Линейные параметрические цепи

§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи

 

В линейных инвариантных цепях проходит только деформация спектра, т.е. спектральная составляющая входного сигнала изменят лишь свою амплитуду, а новые спектральные составляющие не возникают. В связи с этим основные, наиболее интересные цепи на базе линейных инвариантных во времени цепях (такие как модуляторы, стабилизаторы, детекторы и др.) получить не удается. Линейные параметрические цепи - это цепи, у которых наряду с деформацией спектра происходит и его обогащение. К параметрическим цепям относятся цепи, у которых один или несколько элементов зависит от параметра – времени в явном виде. Всё это приводит к тому, что передаточная функция, характеризующая цепь и связывающая входной и выходной сигналы, становится функцией времени.

U_вых(t)=K(t) U_вх(t). (2.1)

Если считать, что K(t) является периодичной функцией, как и U_вх(t), тогда они раскладываются в ряды Фурье (если это не выполняется, то разложение будет выполнено с помощью разложения в интеграл Фурье), получаем

S_вх(t)=e^јnΩt , k(t)=e^јmθt , (2.2) следовательно, S_вых(t)=K(t)S_вх(t)=_me^j(nΩ+mθ)t, (2.3)

где ω_nm=nΩ+mθ, т.е. в спектре выходного сигнала возникают гармонические составляющие, которые не входили ни в S_вх(t), ни в K(t) - комбинационные частоты. Это свойство линейных параметрических цепей принципиально отличает их от линейных инвариантных систем. Данный факт отображен на рис.2.1.

Выводы. В произвольной линейной параметрической системе при взаимодействии входного колебания с колебанием параметра системы, наряду с деформацией спектра, происходит обогащение спектра гармониками комбинационных частот.

В радиотехнике часто используют параметрические преобразования для получения на основе параметрического элемента модуляции, преобразования частоты, синхронного детектирования, умножения и деления частоты, параметрического усиления, а также генерирования колебаний. В качестве параметрического элемента можно взять полупроводниковый диод, который

 

 

ω

 

 

ω

 

ω

Рис.2.1. Спектры колебаний входного и выходного напряжений

и колебания параметра

 

имеет нелинейную характеристику, но если входной сигнал имеет малую амплитуду колебаний (по сравнению с колебанием параметра), то вольтамперную характеристику диода можно линеаризовать. Ток полупроводникового диода можно представать разложением в ряд Тейлора

i_c=i(U_y+U_c)=i(U_y)+i^׳ (U_y)U_c+(i׳׳(U_y)/2)U_c²+…

Тогда если U_c мало по сравнению с U_y, можно пренебречь слагаемыми более высокого порядка по U_c и получить для приращения тока через диод следующее выражение:

i_{c ~}= i[U_y(t)]U_c = S_диод[U_y(t)]U_c (2.4)

На рис.2.2 представлены простейшие схемы преобразователей частоты на диоде и триоде.

 

 

Рис.2.2. Параметрические колебательные системы на диоде и триоде

Колебательные системы могут быть параметрическими не только во времени, но и в пространстве. При взаимодействии входного сигнала с такими системами происходит обогащение спектра пространственных частот, что приводит к появлению совершенно новых свойств в таких системах.

§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае

 

Первичными понятиями, как и для линейных цепей, являются напряжение U и ток i. Элементы, источник напряжения и источник тока, законы Киргофа – являются универсальными. Отличие в элементах R, L и С.

 

U=Ri; i=GU; U(t)=R(t)i(t); i(t)=G(t)U(t)
P=Ui=Ri²=GU²>0 P(t)=R(t)i²(t)=G(t)U²(t)>0 (2.5)

 

; ; (2.6)

; ; (2.7)

P_L=L0; . (2.8)

Слагаемое в выражении (2.6) подобно падению напряжения на сопротивлении. Причем, если >0, то можно отбирать энергию с помощью L(t) из цепи, а если <0, то это описывает случай внесения энергии в цепь с помощью параметрического элемента. Аналогично и для мощности P_L, наличие

 

 

 

слагаемого свидетельствует о возможности вносить или отбирать энергию из цепи, в зависимости от знака .

; ; (2.9)

; ; (2.10)

P_С=C 0; . (2.11)

Слагаемое в выражении (2.9) подобно току, протекающему через проводимость. Причем если >0, то можно отбирать энергию с помощью переменной емкости С(t) из цепи, а если <0, то это описывает случай внесения энергии в цепь с помощью параметрического элемента. Аналогично и для мощности P_C, наличие слагаемого свидетельствует о возможности вносить или отбирать энергию из цепи, в зависимости от знака .

При уменьшении емкости в цепь вносится энергия, при увеличении емкости энергия забирается из цепи.

Таким образом, реактивные параметрические элементы L(t) и C(t) выступают в роли преобразователей энергии, т.е. параметрическое возбуждение и усиление колебаний происходит в результате периодического изменения энергоемких параметров колебательной системы, определяющих ее частоту.

В рассмотренных ранее генераторах и усилителях (схемах в которых пренебрегали нелинейными свойствами элементов, т.е. считали, что цепи составлены из линейных элементов) возбуждение и усиление колебаний осуществлялось за счет энергии источников постоянного напряжения. С энергетической точки зрения такие усилители и генераторы являются преобразователями энергии постоянного напряжения (тока) в энергию переменного напряжения (тока).

В параметрических генераторах и усилителях механизм передачи энергии (или накачки) оказывается иным: энергия вводится в систему путем изменения с некоторый частотой реактивного параметра, на что какой-то источник затрачивает энергию. Поскольку параметр меняется с одной частотой, а возбужденные или усиленные колебания в большинстве случаев имеют другую частоту, рассматриваемые параметрические устройства оказываются преобразователями частоты.

Давайте вспомним, что уравнения, описывающие колебания в радиотехнических цепях, составляются с помощью хорошо известных методов МКТ и МУН, причем для параметрических систем они имеют вид приведенный в таблице 2.

Уравнения, приведенные в Таблице 2, должны быть дополнены соответствующими начальными условиями (задача Коши).

 

Таблица 2

МКТ		,	Неоднородная система линейных интегродифференциаль-ных уравнений с переменными коэффициентами
	МУН		,	Неоднородная система линейных интегродифференциаль-ных уравнений с переменными коэффициентами

 

Уравнения длинных линий с переменными параметрами имеют вид:

(2.12)

и дополняются соответствующими начальным и граничным условиями.

Необходимо отметить, что колебания в параметрических устройствах описываются параметрическими уравнениями общего метода решения которых нет. Т.е. для линейных параметрических цепей нельзя в общем случае построить решение задачи анализа колебательного процесса.

Решение построено только для частных случаев:

1. Если цепь состоит только из сопротивлений R, тогда уравнение, описывающее колебания в такой системе, имеет вид: - система алгебраических уравнений.

2. Если в резистивной цепи имеется один энергоемкий элемент, тогда процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка (уравнение с полуцелой степенью свободы) (2.13). Для таких систем разработан метод называемый методом Туркина.

(2.13)

3. Если колебательный процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка (2.14)

(2.14)

то его можно свести к какому-нибудь известному уравнению с переменными коэффициентами (например, к уравнению Матье, Хилла, Бесселя и др.).

4. Если параметры элементов цепи изменяются значительно медленнее колебаний u(t) и i(t), тогда применимы приближенные методы.

Выводы. С помощью переменных индуктивностей и емкостей можно изменять энергию системы, поэтому характер свободных колебаний в параметрических системах может существенно отличаться от колебаний в системах с постоянными элементами.

Следует также отметить, что для линейных параметрических систем применим принцип наложения, следовательно, в задачах прохождения сигналов через устойчивые параметрические цепи решение может быть представлено в интегральном виде:

, (2.15)

либо

, (2.16)

либо

, (2.17)

где – параметрические функции цепей, отыскание которых также встречает принципиальные трудности. Именно поэтому ключевыми задачами в теории параметрических систем являются задачи по определению отклика на гармоническое или импульсное воздействия.

Одним из важнейших свойств, принципиально отличающих параметрические цепи от линейных, является следующее: в параметрических системах с переменными параметрами происходит обогащение спектра колебаний – возникают новые гармонические составляющие комбинационных частот. Например, в R – цепи с периодическим коэффициентом передачи , возбуждаемой периодическим сигналом , выходное колебание

(2.18)

содержит гармонические составляющие комбинационных частот .

 

§2.3. Прохождение сигналов через параметрические R – цепи

Как было показано выше (таблица 2 и (2.18)), процессы в параметрических R – цепях описываются алгебраическими уравнениями с переменными коэффициентами и прохождение сигналов через такие цепи выражается формулой , где k(t) – параметрический коэффициент передачи, определяемый видом системы уравнений. В общем случае, на основании правила Крамера, коэффициент передачи можно получить в виде где - определитель системы уравнений, - соответствующее алгебраическое дополнение, А(t) – коэффициент, определяющий изменение размерности сигнала на каком-либо этапе решения задачи.

Из формулы (2.18) следует, что в самом общем случае, анализ спектрального состава отклика параметрической цепи требует использования аппарата двойных рядов Фурье. Однако в некоторых случаях удается использовать общий ряд Фурье с последующим применением тригонометрических формул.

Напомним основные формы представления функций с периодом рядами Фурье:

, где (2.19)

; n=0;1;2…

; n=1;2;3… (2.20)

, (2.21)

где ; ; (2.22)

, (2.23)

где . (2.24)

Проиллюстрируем анализ процессов в R – цепях примерами.

 

Пример 2.I. Определить коэффициент передачи параметрической R – цепи, представленной на рис.2.3. Используя теорему об эквивалентном генераторе, заменим входное напряжение на источник напряжения с задающей величиной равной U_вх(t). Выберем два независимых контура 1 и 2 и выберем направление обхода контуров.

 

Рис.2.3. Параметрическая R – цепь

Запишем систему из двух алгебраических уравнений для двух переменных контурных токов i₁(t) и i₂(t)

откуда находим, что

.

Тогда

.

Выражение путем несложных преобразований можно привести к виду

Если - периодическая функция с периодом , (– круговая частота первой гармоники колебания параметра), то и его спектр определяется рядом Фурье, например, в такой форме

, где

Пример 2.2. Коэффициент передачи параметрической R – цепи периодически изменяется по закону, представленному графически на рис.2.4. Определить спектр К(t) в тригонометрическом базисе и построить график его амплитудной части.

 

 

Рис 2.4. Закон изменения параметра К(t)

 

Используя таблицу разложения функций в ряд Фурье, находим:

.

Для нечетной функции

.

Вычисляя последний интеграл, находим спектральный состав коэффициента передачи рис.2.5.:

.

 

 

Рис.2.5. Спектральный состав параметра К(t)

 

Пример 2.3. Пусть к входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи, рассмотренном в предыдущем примере, приложено гармоническое колебание вида:

U_вх(t)=U₀cosΩt.

Тогда выходное колебание имеет следующий вид:

При выводе последнего соотношения использовались следующие тригонометрические соотношения:

Из полученного выражения видно, что в выходном колебании возникли гармонические составляющие, которых не было ни в колебаниях параметра, ни в колебаниях входного сигнала. Спектральный состав входного и выходного колебаний, а также спектральный состав колебаний параметра, представлен на рис.2.6.

 

 

Рис.2.6. Спектральный состав входного и выходного колебаний

и колебаний параметра

 

§2.4. Прохождение сигнала через параметрические

цепи первого порядка. Метод функции Туркина

К параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид

+ a(t)*S = f(t) (2.25)

Известно, что такие дифференциальные уравнения, как правило, допускают непосредственное интегрирование и их решение можно представить в квадратурах. Однако очень часто полученное решение нельзя выразить в известных функциях, кроме того, его форма может не соответствовать конечным целям исследования. Например, полученное выражение в замкнутом виде трудно поддается спектральному анализу, проверке на устойчивость и т.д.

Общий подход к анализу параметрических цепей первого порядка основан на традиционных методах решения дифференциальных уравнений и заключается в том, что сначала ищется решение однородного уравнения

+ a(t)*S = 0, (2.26)

а затем произвольная постоянная С заменяется на С(t),которая определяется после подстановки решенияS_св(t) однородного уравнения в искомое (метод Лагранжа).

Однако, так как получаемые этим методом решения не всегда удобны для анализа, в радиотехнике разработаны специальные приемы и методы решения указанных уравнений. Наибольший практический интерес представляет анализ параметрических цепей при постоянных и моногармонических воздействиях, так как все другие воздействия можно свести к суперпозиции этих воздействий. Рассмотрим примение метода и функий Туркина на следующем примере.

 

Пример 2.4. В цепи, изображенной на рис 2.7., генератор развивает напряжение e(t) = U₀ e^iωt, параметрическая емкость меняется по закону

C(t) = , где μ – коэффициент

модуляции емкости. Найти закон изменения и

определить спектральные составляющие тока в

цепи.

Рис.2.7. Параметрическая RC- цепь

Уравнение для тока в цепи рис.2.7. имеет вид:

R i + = e(t) (2.27)

и является интегродифференциальным уравнением.

Для того чтобы привести наше уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка запишем его относительно заряда, который связан с током по закону i(t) = . Кроме того, подставим выражения для C(t) и e(t) в интегро-дифференциальное уравнение:

R + q = U₀ e^iωt, (2.28)

где x(τ) = q(τ), τ = Ωt, a = , b = , p = .

Общее решение данного уравнения известно:

x(τ) = e ^- [ e dτ + C ] .

Интегралы в показателях экспоненты являются табличными

x(τ) = .

Оставшийся интеграл не берется в известных функциях. Воспользуемся следующим разложением

= (2.29)

и, обозначив z = iaμ , перепишем последнее выражение в форме

x(τ) = J_-n(z) e[a] =

= C + a. (2.30)

 

Постоянная С определяется из начальных условий. Первый член этого выражения описывает свободный процесс, а второй – установившийся. Рассмотрим произведение рядов во втором члене:

Обозначив перепишем общее решение в виде

,

а затем

, (2.32)

где . (2.33)

Функции (2.34)

введены В.К.Туркиным и носят его имя, для этих функций составлены таблицы при различных значениях параметров .

Для установившегося режима окончательное выражение принимает вид:

. (2.35)

Свободный процесс описывается выражением

, (2.36)

где постоянная С определяется из условия q_св(0) = q₀.

Полученные выражения дают полное решение задачи для установившегося режима как при гармоническом воздействии вида cosω₀t, sin ω₀t, e^±it, так и при постоянном воздействии U₀ = const, причем решение записывается в виде суммы гармонических составляющих.

 

Пример 2.5. Рассмотрим расчет установившегося процесса в случае, когда параметр может быть представлен любой периодической функцией. В этом случае колебания будут описываться дифференциальным уравнением первого порядка с параметрическим коэффициентом, изменение которого представляется любой периодической функцией

, (2.37)

где , что допускает его разложение в ряд Фурье. Считаем, что параметрический коэффициент может быть представлен в виде , тогда общее решение имеет вид

. (2.38)

Введем следующие обозначения

а , (2.39)

тогда получаем , (2.40)

Т.к. и периодические функции, их можно разложить в ряд Фурье

; (2.41)

Тогда общий вид решения (2.40) примет вид:

, (2.42)

где свободные колебания описываются выражением:

. (2.43)

А выражение для установившегося процесса колебаний имеют вид:

(2.44)

Полученные выражения (2.32 – 2.36) и (2.43 – 2.44) позволяют исследовать процесс установления колебаний в параметрических цепях с полуцелой степенью свободы (параметрических цепях описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка) при постоянном или гармоническом воздействиях. При любом сложном периодическом воздействии решения параметрических уравнений первого порядка с периодическим коэффициентом будут представлять собой сумму решений, полученных при рассмотрении каждого воздействия в отдельности.

Пример 2.6. Найти установившийся процесс в цепи (рис.2.8), содержащей параметрический резистор и катушку индуктивности, у которой R(t)= (1+ + snΩt), где snΩt – меандровая характеристика и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид :

,

 

 

Рис.2.8. Параметрическая RL-цепь

где введено безразмерное время τ = Ωt, (Ω = ), а разложение в обобщенный ряд Фурье функции имеет вид:

.

В соответствии с общей методикой, изложенной выше (2.39) – (2.44), нужно найти вспомогательные формулы

и .

Выполним вычисления

.

Комплексную амплитуду рядов Фурье получаем в виде

.

Представленные интегралы вычисляются и их можно найти в любом справочнике. После несложных преобразований получаем

.

Чтобы не вычислять интеграл для нахождения можно получить формулы связи и

.

В равенстве для U_n делаем замену переменных: , тогда

.

Принимая во внимание свойство «нечетных рядов»: , а также то, что интеграл от периодической функции взятый по длине равной периоду не зависит от начала отсчета, получаем:

 

, где

.

Для установившегося процесса имеем следующий результат:

. (2.44)

Суммы, входящие в последние выражения известны, поэтому путем простых преобразований получаем:

, (2.45)

где .

Из выражений (2.45), как частные случаи, следуют решения целого ряда задач.

 

Пример 2.7. Рассмотрим параметрическую цепь (рис.2.9) в которой резистор R₂ выключается с частотой Ω. Пусть к цепи приложено постоянное напряжение Е.

Необходимо найти ток, протекающий по такой цепи. Тогда константы и переменная τ в выражении (2.45) имеют следующие значения:

.

 

 

Рис.2.9. Эквивалентная схема параметрической RL–цепи

 

После простых преобразований выражения (2.45) примут вид

,

где .

Полученные выражения показывают, что в случае параметрического воздействия на цепь (рис.2.9) произошло обогащение спектра колебаний установившегося тока.

§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы

§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной

системе с одной степенью свободы

Рассмотрим задачу о качелях (рис.2.10). Это также параметрическая колебательная система. В крайнем положении, когда качели остановились, приседая, мы увеличиваем расстояние до точки подвеса. В момент, когда качели набрали максимальную угловую скорость, мы встаем, преодолевая

 

Рис.2.10. Модель механической параметрической колебательной системы

 

кроме силы тяжести еще центробежную силу, поэтому расстояние уменьшается и из соотношения mR²(t)ω(t)=const следует, что должна увеличиться угловая скорость ω(t). Это модель параметрической системы для механической колебательной системы.

§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы

Рассмотрим параметрический колебательный контур (рис.2.11.а). Пусть у нас будет параметрическим образом изменяющаяся емкость в колебательном контуре (рис.2.11.б).

Пусть конденсатор, включенный в колебательный контур, представляет собой плоский конденсатор, в котором можно менять расстояние между пластинами скачком с какой-то частотой. Так как колебания, которые возникли в цепи, приведут к тому, что на конденсаторе возникнет заряд, то пластины будут притягиваться друг к другу с какой-то силой. Раздвигая пластины, т.е. уменьшая емкость, мы совершаем работу по преодолению силы притяжения зарядов на пластинах конденсатора. Энергия, затраченная на перемещение пластин, может перейти только в энергию электрического поля конденсатора. Для того чтобы внести таким образом максимальной величины энергию необходимо, чтобы в момент времени, когда мы раздвигаем пластины, на них присутствовал заряд наибольшей величины, а емкость уменьшалась в моменты наибольшего напряжения, приложенного к пластинам конденсатора (рис.2.11.б.).

R L

 

C

 

а) б)

Рис.2.11.а) − колебательный контур; б) − закон изменения C(t) и U_вых(t)

Если в некоторый момент времени, когда U_с максимальна, мы быстро уменьшим емкость, то это приведет к увеличению напряжения U(t). Это следует из формулы q(t)=C(t)U(t)=const, так как заряд быстро измениться не может (т.к. тогда бы ток равнялся бесконечно большой величине). Если в момент времени, когда U=0, мы снова увеличим емкость, то напряжение не изменится и никакая работа совершаться не будет (заряд в эти моменты времени равняется нулю). Поэтому, изменяя емкость во времени (параметрически), мы можем добиться, чтобы добавка энергии равнялась потерям в такой цепи, тогда у нас будут стационарные колебания (колебания с постоянной амплитудой). Если добавка энергии будет больше энергии потерь, то можно добиться раскачки колебаний. Если же внесенная энергия, за счет изменения емкости, меньше потерь, существующих в цепи, то у нас будут

 

 

 

Рис.2.12. Законы изменения u(t) и C(t) в зависимости от величины

модуляции параметрической емкости

 

затухающие колебания, но затухать они будут медленнее, чем в случае, когда энергия не вносится в контур. Этот случай соответствует регенеративному усилению. Следовательно, когда ΔС<0 (отрицательное приращение емкости) ему соответствуют положительные приращения ΔU>0, что обуславливает увеличение амплитуды колебаний напряжения U(t) (рис.2.12).

Рассмотрим режим стационарных колебаний в параметрическом контуре при оптимальном параметрическом возбуждении. Пусть емкость изменяется по закону, представленному на рис.2.13:

С(t)

∆C

C₀ = m –коэффициент модуляции параметра.

t

Рис.2.13. Закон изменения параметрической емкости С(t)

 

Энергия, запасаемая на конденсаторе − W_c = =. (2.46)

Вычислим приращение энергии в системе за счет однократного изменения емкости – ΔW_c:

ΔW_c = = .

Пусть ΔС <<С₀ (а на практике такое соотношение и выполняется) тогда,

ΔW_c = (2.47) Изменение энергии в параметрических системах пропорционально величине накопленной энергии. Это свойственно только параметрическим системам.

Предположим, что уменьшение емкости происходит в те моменты, когда величина заряда максимальная, а увеличение емкости, когда q=0. Такое изменение емкости можно делать два раза за период. Следовательно, приращение энергии за период колебаний вследствие параметрического изменения емкости ΔW_c(t) , как следует из (2.47), равняется

ΔW_CT = 2m. (2.48)

Эта энергия расходуется на активном сопротивлении. Вычислим среднюю энергию, расходуемую на активном сопротивлении ΔW_R(t). Для этого зададим закон изменения q(t) и i(t):

q(t)=q_m sin ω₀t, i(t)== q ω₀ cos ω₀t. (2.49)

Тогда энергия, расходуемая на активном сопротивлении, равна

ΔW_RT = = R q_m² ω₀² =Rq_m²ω₀²

=½Rq_mω₀²T=. (2.50)

Приравняем энергию потерь, расходуемую на активном сопротивлении (2.50), к энергии, вносимой параметрическим элементом (2.48):

ΔW_с(t) = ΔW_R(t),

тогда получаем:

; , (2.51)

где d – это затухание.

Для контуров получить добротность Q равную 100 достаточно легко, поэтому для такой добротности d= 1/Q = 0.01 и по формуле (2.51) находим m_кр =0.015=1.5%. Следовательно, модуляцию порядка нескольких процентов можно осуществлять с помощью варикапа, который будет работать в линейной области своей характеристики.

Рассматриваемый режим модуляции емкости С(t) является оптимальным при выполнении следующих условий:

· Накачка энергии в контур производится с максимальной частотой – 2 раза за период.

· Изменение емкости происходит скачком (это самое выгодное изменение параметра).

· Использован самый выгодный режим изменения параметра и входного сигнала (фазировки), т.е. уменьшение емкости происходит при максимуме заряда q_m , а увеличение при q_m=0.

Выводы. С помощью параметрической емкости можно как вносить энергию, так и отбирать её из колебательного контура. Для этого необходимо изменить фазировку параметра С(t) и входного сигнала U(t). Выше мы предполагали, что емкость меняется скачком за счет изменения расстояния между пластинами конденсатора. В связи с тем, что для получения стационарных колебаний в параметрическом контуре достаточна величина модуляции емкости в несколько процентов (m_кр = 0.015=1.5%), на практике это можно осуществлять с помощью варикапа. Подавая на него переменное напряжение, изменяющееся скачком, мы можем осуществлять модуляции емкости скачком. Напряжение и частоту переменного напряжения, приложенного к варикапу, называют соответственно напряжением и частотой накачки.

§ 2.6. Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье

 

В предыдущем параграфе мы рассмотрели энергетический способ исследования параметрических систем. Рассмотренный метод позволил вывести формулы, определяющие значение коэффициента модуляции при котором в колебательной системе возможно либо усиление колебаний, либо

стационарный режим, либо нарастающие колебания. Однако энергетический метод не может дать ответ, как будут изменяться ток и напряжение в параметрическом контуре.

 

 

 

Рис.2.14. Параметрический колебательный контур

 

В данном параграфе рассматривается другой часто применяемый способ исследования колебаний в параметрических системах, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка.

Анализ процесса в рассматриваемом параметрическом контуре (рис.2.14) основан на сведении уравнений, описывающих колебания в контуре, к известным уравнениям, в данном случае к уравнению Матье:

(2.52)

Пусть параметрическая емкость колебательного контура изменяется по закону

. (2.53)

Данный закон изменения емкости выполняется, когда к варикапу приложено гармоническое воздействие.

Запишем с помощью МКТ дифференциальное уравнение параметрических колебаний в параметрической цепи (рис.2.14)

. (2.54)

Мы получили интегро-дифференциальное уравнение. Чтобы получить дифференциальное уравнение сделаем замену переменных

, (2.55)

которая позволяет перейти к дифференциальному уравнению второго порядка в следующем виде

. (2.56)

 

Для того чтобы избавиться от производной первого порядка в уравнении (2.56) сделаем следующую замену переменных:

Подставляя найденные выражения для q(t), и в дифференциальное уравнение (2.56), получаем

+,

. (2.57)

В уравнение (2.57) введем безразмерное время τ

; .

Подставим его в (2.57)

. (2.58)

Введем следующие обозначения:

; ; . (2.59)

Тогда уравнение колебаний (2.58) в параметрическом контуре (рис.2.13) примет вид:

(2.60)

Уравнение (2.60) является уравнением с периодическим коэффициентом, зависящим от времени τ, где a и b – положительные величины. Кроме того, из (2.59) видно, что b < a, т.к. m < 1.

Решение уравнения Матье строится с помощью теоремы Флоке, которая гласит, что для уравнений типа Хилла (коэффициенты которого являются периодическими функциями) решения есть почти периодические функции:

, (2.61)

где коэффициент К = const.

Отсюда следует, что функция удовлетворяет теореме Флоке, если φ(τ) периодическая функция. Уравнению (2.61) удовлетворяет и функция . Покажем на примере функции , что выполняется теорема Флоке:

.

Возникли периодические функции φ(τ) и , которые называют функциями Матье:
φ()=φ(,a,b).

μ= μ(a,b) – некий коэффициент, зависящий от параметров a и b. Причем a и b – вещественные положительные числа, а может быть: либо вещественным, либо равно нулю, либо мнимым.

Т.к. функции у₁(τ) и у₂(τ) удовлетворяют теореме Флоке, решение уравнения Матье будет представляться как комбинация этих двух функций:

. (2.62)

Из вида решения (2.62) видно, что нас должен интересовать случай, когда μ= μ(a,b) - действительная величина любого знака, т.к. только в этом случае одно из слагаемых решения (2.62) будет нарастающей функцией. А это значит, что мы получили колебания с возрастающей амплитудой – возбуждение колебаний за счет энергии внесенной параметрической емкостью (параметрический генератор). Т.е. в этом случае вносимая энергия превышает потери, которые существуют в контуре. Следовательно, условием самовозбуждения колебаний в параметрическом контуре есть условие |μ= μ(a,b)|>0. Если μ= μ(a,b)=0, то мы получаем решения с постоянной амплитудой, т.е. вносимая энергия в колебательный контур параметрической емкостью равняется энергии потерь в нем. Таким образом можно сделать вывод, что в случае когда:

а) – функция описывает стационарные решения

б) - вещественная величина – решения расходятся и, следовательно, они описывают нарастающие колебания

в) - мнимая величина – решения будут сходящимися, а колебания затухающими.

Рассмотрим однородное уравнение Матье, в котором устремим коэффициент b к нулю

.

Тогда уравнение примет вид:

и его решение выражается через тригонометрические функции

.

Вид решения у(τ) для схемы рис.2.15.а не изменится (т.е. будет выполняться теорема Флоке) только в том случае, когда , где n любое целое число. Только в этом случае сдвиг фазы на приведёт к тому, что значение функций не изменится.

