Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной.
1. Задача о нахождении скорости движения материальной точки.
Пусть материальная точка при переменном движении в момент времени t1, находится в положении М1, а в момент времени t2 - в положении М2. Наша задача определить скорость υ1 в точке М1. М1 М2 = ∆S - путь, пройденный точкой за время ∆t = t2 –t1 тогда средняя скорость на этом участке пути:
Она будет тем ближе к υ, чем меньшее расстояние мы будем рассматривать, то если, М2 → М1, a ∆t → 0, значит υср → υ1 т.е. υ 1 = lim ∆t→0∆S/∆t
2. Задача о нахождении угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в данной точке.
Пусть на графике функции у = f(x) даны две точки М1(х1 ;у1 ) и М2(х2;у2). Требуется определить tgα1, где α1 - угол наклона касательной, проведенной в точке М1. Проведем секущую М1М2, ее угол наклона определяется из соотношения: