КИНЕМАТИКА Основные формулы

• Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-векторомг:

где i, j, k — единичные векторы направлений (орты); х, у, z — координаты точки.

Кинематические уравнения движения в координатной форме:

где t — время.

• Средняя скорость

 

где— перемещение материальной точки за интервал времени.

Средняя путевая * скорость

 

где — путь, пройденный точкой за интервал времени.

Мгновенная скорость

где — проекции скорости v на оси координат.

Модуль скорости

 

• Ускорение

 

где проекции ускорения a на оси

координат.

· См. об этом термине, например, в кн.: Детлаф А. А. и др. Курс физики. М., 1973. Т. I. С. 17.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих (рис.1.1):

Модули этих ускорений:

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

где — начальная координата; t — время. При равномерном движении

v=const и a=0.

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения()вдоль оси x

где v₀ —начальная скорость; t— время.

Скорость точки при равнопеременном движении

v=v₀+at.

• Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Кинематическое уравнение вращательного движения

• Средняя угловая скорость

где — изменение угла поворота за интервал времени . Мгновенная угловая скорость *

• Угловое ускорение *

• Кинематическое уравнение равномерного вращения

где —начальное угловое перемещение; t—время. При равномерном вращении =const и =0.

* Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения.

Частота вращения

n=N/t, или n=1/T,

где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т — период вращения (время одного полного оборота).

• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (= const.)

где —начальная угловая скорость; t—время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

.

• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,

s=R (— угол поворота тела);

скорость точки линейная

ускорение точки:

тангенциальное

нормальное

 

Примеры решения задач

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с². Для момента времени t₁=2 с определить:

1) координату x₁ точки, 2) мгновенную скорость v₁, 3) мгновенное ускорение a₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t₁:

x=A+Bt+Ct³.

Подставим в это выражение значения A, В, С, t₁ и произведем вычисления:

X₁=(4+4- 0,5 2³) м=4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:.

Тогда в заданный момент времени t₁ мгновенная скорость

v₁=B+3Ct₁² Подставим сюда значения В, С, t₁ и произведем вычисления:

v₁=-4 м/с.

 

 

Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t₁ равно a₁=6Ct₁. Подставим значения С, t₁ и произведем вычисления:

a₁=(—6 0,5 2) м/с=—6 м/с.

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид, x=A+Bt+Ct², где A=5 м, B=4 м/с, С=-1 м/с². Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость <v_x> за интервал времени от t₁=1 с до t₂=6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость <v> за тот же интервал времени.

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты — начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t=0. Ее значение равно

x₀=x|_t=0=A=5 м.

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты повремени:

, откуда t=—B/2C=2 с Максимальная координата

x_max=x/_t=2 = 9 М.

Момент времени t, когда координата х=0, найдем из выражения x=A+Bt+Ct²=0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:

t=(2±3) с.

Таким образом, получаем два значения времени: t'-=5 с и =-1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t>0).

 

 

График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка со­держит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ра­нее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t₁=l с и t₂=6 с:

x₁ = А + Bt₁ + Ct₁² = 8 м, x₂ = А + Bt₂ + Ct₂² = -7 м.

Полученные данные представим в виде таблицы:

Время, с Координата, м

t1=0 x0=A=5

t1=1 x0=8

tB=2 xmax=9

=5 x=0

t2=6 x2=-7

Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2).

График пути построим, исходя из следующих соображений:

1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (t_B) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента времени t_B =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента яв­ляется зеркальным отображением графика координаты.

2. Средняя скорость <v_x> за интервал времени t₂—t₁ определяется выражением

<v_x>=(x₂-x₁)/(t₂—t₁).

Подставим значения x₁, x₂, t₁, t₂. из таблицы и произведем вычисления

<v_x>=(—7—8)/(6—1) м/с=—3 м/с.

3. Среднюю путевую скорость <v> находим из выражения

<v>=s/(t₂-t₁),

где s — путь, пройденный точкой за интервал времени t₂.—t₁. Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: S₁=x_max—x₁, который точка прошла за интервал времени t_B—t₁, и S₂=x_max+|x₂|, который она прошла за интервал

 

Рис. 1.2

T₂—t_B. Таким образом, путь

S = S₁ + S₂ = (x_max—x₂) + (x_max + |x₂|) == 2x_max + |x₂|—x₁.

Подставим в это выражение значения x_max , |x₂|, x₁ и произведем вычисления :

<s>=(2 9+7—8) м=17 м.

Тогда искомая средняя путевая скорость

<v>=17/(6—1) м=3,4 м.

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.

Пример 3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение * движения автомобиля (t)=A+Bt+Ct², где A=10 м, B=10 м/с, С=—0,5 м/с². Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное , нормальное а_n. и полное а ускорения в момент времени t=5 с; 2) длину пути s и модуль перемещения || автомобиля за интервал времени =10 с, отсчитанный с момента начала движения.

Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени:

. Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:

v=5 м/с.

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: Подставив значение С, получим = —1 м/с².

Нормальное ускорение определяется по формуле a_n=v²/R. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:

a_n==0,5 м/с².

Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометрической суммой ускорений аи а_n: а=а+а_n. Модуль ускорения . Подставив в это выражение найденные значения аи а_n получим

а=1,12 м/с².

2. Чтобы определить путь s, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволинейной координаты т. е.

s=, или .

Подставим в полученное выражение значения В, С, и произведем вычисления:

s=50 м.

* В заданном уравнении движения означает криволинейную координату, отсчитанную от некоторой начальной точки на окружности.

 

Модуль перемещения, как это видно из рис. 1.3, равен |r|=2Rsin(/2),

где — угол между радиусами-векторами, определяющими начальное (0) и конечное положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути s к радиусу кривизны R траектории, т. е. = =s/R. Таким образом,

Подставим сюда значения R, s и произведем вычисления:

|[= 47,9м.

Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой n₀=10 с¹, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой п=6 с¹. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N==50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением , откуда Но так как то

Подставив значения , п, п₀, N и вычислив, получим

=3,14(6²-10²)/50 рад/с²=—4,02 рад/с².

Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью <v> вращения и временем t: =<>t. По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать, тогда ,

Откуда

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим