Свободное движение микрочастицы

 

Рассмотрим некоторые самые простые случаи движения микрочастицы в потенциальных полях. Начнем со свободного движения.

Оператор Гамильтона в этом случае имеет вид

 

.

 

Представляя волновую функцию в виде

 

(1.61))

 

и используя метод разделения переменных, получим функцию , которая зависит от времени

, (1.62)

 

и амплитудное уравнение Шредингера (или уравнение для стационарных состояний)

. (1.63)

 

Систему координат выбираем таким образом, чтобы направление движения частицы совпадало с осью . Тогда решение уравнения (1.63) будет иметь вид

 

, (1.64)

 

где (по физическому содержанием это волновой вектор).

Значения энергии, как видно из (1.64) оказываются двукратно вырожденными. Это вырождение снимается, если потребовать, чтобы кроме энергии в этом состоянии имела определенные значения еще какая-либо физическая величина, например, импульс. Тогда частице, которая движется в положительном направлении оси , соответствуют импульс и энергия . Им отвечает собственная волновая функция

 

. (1.65)

 

Ввиду непрерывности энергетического спектра нормировать (1.65) следует не на единицу, а на - функцию

 

. (1.66)

 

Используя интегральное представление - функции

 

,

 

получим для коэффициента .

Следовательно, волновая функция свободной микрочастицы (волна де Бройля) имеет вид

 

. (1.67)