Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях

Ø анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин U_c(0) и i_L(0);

Ø составляем схему цепи в операторных параметрах. Нулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками;

Ø выбираем метод и записываем систему уравнений (или одно уравнение) в операторной форме;

Ø находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов ;

Ø исследуем характеристический многочлен Q(p). Находим значения его нулей на комплексной плоскости. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица;

Ø определяем структуру решения (1.36) на основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения нулей V(p);

Ø определяем коэффициенты (1.37) и записываем решение в окончательном виде. Строим график полученной функции;

Ø анализируем полученный результат.

 

Пример 1.4. ПЕРЕДАЧА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ

 

К входу усилительного каскада (рис.1.9) приложен прямоуголь­ный импульс напряжения u_вх(t) длительностью θ и величиной U₀. Най­ти выходное напряжение с учетом влияния разделительной и шунтирую­щей емкостей, причем С_p>>С_ш. Влияние обратной проводимости тран­зистора не учитывать.

 

Рис.1.9. Усилительный каскад на транзисторе, с учетом С_p и С_ш

 

I) Составляем эквивалентную схему цепи с учетом указанных элементов (рис.1.10).

 

 

Рис.1.10. Эквивалентная схема усилительного каскада на транзисторе,

с учетом С_p и С_ш

 

Обозначим: G_i+G_k=G₁; C_p=C₁; C_ш=C_z²; G_H=G_z².

2) Методом узловых напряжений составляем систему уравнений в операторной форме:

3) Находим операторную передаточную функцию и представляем ее в виде отношения многочленов:

4) С учетом свойства (1.8) находим изображение входного сигнала:

5) Определяем изображение выходного сигнала:

Наличие экспоненциального слагаемого при обратном преобразовании Лапласа приведет к слагаемым с запаздывающим аргументом.

6) Исследуем корни многочлена знаменателя:

Так как то V(p) имеет два отрицательных действительных корня:

7) На основании общего решения задачи записываем структуру решения с учетом свойства (1.9):

8) Определяем коэффициенты решения:

.

9) Записываем решение в окончательном виде

Строим график функции U_вых(t) в сравнении

с U_вх(t), учитывая, что b< 0 (рис.1.11).

10) Анализируем получен­ный результат.

Сомножитель есть не что иное,

как коэф­фициент передачи усилителя на

средних частотах. Завал переднего и Рис.1.11. Вид входного и выходного

заднего фрон­тов импульса связан с сигналов после прохождения

ве­личиной α₀ (α₁<<α₂) и обусловлен зарядом через усилительный каскад

и разрядом шунтирующей емкости С_ш. Завал вершины импульса и его “хвост”

связаны с величиной α₂ и обусловлены перезарядом C_p.

Пример 1.5. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОСИГНАЛА ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬНЫЙ КАСКАД

К входу резонансного усилительного каскада (рис.1.12) приложенрадиосигнал с амплитудой U_o и частотой ω_с, равной резонансной частоте колебательной системы ω₀. Найти выходной сигнал U_вых(t), полагая добротность контура достаточно высокой (Q>>I).

1) Составляем эквивалентную схему цепи (рис.1.13).

 

 

Рис.1.12. Резонансный усилитель

 

 

U_вых

 

Рис.1.13. Эквивалентная схема усилителя.

 

2) Методом узловых напряжений записываем уравнение в операторной форме

3) Находим операторную передаточную функцию:

где

4) Находим изображение входного сигнала:

5) Определяем изображение выходного сигнала:

6) Исследуем корни полиномов знаменателя

p_1,2=-δ±iω₁, где

7) На основании общего решения задачи записываем структуру решения

U_вых(t)=U₁e^-δtcos(ω₁t+Ψ₁)+ U₂cos(ω₀t+Ψ₂), t≥0

8) Определяем коэффициенты решения с учетом условий ω_C=ω₀; δ<<ω₀, т.е. ω₁≈ω₀

9) Записываем решение в окончательном виде:

и строим график U_вых(t) в сравнении с U_вх (t) (см.рис.1.14).

 

 

Рис.1.14. Законы изменения входного и выходного напряжений.

 

10) Анализируем полученный результат.

Сомножитель - есть не что иное, как коэффициент усиления на резонансной частоте. Выходные колебания устанавливаются не сразу. Причем чем больше Q, тем меньше δ и тем медленнее происходит процесс установления амплитуды выходных колебаний и т.п.

§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами

 

В технике радиосвязи, радиолокации, в устройствах техники СВЧ, микроэлектроники и других широкое применение получили элементы, у которых размеры сравнимы или больше длины волны l>λ. К таким элементам относятся линии передачи энергии – двухпроводные, коаксиальные и микрополосковые линии, волноводы и др.

