Рассмотрим некоторые самые простые случаи движения микрочастицы в потенциальных полях. Начнем со свободного движения.
Оператор Гамильтона в этом случае имеет вид
.
Представляя волновую функцию в виде
(1.61))
и используя метод разделения переменных, получим функцию , которая зависит от времени
, (1.62)
и амплитудное уравнение Шредингера (или уравнение для стационарных состояний)
. (1.63)
Систему координат выбираем таким образом, чтобы направление движения частицы совпадало с осью . Тогда решение уравнения (1.63) будет иметь вид
, (1.64)
где (по физическому содержанием это волновой вектор).
Значения энергии, как видно из (1.64) оказываются двукратно вырожденными. Это вырождение снимается, если потребовать, чтобы кроме энергии в этом состоянии имела определенные значения еще какая-либо физическая величина, например, импульс. Тогда частице, которая движется в положительном направлении оси , соответствуют импульс и энергия . Им отвечает собственная волновая функция
. (1.65)
Ввиду непрерывности энергетического спектра нормировать (1.65) следует не на единицу, а на - функцию
. (1.66)
Используя интегральное представление - функции
,
получим для коэффициента .
Следовательно, волновая функция свободной микрочастицы (волна де Бройля) имеет вид
. (1.67)