рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Указания к выполнению контрольной задачи К1

Указания к выполнению контрольной задачи К1 - раздел Механика, Теоретическая механика. Часть 1   Задача К1- На Определение Кинематических Характеристик Точки ...

 

Задача К1- на определение кинематических характеристик точки по заданным в координатной форме уравнениям движения. Варианты задач различаются траекториями, которыми являются окружности, параболы, эллипсы, прямые. Все эти случаи рассмотрены в предложенных примерах 2.1-2.5. Задачи на определение кинематических характеристик точки при координатном способе задания ее движения необходимо решать в следующей последовательности:

1) выбрать систему координат;

2) исключив время из уравнений движения точки, определить уравнение траектории точки и изобразить ее график;

3) определить на графике положение точки в заданный момент времени;

4) по заданным уравнениям движения точки определить проекции скорости точки и модуль скорости по формулам (2.3) и (2.4) соответственно;

5) построить на рисунке вектор скорости точки в заданный момент времени;

6) по формулам (2.5) и (2.6) определить ускорение точки;

7) построить на рисунке вектор ускорения точки в заданный момент времени;

8) взять производную по времени от модуля скорости и составить выражение для квадрата касательного ускорения;

9) используя формулу (2.10), вычислить нормальное ускорение;

10) используя формулу нормального ускорения (2.9), вычислить радиус кривизны траектории в заданный момент времени;

11) разложить ускорение точки на касательную и нормальную составляющие на рисунке;

12) определить по касательному ускорению характер движения точки в заданный момент времени.

Пример 2.1.Движение точки М в плоскости xy задано уравнениями

(2.11)

(x, y – в см, t – в с).

Определить траекторию точки и для момента времени t1 = 1 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.11) время t. C этой целью приведем уравнения (2.11) к виду:

Возведем оба уравнения во вторую степень и сложим:

Так как , имеем уравнение вида

(2.12)

Траекторией точки является окружность радиуса с центром О1(0,1) (рис. 2.4).

Определим начальное положение точки М0: при t = 0

.

В момент времени t1 = 1 с точка М имеет координаты:

.

 

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

(2.13)

По формуле (2.4) вычислим модуль скорости:

. (2.14)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t1 = 1 с:

Вектор скорости строим (рис. 2.4) по составляющим:

.

 
 

 

 


Рис. 2.4

 

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекции ее скорости (2.13):

При t =1 c имеем


По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

 

Вектор ускорения направлен вниз. Найдем производную от функции скорости (2.14) по времени:

.

При t1 = 1 с .

Вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):

см/с2.

Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)

см.

Следовательно, точка движется равномерно и . Вектор ускорения направлен к центру окружности. Совпадение расчетного радиуса кривизны окружности с радиусом окружности служит контролем правильности решения.

Пример 2.2.Движение точки М в плоскости xy задано уравнениями

(2.15)

(x, y – в см, t – в с).

Определить траекторию точки и для момента времени t1 = 1/2 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.15) время t. C этой целью преобразуем уравнения (2.15), приведя тригонометрические функции к одному аргументу, используя при этом тригонометрическую формулу . В результате получим уравнение вида

(2.16)

Или

.

Подставляя (2.16) в первое уравнение (2.15), получим или .

Траекторией точки является парабола (рис. 2.5)

 

 

 
 

 


Рис. 2.5

 

Определим начальное положение точки М0: при t = 0

x0 = 5cos20 – 2 = 3; y0 = 4sin20 = 0.

 
В момент времени t1 = 1/2 с точка М имеет координаты:

x1 = 5 = 0,5; y1 = 4= 0,59.

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

, (2.17)

По формуле (2.4) вычислим модуль скорости:

. (2.18)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t1 = 1/2 с:

; ;

Вектор скорости строим (рис. 2.5) по составляющим:

.

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекции ее скорости (2.17):

, .

По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

.

При t1 =1/2 с

, ,

 

следовательно, a1 = 3,48 см/с2 и вектор ускорения направлен вертикально вверх.

Найдем производную от функции скорости (2.18) по времени:

.

При t1 = 1/2 с .

Учитывая, что , вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):

Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)

см.

Разложим вектор ускорения на нормальную и касательную составляющие на рис. 2.5: = + .

Поскольку векторы скорости и касательного ускорения направлены в одну сторону, точка в данный момент времени движется ускоренно.

Пример 2.3.Движение точки М в плоскости xy задано уравнениями

(2.19)

(x, y – в см, t– в с).

Определить траекторию точки, и для момента времени t1 = 1 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.19) время t. C этой целью преобразуем уравнения (2.19), используя при этом тригонометрическую формулу :


Уравнение траектории будет иметь вид

. (2.20)

Для получения уравнения (2.20) использовали тригонометрическую формулу .

Траекторией точки является эллипс (рис. 2.6).

Определим начальное положение точки М0: при t = 0

В момент времени t1 = 1 с точка М имеет координаты:

 

Рис. 2.6

 

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

(2.21)

По формуле (2.4) вычислим модуль скорости:

(2.22)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t1 = 1 с:

Вектор скорости строим (рис. 2.6) по составляющим:

.

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекции ее скорости (2.13):

По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

.

При t1 = 1 с имеем

Найдем производную от функции скорости (2.14) по времени:

.

При t1 = 1 с

Учитывая, что , вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):

Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)

.

Разложим вектор ускорения на нормальную и касательную составляющие на рис. 2.6: = + .

Поскольку векторы скорости и касательного ускорения направлены в одну сторону, точка в данный момент времени движется ускоренно.