Нахождение значений коэффициента в общем случае проблема. Поэтому строятся диаграммы значений параметров а и b, при которых решение для у(τ) будет иметь различный характер поведения в зависимости от значения коэффициента (см. рис.2.15.б). Зоны значений параметра μ(a,b) стягиваются к значениям оси абсцисс, в которых а=n², где n любое целое число. Внутри зон решение для колебаний будет иметь нарастающий характер, а само -действительное число. На границе зон в любом месте =0 – стационарные колебания функции . Вне зон коэффициент - мнимая величина и колебания являются затухающими.

 

а) б)

Рис. 2.15. а) закон изменения периодической функции б) области

значений коэффициента

 

Как было показано ранее, при исследовании коэффициента модуляции с помощью энергетического метода, , поэтому из выражения (2.59) следует, что коэффициент b также мал. Поэтому можно предположить, что у(τ) не сильно отличается от тригонометрической функции (случай когда b =0) и решение для y(τ) можно записать в виде:

. (2.63)

С учетом того, что , находим: Из формулы (2.64) следует, что зоны неустойчивости функции q(t) располагаются внутри зон неустойчивостей для y(t) − рис.2.16.

Из уравнения (2.65) следует, что при выполнении условия ||>δ, будет нарастающей функцией. Это соответствует зонам, обозначенным пунктирными линиями.

 

b

 

 

a

 

Рис. 2.16. Зоны неустойчивости для функций: у(t) - сплошная линия;

- пунктирная

 

Если частоты модуляции и накачки, а также параметр модуляции такие, что решения попадают в нижнюю часть зоны рис.2.16 – на графике эти зоны заштрихованы, то энергия отклика для превышает начальную энергию, но колебания все равно остаются затухающими - зона регенеративного усиления. Если решение попадает в верхнюю часть зоны, где вносимая энергия превышает энергию потерь - возникает режим автоколебаний. Касательная, проведенная к нижней точки каждой из зон, соответствует случаю стационарных колебаний. При этом энергия, вносимая в колебательный контур за счет параметрической емкости C(t), равняется энергии потерь. Для этих случаев можно определить критическое значение параметра – m_кр, как тангенс угла наклона соответствующих касательных. Области, помеченные звездочками, не имеют практического значения, т.к. там происходит еще большее затухание.

Выводы. В целях получения параметрического усиления или возбуждения колебаний следует использовать такое соотношение параметров а и b (т.е. ω₀, и m), при котором решение соответствует областям неустойчивости. Если при этом коэффициент модуляции m меньше m_крn, в системе можно осуществить регенеративное усиление. Если же коэффициент модуляции m – больше m_крn,, в системе происходит параметрическое возбуждение нарастающих колебаний, которые в дальнейшем ограничиваются какими-либо нелинейными элементами, неизбежно существующими в цепях.

 

§ 2.7. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе. Синхронный режим. Асинхронный режим

В предыдущем разделе был найден закон изменения заряда (2.65), тока и напряжения (2.66) в одноконтурном параметрическом усилителе методом сведения уравнения (2.56), описывающего колебания в такой цепи к неоднородному уравнению Матье (2.60). Однако, полученное решение, кроме того что выражается через специальные функции Матье, не позволяет определить многие важные характеристики цепи, такие как коэффициент усиления, добротность и т.д. Поэтому для определения этих характеристик пользуются другими методами. Кроме того отличают два режима работы одноконтурных параметрических усилителей: синхронный режим и асинхронный режим. Различие данных режимов работы параметрических усилителей заключается в следующем:

синхронный режим возникает в параметрическом усилителе, когда строго выполняется соотношение между частотой накачки ω_н = Ω и частотой усиливаемого сигнала ω_с

ω_н = 2ω_с; (2.67)

асинхронным называется режим, при котором строгое равенство (2.67) нарушается из-за невозможности настроить частоты друг на друга в точности, а соотношение между ними может быть записано в следующем виде

2ω_с = ω_н + η, где η « 1. (2.68)

Рассмотрим синхронный режимработы параметрического усилителя. Найдем основные характеристики одноконтурного параметрического усилителя, работающего в синхронном режиме. Пусть у нас имеется источник внешнего сигнала - гармоническое колебание . В сопротивление (рис.2.17) входит сопротивление генератора и сопротивление катушки индуктивности. Рассмотрим колебания в одноконтурной параметрической системе. Пусть частота сигнала равна частоте

 

 

Рис.2.17. Одноконтурный параметрический усилитель

 

резонанса контура

. (2.69)

Будем считать, что параметры контура такие, что мы попадаем в первую зону неустойчивости рис.2.16., т.е. . Тогда

и пусть . (2.70)

Считаем, что добротность колебательного контура велика, тогда отклики на входной сигнал, которые возникнут в параметрическом колебательном контуре, будут близкими к гармоническим колебаниям. Это позволяет нам для анализа колебаний использовать метод комплексных амплитуд (МКА). Поэтому мы можем записать

.

При резонансе напряжение на индуктивности в Q раз превышает амплитуду напряжения источника . По определению добротность Q равна

, (2.71)

где- вносимое сопротивление, которое описывает энергию, вносимую в колебательный контур вследствие того, что ёмкость является параметрической. Используя аксиоматику цепей для параметрической емкости (2.11) запишем

.

Первое слагаемое в этом соотношении – обычное емкостное слагаемое, свидетельствующее о том, что линейная постоянная емкость запасает и расходует энергию. Второе – аналогично выражению для мощности, расходуемой на каком-то постоянном сопротивлении. Вычислим среднюю мощность, вносимую в колебательный контур параметрической емкостью:

. (2.72)

Для того чтобы вычислить эту мощность необходимо задать закон изменения заряда q(t). В предыдущем разделе мы нашли, что закон изменения заряда может быть записан, в виде

,

здесь ни затухания, ни нарастания нет, т.к. нам необходимо определить коэффициент модуляции m_кр, характеризующий стационарные колебания (т.е. колебания с постоянной амплитудой). Напряжение и ток определяются из следующих формул:

.

Подставляя выражение для , U(t) и i(t) в (2.72), после несложных преобразований находим, что

. (2.73)

Эта величина имеет известный вид и равна мощности, которая расходуется на активном постоянном сопротивлении.

Всё, что стоит в скобках в выражении (2.73) можно обозначить через вносимое сопротивление. Поэтому энергию, вносимую параметрической ёмкостью, можно описать с помощью активного сопротивления (отрицательного по величине, т.к. энергия вносится в колебательный контур, а не расходуется) и тогда эквивалентная схема параметрического колебательного контура (рис.2.1) примет вид (рис.2.18).

 

Рис.2.18. Эквивалентная схема одноконтурного параметрического усилителя

Мы получили колебательный контур с постоянными элементами, для которого можем записать, что ; причем мы определили из энергетического баланса, сравнив мощности: вносимую в колебательный контур параметрической емкостью и мощность, расходуемую активным постоянным сопротивлением. Тогда получаем:

. (2.74)

Величина - добротность контура, до момента времени, когда емкость С(t) стала параметрической, т.е. при .

Для наивыгоднейших фазовых соотношений между сигналом и накачкой, когда =0 получаем максимальное значение для коэффициента передачи

. (2.75)

Следовательно, из условия , находим, что

.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: на основном периоде колебаний фаза может принимать два значения для которых получается лучшая фазировка.

Если , коэффициент передачи принимает конечное значение. Следовательно, энергия, вносимая в одноконтурный параметрический усилитель, не превышает потери и цепь устойчива (т.е. самовозбуждение колебаний в параметрическом усилителе невозможно – такой усилитель называется усилителем регенеративного типа). Если же , то , и это говорит о том, что система стала неустойчивой. В таком усилителе возможно самовозбуждение колебаний и он превращается в автогенератор гармонических колебаний. Граница между устойчивыми и неустойчивыми колебаниями в параметрическом усилителе соответствует случаю, когда вносимая в колебательный контур энергия в точности равняется потерям. Поэтому, из равенства находим, что

, (2.76)

где - затухание колебательного контура ().

Ранее, когда мы рассматривали изменение ёмкости скачком и выполнялись условия оптимальной накачки, значение для критического коэффициента модуляции принимало значение:

.

В нашем случае, при гармоническом изменении емкости, величина для m_кр=2d, т.е. больше чем в случае модуляции емкости скачком. Поэтому модуляция емкости скачком, при всех прочих равных условиях, является оптимальной. В этом случае для достижения стационарной амплитуды колебаний в параметрическом усилителе необходимо будет вносить наименьшую порцию энергии с помощью параметрической емкости.

Параметрическое усиление в системе достигается оптимальным образом при правильной фазировке входного сигнала и генератора накачки. Если фазировка не была произведена, то в такой системе можно наблюдать не только отсутствие усиления, но и ослабление входного сигнала. Необходимость жёсткой фазировки сигнала и генератора накачки является основным недостатком одноконтурного параметрического усилителя.

На рис. 2.19 представлены изменения параметрической емкости и двух возможных вариантов колебаний напряжения, которые могут возникнуть в одноконтурном параметрическом усилителе. При такой разности фаз между колебаниями напряжения U(t) и колебаниями параметрической емкости C(t) (или другими словами, колебаниями генератора накачки) обеспечивается минимальное значение коэффициента модуляции .

Асинхронный режим. Асинхронный режим – это наиболее часто встречающийся на практике режим, т.к. выполнить строгое равенство между частотами двух различных устройств задача большой сложности. Для устранения этого недостатка (требования жесткой синхронизации двух частот) иногда прибегают к параметрическому усилению расстроенным контуром. Рассмотрим работу такого устройства.

 

 

Рис.2.19. Законы изменения C(t) и U(t) в параметрическом контуре

Пусть выполняется следующее соотношение

, тогда .

Тогда, с учетом соотношения (2.74) (т.к. считаем что η « 1), получаем