которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию какого-то определенного положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела обычно определяется работой, которую совершили бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из конечного состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение. Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком, т. е.

 

dA = — dII, (12.2)

 

так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поскольку работа dA есть скалярное произведение силы F на перемещение dr, то выражение (12.2) можно записать в виде

 

Fdr= – dII. (12.3)

 

Следовательно, если известна функция П(r), то (12.3) полностью определяет силу F по модулю и направлению.

В случае консервативных сил

, , ,

или в векторном виде

F= – grad II, (12.4)

где символом grad II обозначена сумма

(12.5)

где i, j, k — единичные векторы координатных осей. Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П. Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

(12.6)

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

 

П = mgh, (12.7)

 

где h — высота, отсчитанная от нулевого уровня, для которого П0 = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'),

 

П = – mgh.

 

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

 

Fупр = – kx,

 

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость), а знак минус указывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации. По третьему закону Ньютона, для преодоления силы упругости надо приложить силу

 

F = – Fупр = kx.

 

Элементарная работа dA; совершаемая силой F при малой деформации dx, равна

 

dA = Fdx = kxdx,

 

а полная работа

 

идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Если принять, что потенциальная энергия недеформированного тела (при х = 0) равна нулю, то С = О. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

 

П =kx2 /2.

 

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергиясистемы — энергия механического движения и взаимодействия:

 

Е = Т + П.

 

 

§ 13. Закон сохранения энергии

Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек.массами m1, m2, …mn, движущихся со скоростями v1, v2, … vn. Пусть F1', F2’, … , Fn — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а F1, F2, … , Fn — равнодействующие внешних сил. При v « с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

 

 

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dx1, dx2, … , dxn. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение, и, учитывая, что dxi = vidt, получим

 

 

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т. е.

 

F1 + F2 + … + Fn = 0,

получим

 

,

 

. (13.1)

 

dT - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы, а

- бесконечно малая работа всех действующих в системе внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, т. е., согласно (12.2), бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dII. Следовательно, для всей системы в целом

 

d T+ dII = О,

 

откуда полная механическая энергия замкнутой системы

 

T + П = Е = const. (13.2)

 

Выражение (13.2) представляет собой закон сохранения механической энергии:в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами . Существует еще один вид систем — диссипативные системы — такие системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации или рассеяния, энергии. Строго говоря, все системы в природе являются. диссипативными. При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем микроскопических тел, так и для систем микротел.

В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия системы при движении убывает. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

 

§ 14. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это встреча двух или более тел, при которой взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоиx взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1иv2, после удара — через v'1иv'2 (рис. 16). Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. Законы сохранения имеют вид

 

(14.1)

 

(14.2)

 

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (14.1) и (14.2), получим

 

(14.3)

 

(14.4)

 

откуда

 

Решая совместно уравнения (14.3), (14.4) и (14.5), находим

 

(14.6)

 

(14.7)

 

Для анализа полученных результатов разберем несколько примеров:

1) при v 2 =0

(14.8)

(14.9)

 

Проанализируем выражения (14.8) и (14.9) для различных масс:

а) m1 = m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2 = 0) (рис.17), то после удара остановится первый шар (υ'1 = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (υ`2 = v1);

 

б) m1 > m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (υ'1 < υ1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (υ'2 > υ'1) (рис. 18);

 

в) m1 < m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (рис. 19);

 

г) m1 >> m2 (например, столкновение со стеной). Из уравнений (14.8) и (14.9) следует, что

 

υ'1 = - v1, υ'2 ≈ 2m1v1/m2 ≈ 0

2) при m1 = m2. Выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

υ'1 = v2, υ'2 = v1,

т. е. шары равной массы обмениваются скоростями.

 

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 20).

