Указания к выполнению контрольной задачи С1
Задача С1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. В вариантах ([1], табл. 1.1, рис. 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9) жесткая рама опирается у конца A на неподвижный шарнир (см. пример 1.1), а у конца В либо на подвижный шарнир, либо на стержень. В вариантах ([1], табл 1.1, рис. 2, 4, 7) жесткая рама у конца D заделана в стену (см. пример 1.2). Задачи на равновесие твердых тел следует решать в следующей последовательности:
1. Выделить тело, равновесие которого необходимо рассмотреть в данной задаче. Изобразить его на чертеже.
2. Приложить к телу активные силы. Если есть распределенная нагрузка, заменить ее равнодействующей, определив ее модуль, направление и точку приложения.
3. Выяснить, какие связи наложены на выделенное тело. По принципу освобождаемости от связей А6 отбросить связи и на их место приложить к телу соответствующие реакции связей.
4. Выбрать оси координат и для полученной системы сил (активных сил и реакций связей) составить уравнения равновесия.
5. Из полученной системы алгебраических уравнений определить неизвестные реакции связей.
Пример 1.1. Жесткая рама АВСD (рис. 1.18), расположенная в вертикальной плоскости, опирается у конца А на неподвижный шарнир (рис. 1.8), а у конца D на стержень (рис. 1.10). Определить опорные реакции 
и 
, возникающие при действии силы Р = 8 кН, пары сил с моментом М = 30 кН·м, равномерно распределенной нагрузки с интен-сивностью q = 2 кН/м вдоль отрезка 
. Даны размеры рамы и углы: 
2 м, 
2 м, 
3 м, γ = 45°, β= 30°.
Рис. 1.18
Решение. Выделяем раму АВСD (рис. 1.19). Заменим распреде-ленную нагрузку равнодействующей Q, численно равной произведению интенсивности q на длину действия нагрузки:
1,5 м, 
3 кН.
Сила Q будет приложена посередине длины 
и сонаправлена вектору 
(рис. 1.19). Приложим к раме силу 
и пару сил с моментом М. Применяя аксиому освобож-даемости от связей А6, действие стержневой опоры у конца D заменим реакцией 
, направленной вдоль стержня (рис. 1.10, 1.19). Действие цилиндрической шарнирно-неподвижной опоры у конца А рамы заменим реакцией 
. Выберем систему координат Сху и разложим по аксиоме параллелограмма сил А3 реакцию , направление которой заранее неизвестно, на составляющие 
и 
параллельно осям х и у (рис. 1.19). Составим уравнения равновесия для полученной произвольной плоской системы сил в первой форме (1.8):
(1.12)
где 
, 
, 
.
В первых двух уравнениях системы (1.12) проекции сил 
, например, на ось х равны
,
где угол α откладывается от оси х против хода часовой стрелки (рис. 1.20), причем, если угол α острый, то проекция силы берется с положительным знаком, если тупой – с отрицательным знаком.
 |
Рис. 1.20
В уравнении моментов (третье уравнение системы (1.12)) за точку, относительно которой по формуле (1.7) составляли моменты сил, приняли точку А. При вычислении моментов сил и воспользовались теоремой Вариньона, предварительно разложив силы по аксиоме А3 на составляющие (рис. 1.19):
, 
.
Так как точка А находится на пересечении линий действия сил и , их моменты равны нулю. Поэтому за счет выбора точки А в третьем уравнении имеем только одну неизвестную реакцию :
Откуда
– 4,66 кН.
Подставляя значение реакции в первые два уравнения системы (1.12), определим составляющие реакции
и 
:
–0,7 кН, 
13,22 кН.
Знак минус в ответе означает, что реакция и составляющая имеют направление, противоположное указанному на чертеже (рис. 1.19).
Пример 1.2. Рама АВСD у конца D заделана в стену (рис. 1.21). Определить реакции заделки при заданных в примере 1.1 размерах рамы и величинах нагрузки.
Решение. На выделенную раму АВСD (рис. 1.22) дейст-вуют сила Р = 8 кН, пара сил с моментом М = 30 кН·м. Равно-действующая распределенной нагрузки равна
3 кН.
Применяя принцип освобо-ждаемости от связей А6, действие жесткой заделки у конца D заменим составляющими реакции заделки 
и 
и парой с реактивным моментом 
(рис. 1.11, 1.22). Выберем систему координат Сху и составим уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил в форме (1.8), составляя уравнения моментов относительно точки D:
(1.13)
Из полученных алгебраических уравнений (1.13) определяем неизвестные величины:
6,93 кН;
–1 кН;
32,75 кН·м.
Рис. 1.22