Пример 2.4.Движение точки М в плоскости xy задано уравнениями

(2.23)

(x, y – в см, t – в с).

Определить траекторию точки и для момента времени t1 = 1 с, найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.23) время t. C этой целью преобразуем уравнения (2.23) к виду

(2.24)

Сложим уравнения (2.24), применив тригонометрическое тождество , получим

Или .

Траекторией точки является прямая (рис. 2.7)

Определим начальное положение точки М0: при t = 0

 

В момент времени t1 = 1 с точка М имеет координаты:

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

y
(2.25)

 
 

 


Рис. 2.7

По формуле (2.4) вычислим модуль скорости:

. (2.26)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t1 = 1 с:

Вектор скорости строим (рис. 2.7) по составляющим:

.

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекции ее скорости (2.25):

По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

При t1=1 с имеем

При прямолинейном движении точки радиус кривизны траектории r = µ и следовательно,

.

Поскольку векторы скорости и ускорения направлены в разные стороны, точка в данный момент времени движется замедленно.

Пример 2.5.Движение точки М в плоскости xy задано уравнениями

(2.27)

(x, y – в см, t – в с).

Определить траекторию точки и для момента времени t1 = 2 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.27) время t. C этой целью преобразуем уравнения (2.27), применив тригонометрическое тождество к виду

(2.28)

Или

.

 

траекторией точки является парабола (рис. 2.8).

 

Рис. 2.8

 

Определим начальное положение точки М0: при t = 0

 

В момент времени t1 = 2 с точка М имеет координаты:

 

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

(2.29)

По формуле (2.4) вычислим модуль скорости:

. (2.30)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t1 = 2 с:

Вектор скорости строим (рис. 2.8) по составляющим:

.

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекции ее скорости (2.29):

По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

.

При t1 = 2 с имеем

Найдем производную от функции скорости (2.30) по времени:

.

При t1 = 2 с

 

Учитывая, что , вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):

.

Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)

.

Разложим вектор ускорения на нормальную и касательную составляющие на рис. 2.8: = + .

Поскольку векторы скорости и касательного ускорения направлены в разные стороны, точка в данный момент времени движется замедленно.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика. Часть 1

Российской федерации.. федеральное агентство по образованию.. государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Указания к выполнению контрольной задачи К1

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Для студентов заочной формы обучения всех специальностей
    Казань 2009     УДК 531.3 ББК 22.21 Х16     Рецензенты:

Основные задачи и аксиомы статики
Статика изучает две основные задачи: 1) Приведение заданной произвольной системы сил к простейшему виду. 2) Вывод условий равновесия твердых тел, находящихся п

При взаимодействии двух тел силы действия и противодействия, возникающие при этом, являются противоравными
Аксиомы А1-А5 справедливы только для свободных тел, т.е. таких тел, на перемещения которых не наложено никаких ограничений. Несвободным телом н

Моменты сил. Главный вектор и главный момент системы сил
Для решения основной задачи статики – определение условий равновесия твердых тел, находящихся под действием системы сил, необходимо ввести понятия моментов силы. Момент силы

Основная теорема статики. Уравнения равновесия
Основная теорема статики: Для уравновешенности системы сил необходимо и достаточно чтобы ее главный вектор и главный момент относительно произвольной точки О равня

Частные случаи
1)    

Система сходящихся сил
В этом случае линии действия всех сил, приложенных к твердому телу, пересекаются в одной точке. Выбирая начало координат в этой точке, получим три условия равновесия для сходящейся системы сил:

Система параллельных сил
Направив одну из осей, например z, параллельно силам, получим три скалярных условия равновесия: ,

Указания к выполнению контрольной задачи С1
Задача С1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. В вариантах ([1], табл. 1.1, рис. 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9) жесткая рама опирается у конца A на неподвижный шарнир (см. пример 1.

Указания к выполнению контрольной задачи К2
Задача К2 – на определение угловых скоростей звеньев и скоростей отдельных точек плоского многозвенного механизма, состоящего из 4 стержней и ползуна В, соединенных друг с другом и неподвижн

Инерциальные системы отсчета. Аксиомы динамики
  Материальной точкой в механике называют простейшую модель физического тела любой формы, размерами которого и вращением можно пренебречь в рассматриваемой задаче и которое можно прин

Изолированная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на нее не подействуют силы
Под изолированной материальной точкой понимается материальная точка, свободная от силового воздействия. Система отсчета, в которой справедлива аксиома А1, называется инерциальной системой отсчета.

Основные задачи динамики материальной точки
  В проекциях на оси декартовой системы координат векторное равенство (4.1) в общем случае криволинейного движения точки в пространстве запишется в виде

Указания к выполнению контрольной задачи Д1
  Задача Д1 относится ко второй основной задаче динамики материальной точки. В вариантах задач ([1],Табл. 4.2, усл. 0, 2, 4, 6, 8) сила сопротивления среды, действующая на груз, завис

Краткие теоретические сведения
Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. XXV, § 121–127, c. 301–323; [4], гл. X, § 10.1–10.5, c. 204–222.   Механическая система. Центр масс   Под ме

Моменты инерции
Инерционные свойства механической системы определяются шестью моментами инерции: ;

Библиографический список
  1. Теоретическая механика. Ч. 1. Программа, методические указания и контрольные задания. Для студентов-заочников всех специальностей. Л.Ш. Хакимуллина, Ю.Я. Петрушенко. - Казань: КГ

Маркин Юрий Сергеевич
    ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ЧАСТЬ 1   Учебно-методическое пособие к выполнению контрольных заданий (с примерами решений) для студентов за

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги