Производная от функции в данной точке

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о нахождении скорости движения материальной точки.

Пусть материальная точка при переменном движении в момент времени t1, находится в положении М1, а в момент времени t­2 - в положе­нии М2. Наша задача определить скорость υ1 в точке М1. М1 М2 = ∆S - путь, пройденный точкой за время ∆t = t2 –t1 тогда средняя скорость на этом участке пути:

 

Она будет тем ближе к υ, чем меньшее расстоя­ние мы будем рас­сматривать, то если, М2 → М1, a ∆t → 0, значит υср → υ1 т.е. υ 1 = lim t→0∆S/∆t

2. Задача о нахождении угла на­клона касатель­ной, проведенной к графику функции f(x) в данной точке.

 

Пусть на графике функции у = f(x) даны две точки М111 ) и М222). Требуется опреде­лить tgα1, где α1 - угол наклона касательной, проведенной в точке М1. Проведем секущую М1М2, ее угол наклона оп­ределяется из соотно­шения: