Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины

Потенциальное поле ямы имеет вид при , при и при (рис.1.8, а). Частица, которая находится в такой яме с энергией , будет все время с ней связана.

Решение стационарного уравнения Шредингера имеет вид

(1.143)

где (1.144)


а	б
Рис.2.8. Потенциальная яма конечной глубины (а) и графоаналитическое решение дисперсионного уравнения (б)

Воспользовавшись условиями

, (1.145)

получим уравнение

. (1.146)

Преобразуем (1.146) в уравнение более удобное для анализа:

Обозначим и с учетом , получим

. (1.147)

В качестве решения берем не все точки пересечения синусоиды с прямыми, а только те, знак которых согласуется со знаком первичного уравнения (1.146). Этим значением отвечает конечное число собственных значений энергии

. (1.148)

Если яма мелкая или достаточно узкая, то может случиться, что решение уравнения (1.146) отсутствует, то есть частица не может удержаться внутри ямы.

В классической механике частица с энергией не может выйти за пределы ямы. В квантовой механике существует вероятность найти частицу за пределами ямы, если даже . Как пример, на рис.1.9 показаны волновая функция и распределение плотности вероятности для основного и возбужденного состояний электрона в потенциальной яме конечной глубины.


а	б
Рис.1.9. Волновая функция и распределение плотности вероятности для основного (а) (~7еВ) и возбужденного (б) (~27еВ) состояний электрона в потенциальной яме (а=0,2 нм, U₀=40 эВ).