Электрические цепи, для которых волновой характер процесса представляет основу используемых свойств цепи, а замена распреде­ленных элементов сосредоточенными приводит к утрате этих основ­ных свойств, называют цепями с распределенными элементами. Токи и напряжения в таких цепях являются функциями координат сечения, в котором производится наблюдение за состоянием цепи и временем t.

При составлении систем уравнений с распределенными элемен­тами возникают следующие проблемы:

- не выполняются законы Кирхгофа

- очень сложно произвести выбор реальной модели цепи с распре­деленными элементами

- напряжения и токи зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

Так как линии передачи сигналов являются состав­ной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое примене­ние для анализа таких линий получили методы теории электрических цепей. Возможность при­менения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи, состоящей из большого числа соединенных между собой бесконечно малых по величине пассив­ных элементов, или, иными словами, о линии как о цепи с распре­деленными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим исполь­зуются понятия о так называемых погонных (распределенных) пара­метрах линии: резистивном сопротивлении R₀, индуктивности L₀, емкости С₀ и проводимости G_o единицы длины линии. Их значения находят в общем случае методами теории электромаг­нитного поля. Если распределенный характер параметров происходит только вдоль одной координаты, то такая линия называется длинной линией.

Дифференциальные уравнения, связывающие мгновенные значения токов и напряжений имеют следующий вид:

(1.38)

и часто называются телеграфными уравнениями, что обусловлено исторически − впервые применили линии связи для передачи телеграфных сигналов. Решение дифференциальных урав­нений в частных производных при заданных начальных и граничных условиях позволяет в каждом конкретном случае решить поставлен­ную задачу отыскания мгновенных значений токов и напряжений в линии.

 

§1.5.1. Классификация длинных линий

Если погонные параметры линии R, L, С и G посто­янные во времени и пространстве величины, то такую линию назы­вают однородной в пространстве и инвариантной во времени линейной линией.

Если погонные параметры R, L, С и G зависят от времени или координат пространства, линия называется параметрической.

Если параметры R, L, С и G представляют собой функ­ции напряжения U и тока I (т.е. зависят от самой функции), то такая линия называется нели­нейной.

§1.5.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их ана­литическое решение для произвольных сопротивлений генератора, нагрузки и сигнала произвольной формы отсутствует. Применение операторного метода, как было показано ранее, позволяет суще­ственно упростить отыскание мгновенных значений напряжения u(x,t) и тока i(x,t).

Ограничимся рассмотрением линейной, однородной, инвариант­ной во времени длинной линией. В этом случае уравнение будет иметь вид:

(1.39)

Напряжение u(x,t) и токи i(x,t) в длинной линии, а также источники, как и ранее, удовлетворяют условию принадлежности к классу оригиналов.

В этом случае

(1.40)

Применяя преобразование Лапласа к системе уравнений получим систему операторных уравнений в полных производных:

(1.41)

где Z=pL+R; Y=рC+G. Если исключить одну переменную, тогда получим одно дифференциальное уравнение второго порядка:

(1.42)

где – операторная постоянная распространения волны; – функция начальных условий. Решение уравнения для U(x,p) состоит из общего решения однородного дифференциального уравнения и какого-либо частного решения U⁰:

U(p, x)= А₁(р) e^-γx+ A₂(р) e^γx +U⁰. (1.43)

Тогда из первого уравнения системы находим:

(1.44)

где - операторное волновое сопротивление; коэффициенты А₁(р) и A₂(р) определя­ются из граничных условий.

Решение операторной системы уравнений для изображения на­пряжения U(р,x) и тока I(р,x) найдено. Осуществив обратное преобразование Лапласа, восстанавливаем оригиналы на­пряжения U(x,t) и тока i(х,t). Однако решение в об­щем случае отыскать не удается. Рассмотрим некоторые частные случаи, для которых возможно нахождение решения.

Линия без потерь

В этом случае погонные параметры R=G=0 и . Тогда

(1.45)

Осуществляя обратное преобразование Лапласа, получим:

(1.46)

где

Следовательно, решение представляется в виде суммы прямой и обратной волны . Причем в данном случае амплитуда прямой и обратной волн не изменяется при их распространении вдоль линии.

 

Линия без искажений

Для данной линии характерно выполнение соотношения . Следовательно,

(1.47)

Изображение напряжения в линии есть

(1.48)

Осуществляя обратное преобразование Лапласа получим:

(1.49)

Следовательно, для линии без искажений мгновенные значения напряжения и тока представляют собой наложение прямой и обратной волн, затухающих в процессе распространения. Для линейных цепей с распределенными параметрами справедлив принцип наложения, следовательно, задачи анализа свободных и вынуж­денных колебаний могут рассматриваться порознь, аналогично це­пям с сосредоточенными параметрами.