Если массы. тел m1 и m2, их скорости до удара v1 и v2, то используя закон сохранения импульса, можно записать

откуда

(14.10)

 

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать

двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим количеством движения. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m2), то

v = (v1 + v2)/2

 

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величины самих деформаций, а от скоростей деформаций, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии, Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

 

 

Используя (14.10), получим

 

 

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2 = 0), то

 

 

Когда m2 » m1, (масса неподвижного тела очень большая), то v << v1, и почти вся кинетическая энергия дела при ударе переходит в другие формы энергии. Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил.

 

 

Глава 4. Механика твердого тела

 

§ 15. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

(15.1)

 

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

 

 

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 21). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним – r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr <<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра. 2πrhdr — объем рассматриваемого элементарного цилиндра. Если ρ — плотность материала, то его масса

 

dm = ρ · 2πrhdr и dJ = 2πhρr3dr.

 

Тогда момент инерции сплошного цилиндра

 

но так как πR2h – объем цилиндра, то его масса m = πR2hρ, а момент инерции

 

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции JС относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:

 

J = JC + ma2 (15.2)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

 

Т а б л и ц а 1

Тело Положение оси вращения Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R Ось симметрии mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R То же
Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину  
Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиуса R Ось проходит через центр шара

§ 16. Кинетическая энергия вращения

Все реально существующие твердые тела под влиянием приложенных к ним сил деформируются, т. е. тем или иным образом изменяют свою форму. Для упрощения дальнейших рассуждений введем понятие абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками, или, точнее, между двумя частицами этого тела остается постоянным. В дальнейшем мы будем рассматривать только такого рода тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси ОО, проходящей через него (рис. 22). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, …, mn, находящиеся на расстоянии r1, r2, …, rn от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mn опишут окружности различных радиусов г„и будут иметь различные линейные скорости υn. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих

объемов одинакова:

 

(16.1)

 

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

 

,

 

или

 

Используя выражение (16.1), получим

 

. (16.2)

 

Из сравнения формулы (16.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (Т = mυ2/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инертности тела. Чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной скорости.

Формула (16.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для тела (колеса), катящегося по горизонтальной поверхности, энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m — масса катящегося тела, υ — скорость поступательного движения, J — момент инерции тела, ω — скорость вращательного движения.

 

§ 17. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какой-либо силой, то кинетическая энергия вращения возрастает на величину затраченной работы. Работа зависит от действующей силы и от произведенного ею перемещения, однако выражение работы для смещения материальной точки при вращательном движении неприменимо, так как в данном случае перемещение угловое.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 23). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, α — угол между направлением силы и радиусом вектором. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

 

dA = F sin α · rdφ (17.1)

 

Величина

M = Fr sin α (17.2)

 

называется моментом силыотносительно оси вращения;

 

r sin α = l

есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы. Момент силы равен произведению силы на ее плечо:

 

М=Fl

 

Момент силы — величина векторная. Так как l = r sin α , то вектор

 

М = [rF].

 

Его направление перпендикулярно плоскости, в которой расположен вектор силы, и он определяется по правилу правого винта.

Подставляя (17.2) в (17.1), получим, что работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

 

dA = Mdφ

 

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

 

dA =dT,

но

поэтому

 

или

 

Учитывая, что, получим

(17.3)

 

В векторной форме

M=Je (17.4)

 

т. е. момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Уравнение (17.4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

 

§ 18. Момент количества движения и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения (моментом импульса)Li отдельной частицы тела массой mi называется произведение расстояния ri от оси вращения до частицы на количество движения (импульс) mivi этой частицы:

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Часть 1. Механика

Нижегородский государственный архитектурно строительный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Величина

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Нижний Новгород - 2003
    ББК 22.3 Д 25   Демин И.Ю. Физика. Часть 1. Механика. Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т, 2003. – 44

Решение
Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:   х = (2 + 1 · 2 - 0,5 · 23) м = О.  

Решение
               

Т а б л и ц а в а р и а н т о в
Вариант/ Номер задачи 1.1 2.1 3.1 4

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги