ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
Определение траектории движения точки
а) уравнения движения точки имеют вид: Выразим из второго уравнения переменную t: t=-y/3 и подставим первое… Получаем уравнение параболы.Определение скорости и ускорения точки
Вектор скорости направляется по касательной к траектории движения точки.Задача К-1.
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям
Ее движения
ПРИМЕР 1.1
Движение точки задано уравнениями: 
, 
(х, у-в см., t-в сек.) [4].
Требуется найти:
а) уравнение траектории движения точки, а также скорость и ускорение;
б) построить в осях координат график траектории движения точки;
в)нанести векторы скорости и ускорения для t=0;
г) определить тангенциальное, нормальное ускорение точки и радиус кривизны ее траектории, подсчитать эти величины для t=0.
Решение:
Чтобы найти уравнение траектории, надо исключить параметр t из уравнений движения.
Уравнения движения представим в виде:
; 
.
Т.к. 
, то можно записать:
или 
.
Это уравнение параболы. Теперь надо определить, вся ли парабола будет траекторией. Для этого проанализируем уравнения движения:
, т.к 
, то 
,
, т.к 
, то 
.
Следовательно, можно заключить, что траекторией будет та часть параболы, для которой: 
, 
. Изобразим траекторию сплошной линией, а остальную часть параболы – пунктирной (рис 1.1).
Для определения скорости точки, найдем проекции вектора скорости на координатные оси:
, 
. (1.1)
Модуль скорости равен
(1.2)
Найдем также направляющие косинусы вектора скорости:
;
;
Определяем величину и направление вектора скорости при t=0, строим этот вектор на чертеже:
t=0, V=3π
, 
, 
, 
, 
.
Для определения ускорения найдем проекции ускорения на координатные оси:
. (1.3)
Модуль ускорения:
. (1.4)
Направляющие косинусы вектора ускорения:
;
;
t=0, а=2π2
, 
, 
, 
, 
.
Вектор ускорения для нулевого момента времени показываем на чертеже.
Определяем проекцию скорости на касательную. Положительное направление отсчета дуг на траекторию выберем вправо. На рис. 1.1 это направление указано вектором τ.
Как видно из формулы для VХ при движении вправо 
, при движении влево 
. Поэтому, если в формуле (1.2) для модуля скорости отбросить знак модуля, то получим выражение для Vτ:
(1.5)
Зная зависимость Vτ от t, найдем касательное ускорение аτ
(1.6)
При t=0 , аτ=0.
Для нахождения ап надо использовать зависимость:
, откуда:
.
При t=0, 
.
Рис. 1.1
ПРИМЕР 1.2
Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.2), если ОА=АВ=2b, а угол 
при вращении кривошипа растет пропорционально времени: 
[1].
Рис. 1.2
Решение:
Начинаем с определения уравнения движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у находим:
, 
.
Заменяя его значением, получаем уравнения движения точки M:
, 
.
Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде:
.
Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим:
.
Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.
Теперь по формулам находим скорость точки M:
Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от 
до 
.
Далее по формулам определяем проекции ускорения точки M:
, 
;
отсюда:
,
где r - длина радиуса-вектора, проведенного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстоянию от центра эллипса.
Для определения направления 
имеем по формулам:
, 
.
Отсюда находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.
ПРИМЕР 1.3
Определить вид траектории движения точки, найти ее положение при 
, а также определить ее скорость, нормальное, тангенциальное, и полное ускорение, если
, 
.
Решение:
Определим вид траектории движения точки: исключив переменную из уравнений координат, найдем зависимость:
.
Получаем уравнение эллипса:
Центр эллипса находится в точке с координатами (0; -3), полуоси эллипса равны 4 и 2.
Определяем координаты точки М при 
:
Точка М имеет координаты (-2; -4,7)
Определяем скорость точки:
Определяем полное ускорение точки.
Определяем тангенциальное, нормальное ускорение точки, а также радиус кривизны окружности:
Нормальное ускорение:
Радиус кривизны траектории:
Строим траекторию движения точки, на которой указываем положение точки М по ее координатам, а также векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорения (рис.1.3.1).
Рис.1.3.1
Задача К-2.
Составление уравнений движения точки и определение ее скорости
И ускорения
ПРИМЕР 2.1
Для точки М заданного механизма составить уравнения движения, вычертить участок ее траектории и для момента времени 
.
Найти скорость точки, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.
Исходные данные: схема механизма (рис. 4.4.1.1); 
рад; r = 20 см; R = 100 см; t1=1/3 с [2].
Решение:
Из условия 
P = 
P имеем:
; 
.
При t=1/3 с 
, 
.
Уравнения движения точки М (рис. 2.2):
;
или окончательно:
(2.1)
Эти уравнения являются параметрическими уравнениями траектории точки - эпициклоиды. Проекции скорости точки на оси координат:
см/с;
см/с.
Рис. 2.1
Модуль скорости:
или окончательно
см/с . (2.2)
Проекция ускорения точки на оси координат
;
.
Модуль ускорения
или
см/с2.
Рис.2.2. Рис.2.3.
Так как в данном примере для модуля скорости точки получено простое выражение, то модуль касательного ускорения находим не по формуле
см/с2,
а непосредственным дифференцированием выражения (2.2):
или
см/с2.
Модули скорости и ускорения точки, их проекции на оси координат, а также касательное и нормальное ускорения, вычисленные для заданного момента времени t=1/3 с, приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
| Скорость м/с | Ускорение м/с2 | Радиус кривизны см | ||||||
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 30,4 | 56,0 | 75,4 | 34,3 |
Нормальное ускорение точки:
см/c2.
Радиус кривизны:
см.
Значения 
и 
также приведены в таблице 2.1.
На рис.2.3 показан участок траектории точки М, построенный по уравнениям (2.1), а также ее скорость, ускорение и все их составляющие. Таким образом, как и при выполнении задания К-1, осуществляется графическая проверка правильности вычислений.
ПРИМЕР 2.2
Определить вид траектории движения точки, найти ее положение при 
, а также определить ее скорость, нормальное, тангенциальное, и полное ускорение точки, если 
Решение:
Определим вид траектории в координатной форме, исключив переменную из уравнений координат, найдем зависимость:
Траекторией движения точки является парабола, ветви которой вытянуты вдоль оси ОХ, вершина в О (-3,0) (рис.2.2.1).
Рис.2.2.1
Определяем координаты точки М при 
, для этого в уравнение движения подставляем 
:
покажем точку М на траектории.
Определяем скорость точки:
Определяем полное ускорение точки.
Определяем тангенциальное, нормальное ускорение точки, а также радиус кривизны окружности:
Нормальное ускорение:
Радиус кривизны траектории:
Покажем на рисунке 4.4.4 скорости 
,
,,
,
и 
точки М.
II КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Задача К-3.
Определение скоростей и ускорений точектвердого тела при поступательном и вращательном движении.
ПРИМЕР 3.1
Ведущий шкив I изображенного на чертеже механизма лебедки (рис. 5.1.1.1) начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 5 секунд совершает 50 оборотов. Определить скорость и ускорение груза D а также точки В, расположенной на поверхности барабана через I секунду после начала движения. Радиусы шкивов 1 и 2 и барабана соответственно равны: 
см, 
см, 
см [4].
Число зубьев колес 3 и 4 равны 
, 
. Шкив 2 неизменно соединён с колесом 3, а колесо 4 - с барабаном 5.
Решение:
Ведущий шкив 1 совершает равнопеременное вращение, уравнение которого имеет вид: 
.
где: 
- угол поворота шкива 1 в радианах.
- начальный угол поворота шкива 1
- начальная угловая скорость шкива 1
- угловое ускорение шкива 1
По условию 
, 
.
Угол поворота шкива 1 задан в полных оборотах и равен N1=50 оборотов. В радианах 
.
После подстановки значений 
уравнение вращения шкива 1 примет вид: 
. Отсюда находим угловое ускорение шкива 
сек-2.
Угловая скорость шкива 1 определяется уравнением 
.
Отсюда, учитывая, что 
и 
сек-2 получаем
.
Рис.3.1.1
Для определения угловой скорости шкива 2 воспользуемся равенством окружных скоростей на ободах первого и второго шкивов, т.е. 
, с другой стороны 
и 
, поэтому 
. Отсюда 
.
Так как колесо 3 неизменно связанно со шкивом 2, то его угловая скорость 
равна угловой скорости 
шкива 2, т.е. 
.
Обозначим радиусы начальных окружностей зубчатых колёс 3 и 4 соответственно буквами 
и 
.
Для определения угловой скорости колеса 4 воспользуемся тем, что начальные окружности колёс 3 и 4 находящиеся в зацеплении, катятся друг по другу без скольжения и следовательно в точке зацепления линейная скорость 
точки А, принадлежащей колесу 3, равна линейной скорости 
точки А, принадлежащей колесу 4.
Следовательно 
. Отсюда, с учётом равенств 
, 
получаем:
, 
.
Радиусы начальных окружностей пропорциональны числам зубьев, поэтому 
и 
сек-1.
Угловое ускорение 
колеса 4 найдём как производную по времени от его угловой скорости:
сек-2.
Т.к. барабан 5 неизменно связан с колесом 4, то его угловая скорость 
и угловое ускорение 
равны соответственно угловой скорости 
и угловому ускорению колеса 4.
сек-1, 
сек-1.
В момент t1=1 сек, угловая скорость и угловое ускорение барабана 5 будут:
, 
.
Скорость и полное ускорение точки B, расположенной на поверхности барабана в момент t1=1сек, найдём по формулам:
, 
,
, 
.
Направление полного ускорения определяем углом 
между ускорением и радиусом вращения точки В:
.
В связи с отсутствием проскальзывания каната по поверхности барабана скорость и ускорение груза D будут соответственно равны скорости и касательному ускорению точки B, т.е:
см/сек2, 
.
ПРИМЕР 3.2
Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связаны ременной передачей, груз 4 и 5 и стрелки 6, жестко связанной с колесом 3. радиусы колес равно соответственно: 1- r1=2 см, R1=4 см, у колеса 2- r2=6 см, R2=8 см, у колеса 3- r3=12 см, R3=16 см, длина стрелки l=24 см (рис. 3.2.1). Закон изменения скорости груза 5 : υ5=2(t2-3) см/с2, положительное направление которой вниз.
Найти скорости точек А и С, угловое ускорение колеса 3 и ускорение точек B и D и груза 4 в момент t1=2 с.
Рис.3.2.1
Решение:
Определим угловые скорости колес, как функции времени t. Зная υ5, находим угловую скорость 3-го колеса 
Так как колесо 3 и 1 находятся в зацеплении, то скорость точки Е зацепления этих колес одинакова, поэтому 
, откуда 
Колесо 1 находится в зацеплении с колесом 2, поэтому 
, откуда 
Направления угловых скоростей всех тел показаны на рис. 3.2.1
Определение углового ускорения 3-го тела ε3. По известной угловой скорости ω3; 
и при t1=2 c. ε3 =0,67с-2.
Определение скорости точки А. по известной угловой скорости 1-го колеса:
, при t1=2 c. 
см/с.
Определение скорости точки С. Так как точка С принадлежит колесу 3, то при t1=2 c; 
см/с.
Направление скоростей точек А и С показаны на рисунке в соответствии с направлениями угловых скоростей.
Определение ускорения точки В. Предварительно находим угловое ускорение 2-го тела 
, при t1=2 c. ε2=2,67с-2.
Ускорение точки В, 
причем 
при t1=2 c.
см/с2, 
см/с2 
см/с2.
Направление 
показаны на рисунке 3.2.1
Определение ускорения точки D. При t1=2 c ε3 =0,67с-2 , ω3=0,17с-1.
Находим 
при t1=2 c
,
см/с2,
см/с2, 
см/с2.
Направление 
показаны на рисунке 3.2.1
Определение ускорения тела 4. сначала находим скорость этого тела
Так как груз 4 движется поступательно, то центр этого груза движется прямолинейно, а поэтому 
,при t1=2, 
,
т.к. 
.
Замечание. Ускорение тела 4 можно найти как касательное ускорение точки обода колеса радиусом r2 т.е. 
см/с2.
III. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ
3.1 Основные теоретические положения
Относительным движением называется движение точки относительно подвижной системы координат.
Переносным движением называют движение точки вместе с подвижной системой относительно неподвижной.
Абсолютная скорость точки определяется:
(3.1.1)
Если 
Если 
Абсолютное ускорение точки определяется:
(3.1.2)
Относительное и переносное ускорения раскладывают на составляющие (нормальную и тангенциальную) в зависимости от вида и траектории движения.
Кориолисово ускорение определяется:
(3.1.3)
В скалярной форме: 
Направление Кориолисова ускорения определяются следующим образом: чтобы получить вектор кориолисова ускорения необходимо вектор относительной скорости спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть эту проекцию на 900 в сторону переносного движения 
[1].
Вектор угловой скорости тела направляется вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.
Величина абсолютного ускорения определяется путем проецирование векторного равенства 3.1.2 на оси координат, при этом:
(3.1.4)
Задача К-4.
3.2 Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки вслучае поступательного переносного движения
ПРИМЕР 4.1
По заданным уравнениям относительного движения точки М переносного движения тела D для момента времени 
определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М [2].
Дано: схема механизма (рис. 6.2.1.1):
О1А=О2В=20 см; R=16 см; 
рад; 
см; 
с.
Решение:
Найдем положение тела D и точки М в заданный момент времени. Положение тела D определяется углом 
. При 
с.
рад.
Положение точки М на теле D можно определить углом:
При 
с:
рад.
Тело D и точка М в заданный момент времени показаны на рис. 4.2. Абсолютную скорость точки М определяем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
Модуль относительной скорости точки М:
.
Здесь 
- проекция относительной скорости на касательную к траектории относительного движения.
.
При 
с
см/с.
Следовательно: 
см/с.
Положительный знак показывает, что относительное движение точки происходит в направлении положительного отсчета 
. Вектор относительной скорости показан на рис. 4.2. Переносную скорость определяем, учитывая, что
, 
,
где 
- модуль угловой скорости звена 
.
Обозначая 
алгебраическую величину угловой скорости, имеем:
c-1.
При с
с-1.
Так как 
, то:
с-1.
Положительный знак у величины показывает, что вращение звена О1A происходит в направлении возрастания угла .
Модуль переносной скорости
см/с.
Вектор 
направлен перпендикулярно к звену О1А в сторону его вращения.
Рис.4.1.
Модуль абсолютной скорости точки М найдем способом проекций. Как следует из рис. 4.2:
; 
.
Следовательно,
см/с; 
см/с; 
см/с.
Рис.4.2.
Рис.4.3.
Абсолютное ускорение точки при поступательном переносном движении равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений:
;
или в развернутом виде
.
Модуль относительного касательного ускорения
; 
.
В рассматриваемом случае
см/с2; 
см/с2.
Положительный знак у величины 
показывает, что вектор 
направлен в сторону положительного отсчета 
, т. е. так же, как 
, (относительное движение - ускоренное), рис. 4.3.
Относительное нормальное ускорение
см/с2.
Вектор 
направлен по радиусу к центру кривизны траектории относительного движения точки M.
Переносное вращательное ускорение
; 
,
где 
- модуль углового ускорения звена О1А
.
Здесь 
- алгебраическая величина углового ускорения.
В рассматриваемом случае:
с-2.
Совпадения знаков у величин 
, и показывает, что вращение тела D ускоренное
c-2; 
см/с2.
Направление 
соответствует направлению
(см. рис.4.3). Переносное центростремительное ускорение
см/с2.
Вектор
направлен от А к О1, а 
имеет одинаковое с ним направление.
Модуль абсолютного ускорения находим способом проекций:
;
или после вычислений:
см/с2 ;
,
см/с2.
Результаты расчета сведены в таблицу 4.1.
Таблица 4.1
| , рад
|  , рад
|  , с-1
| Скорость, см/с | |||||
| 
| 
| 
| 
| ||||
5 /6
| /4
| 5/4
| 78,5 | 12,6 | -59,1 | 48,2 | 76,3 | |
 c-2
| Ускорение, см/с2 | |||||||
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| ||
| 5/4
| -225 | -216 | ||||||
Задача К-5.
Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения
Точки вслучае плоскопараллельного переносного движения
ПРИМЕР 5.1
Круглый диск радиуса R=100 см катиться без скольжения по прямолинейному горизонтальному пути (рис. 5.1.1) так, что его центр О движется с постоянным ускорением 
. В диске по дуге окружности радиуса R1=40см. С центром в точке ОI проделан тонкий канал, по которому от А к B равномерно движется шарик М со скоростью 40 см/сек [4]. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение шарика, когда он находиться на кротчайшем расстоянии от центра диска, если в этот момент отрезок ООI горизонтален, а скорость центра диска равна 50 см/сек.
Решение:
Шарик совершает сложное движение. Свяжем подвижную систему координат ОXY с диском, тогда переносным движением будет плоскопараллельное движение диска. В связи с отсутствием скольжения мгновенный центр скоростей диска находиться в точке Ркасания колеса с плоскостью.
Мгновенную угловую скорость диска найдём по формуле
,
где 
- скорость центра диска в текущий момент,
OP - расстояние от точки О до М.Ц.С. Р
Дифференцируя по времени мгновенную угловую скорость диска, находим его мгновенное угловое ускорение:
.
В тот момент, когда скорость центра диска равна 50 см/сек, его мгновенная угловая скорость будет:
.
Рис.5.1
Направление вращения вектора 
вокруг точки Р показывает, что направление мгновенной угловой скорости 
совпадает с направлением вращения часовой стрелки. Вектор 
перпендикулярен плоскости диска и направлен от наблюдателя. Т.к. и 
имеют одинаковые знаки, направления 
совпадает с направлением .
Переносная скорость и переносное ускорение 
шарика М равна соответственно скорости и ускорению той точки М диска, с которой в данный момент совпадает шарик.
Примем точку О за полюс, тогда переносная скорость шарика будет равна векторной сумме скорости 
полюса и скорости 
вращении точки М вместе с диском вокруг полюса т.е.:
,
Покажем 
и дуговыми стрелками вокруг полюса О.
Модуль скорости полюса 
см/сек. Вектор 
направлен по оси х.
Найдём модуль скорости 
:
.
Скорость 
направлена и перпендикулярно к ОМ в сторону переносного вращения вокруг полюса О.
Переносное ускорение 
шарика равно векторной сумме ускорения 
полюса и ускорения 
точки М в ее вращении вместе с диском вокруг полюса, т.е.:
Модуль ускорения полюса 
. Вектор 
направлен по оси Х.
Касательная составляющая 
направлена перпендикулярно МО.
Её направление соответствует направлению 
, показанному в полюсе О.
Нормальная составляющая 
направлена от М к О.
Величины ,найдём по известным формулам:
,
.
Относительным движение шарика М будет его равномерное движение по окружности радиуса R1=40см со скоростью
относительное ускорение 
шарика равно векторной сумме касательного и нормального ускорений 
т.к. 
=const, то величина касательного ускорения 
.
Модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение 
направленно от М к ОI. Т.о. относительное ускорение 
..
Кориолисово ускорение шарика определим по формуле:
Т.к векторы e и 
взаимно перпендикулярны, то модуль Кориолисова ускорения:
Направление 
k найдём, повернув вектор относительной скорости 
на 90
в сторону переносного вращения. Т.о. в данный момент ускорение 
будет направленно от М к О.
Перейдём теперь к определению абсолютной скорости 
и абсолютного ускорения 
шарика. Согласно теореме о сложении скоростей:
, но 
,
поэтому: 
Все три вектора, стоящие в правой части этого равенства, известны как по величине, так и по направлению.
Найдём проекции вектора абсолютной скорости на оси координат.
,
.
Модуль абсолютной скорости:
.
Согласно теореме Кориолиса:
, но 
и 
поэтому 
.
Таким образом, все векторы, стоящие в прямой части этого равенства, известны и по величине и по направлению.
Найдём проекции вектора абсолютного ускорения на оси координат:
,
.
Модуль абсолютного ускорения:
.
Определение абсолютной скорости и абсолютного
Ускорения точки в случае вращательного переносного движения
ПРИМЕР 5.2
Дано: Sотн =20pcos(pt/4), см; jпер=1,2t– t2, рад; t1=4/3с; R= 0см; а=20см.
Для схемы (рис 5.2.1) определить в момент времени t=t1, абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Решение:
Рассмотрим сложное движение точки М: относительное – это движение точки М по окружности радиуса R вокруг центра – точки О1 (поступательное движение); переносное – это движение точки М вместе с телом Д вокруг неподвижной вертикальной оси (вращательное движение).
Рис. 5.2.1
Определяем абсолютную скорость точки М:
Относительная скорость:
Знак “-“ показывает, что вектор Vотн направлен в сторону убывания Sотн.
Переносная скорость:
;
где r - расстояние от положения точки М до вертикальной оси вращения в данный момент времени t=t1.
Это положение точки определяется центральным углом:
Этой дуге соответствует центральный угол a:
На схеме отмечаем истинное положение точки М, определяемое центральным углом 
.
Определяем угловую скорость:
Знак “-“ показывает, что вращение вокруг вертикальной оси происходит в сторону, обратную направлению отсчета угла j. Поэтому вектор wпер направлен по оси вертикально вниз.
Итак: 
Вектор Vпер направлен по касательной к окружности с центром в точке А на вертикальной неподвижной оси и радиусом r=a+R в сторону угловой скорости (рис.5.2.2).
Рис. 5.2.2
Окончательно получаем:
.
Определяем абсолютное ускорение точки М:
.
Учитывая вид и траекторию движения имеем:
Определим каждую составляющую:
Вектор направлен от точки М по радиусу к центру «О1»:
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса R в сторону скорости 
, так как 
и 
имеют одинаковые знаки (рис.5.2.2):
Вектор направлен от точки М по радиусу к центру вращения А (рис.5.2.2.).
Угловое ускорение определяется по формуле:
.
Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости, так как и 
имеют одинаковые знаки:
.
Тогда:
.
Вектор направлен по касательной к траектории переменного движения в сторону углового ускорения.
Кориолисово ускорение:
Вектор угловой скорости направляется вдоль оси вращения вертикально вниз, поэтому имеем следующую скалярную форму:
.
Вектор aкор направляется согласно правила определения направления кориолисова ускорения (рис.5.2.2.).
Спроецируем векторную сумму ускорений на оси координат:
ПРИМЕР 5.3
Дано: ОМ=Sr=Sr(t)=25sin(pt/3), см;
jс=jс(t)=25t2-0.5t, рад;
t1=4c; а=25 см.
По заданным уравнениям относительно движения точки и движения тела D (рис.5.3.1) определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Рис.5.3.1
Решение:
Рассмотрим сложное движение точки М: относительное движение точки – движение точки М относительно подвижной системы координат тела Д (поступательное движение).
Переносное движение точки – движение точки М вместе с телом Д относительно неподвижной оси вращения (вращательное движение).
Определим абсолютную скорость точки:
Отрицательный знак у 
показывает, что вектор направлен от точки М в сторону уменьшения расстояния Sотн (рис.5.3.2.)
.
Положительный знак у величины 
показывает, что и 
направлены в одну сторону (рис.5.3.2):
Треугольник 
прямоугольный, для которого имеем:
Вектор 
направлен по касательной к окружности О1М в сторону вращения тела (рис.5.3.2).
;
; 
;
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
или в развернутом виде:
Положительный знак у 
показывает, что вектор направлен в противоположную сторону (рис.5.3.2).
Центростремительное ускорение в переносном движении определяется:
Вектор 
направлен от точки М к центру вращения О1 (рис.5.3.2).
Касательное ускорение в переносном движении определяется следующим образом (рис.5.3.2):
Положительный знак углового ускорения показывает, что угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости (рис.6.3.2.4).
Тогда получаем:
Вектор касательного ускорения направляется перпендикулярно О1М в сторону углового ускорения (рис.5.3.2).
Королисово ускорение определяется: 
Модуль Кориолисова ускорения:
тогда 
Вектор 
направляется согласно правила приведенному выше (рис.5.3.2).
Рис. 5.3.2
Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций на оси координат:
IV ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинематический расчет плоского механизма
Скорость точек плоского механизма
1) с помощью мгновенного центра скоростей – аналитический; 2) с помощью плана скоростей - графический. Мгновенный центр скоростей – это точка, лежащая на пересечение перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей.…Определение ускорений плоского механизма
При определении ускорения точек плоского механизма следует помнить, что при движении точки по траектории в виде окружности ускорение необходимо разложить на две составляющие и определить каждую по формуле (рис.4.2.2.1):
При движении точки по прямой (см. движение ползуна в механизмах) им имеет место только одно ускорение (без разложения на составляющие) (рис. 4.2.2.1)
|
|
Рис.4.2.2.1
Задача K-6.
Определение скоростей точек твердого тела при плоском движении
Найти для заданного положения механизма скорости точек А, В, С и угловые скорости всех звеньев, если известна угловая скорость кривошипа 
[2].
ПРИМЕР 6.1
Дано: 1) схема механизма в заданном положении рис. 6.1
2) исходные данные. Таблица 6.1
Таблица 6.1
| Размеры, см | ωOA c-1 | |||
| ОА | АВ | ВС | r | |
Решение: Скорость точки А направлена перпендикулярно к кривошипу ОА. Ее модуль:
cм/с.
Скорость центра В колеса направлена по горизонтали. Находим для звена АВ мгновенный центр скорости РАВ, восставив перпендикуляры к скоростям точек А и В.
Угловую скорость звена АВ определяем по формуле:
Как видно из рисунка:
см.
Следовательно,
см;
см;
с-1.
Скорость центра В колеса определяем как вращательную вокруг мгновенного центра скоростей PAB:
Так как
или
см,
то скорость центра колеса:
см/с.
Мгновенный центр скоростей Р колеса находится в точке касания этого колеса с неподвижном плоскостью.
Рис. 6.1
Рис.6.2.
Угловая скорость колеса:
.
Так как ВР=r=15 см, то 
с-1.
Скорость точки С определим как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей Р:
По теореме косинусов:
или
см.
Следовательно, скорость точки С:
см/с
Вектор 
направлен перпендикулярно к PC в сторону вращения колеса.
ПРИМЕР 6.2
Для заданного положения механизма рис. 6.2.1 определить скорость точек А и В и угловую скорость звена А В с помощью мгновенного центра скоростей и с помощью построения плана ускорения. Определить ускорения точек А и В, угловое ускорение звена АВ с помощью построения плана ускорения, а также аналитическим методом.
Дано: ОА=35см; АВ=60; 
; 
.
Рис. 6.2.1
Определяем скорость точки А и В с помощью мгновенного центра скоростей. Определяем 
.
Для определения мгновенного центра скоростей восстанавливаем перпендикуляры в точках А и В к скорости 
и к линии действия скорости 
(линия действия направлена по движению ползуна) и находим точку пересечения этих перпендикуляров РАВ. Тогда:
(6.2.1)
где, РАВ- мгновенный центр скоростей звена АВ (рис.6.2.2).
.
Угловая скорость звена АВ:
Определим скорость точек А и В с помощью плана скоростей.
Составим векторное уравнение принимая точку А за полюс
, (6.2.2)
(
направлено перпендикулярно ОА в сторону 
). Линия действия 
направлена перпендикулярно АВ, линия действия 
направлена по движению ползуна.
Строим треугольник скоростей согласно векторной сумме (6.2.2), см. рис.6.2.3.
Из плана скоростей имеем:
Определяем ускорение точек А и В с помощью построения плана ускорений.
Составим векторное уравнение, принимая точку А за полюс (рис. 6.2.4).
(6.2.3)
Определяем 
; 
; 
:
(направлено перпендикулярно ОА в сторону 
);
(направлено от А к О);
(направлено от В к А).
Линия действия 
направлена перпендикулярно АВ.
Строим план ускорений (рис. 6.2.5), из которого получаем:
; 
; 
.
Определяем ускорение точек А и В аналитическим способом (проецируем векторную сумму (6.2.3) на оси координат Х, У) рис. 7.3.2.5
Х: 
У: 
Из первого уравнения получаем:
Из второго уравнения имеем:
Определяем угловое ускорение звена АВ
Рис.6.2.2. Схема механизма
Рис.6.2.3. План скоростей
Рис.6.2.4. Схема механизма
Рис.6.2.5. План ускорения
ПРИМЕР 6.3
Определить скорость и ускорение точки В заданного механизма, а также угловую скорость и угловое ускорение звена АВ, если:
; 
.
ОА=2м, АВ=3м, ВО1=3м (см. рис. 6.3.1а).
а) б)
Рис.6.3.1(а). Схема механизма и построение МЦС;(б) План скоростей
Решение:
Определим скорость точек А и В 
и с помощью мгновенного центра скоростей. (рис. 6.3.1 а)
(направлено перпендикулярно ОА в сторону ). Линия действия направлена перпендикулярно О1В. Строим МЦС и определяем: 
Из выражения 
определяем 
Определим скорость точки В с помощью построения плана скоростей. Составим векторное уравнение, принимая точку А за полюс:
(направлена перпендикулярно звену ОА в сторону угловой скорости ωОА).
Линия действия направлена перпендикулярно АВ, 
Вектор скорости 
направляется перпендикулярно отрезку ВО1.
Строим план скоростей (рис.6.3.1 б).
Отсюда имеем:
Определяем ускорение точки В с помощью построения плана ускорения, составим векторное уравнение принимая точку А за полюс:
(6.3.1)
(направлено от точки А к центру О (рис. 6.3.2,а)),
(направлено перпендикулярно звену ОА в сторону направления 
),
(направлено от точки В по звену АВ к точки А (рис. 6.3.2, а), линия действия 
направлена перпендикулярно АВ. Определяем: 
(направлено от В к О1). Линия действия направлена перпендикулярно 
.
Строим план ускорений (рис. 6.3.2,б).
С помощью плана ускорений определяем 
м/с2, 
м/с2.
Определяем угловые ускорения звеньев АВ и О1В:
Для определения направления 
переносим вектор с плана ускорения на схему в точку В и совершаем кратчайший поворот этого вектора до совмещения со звеном АВ.
Для определения направления углового ускорения 
переносим вектор 
с плана ускорения на схему в точку В и совершаем кратчайший поворот этого вектора до совмещения со звеном О1В.
Определим ускорение и 
аналитическим способом, спроектировав векторную сумму (6.3.1) на оси координат (рис. 6.3.2 б).
а) б)
Рис. 6.3.2(а) Схема механизма.(б) План ускорения
Складываем векторы ускорений, пользуясь правилом последовательного сложения векторов согласно равенству (6.3.1).
Проецируем на оси координат:
Х: 
У: 
,
=
.
Определяем полное ускорение точки В
, 
.
ПРИМЕР 6.4
Для заданного плоского механизма (рис.6.4.1) определить скорость и ускорение точек А и В, а также угловую скорость звена АВ двумя способами.
Необходимые данные: ; ОА=2м.
Рис.6.4.1
а) определим скорость точек механизма с помощью мгновенного центра скоростей.
По теореме об определение точек плоского механизма имеем:
Известно, что скорость точки при вращательном движении определяется следующим образом: 
В нашем случае имеем: 
.
Построим положение мгновенного центра скоростей для звена АВ . Для этого покажем на схеме направления скоростей точек А и В. Вектор скорости 
направляется по касательной к траектории движения, т.е. перпендикулярна ОА. Вектор направляется вдоль неподвижной горизонтальной направляющей ползуна В. Восстановим перпендикуляры к 
и , на их пересечении получаем положение мгновенного центра скоростей 
(рис. 6.4.2). Определим расстояние от точек А и В до МЦС:
Рис.6.4.2 Схема механизма с построением МЦС звена АВ.
План скоростей.
Тогда величина искомой скорости точки В определяется предварительно просчитав угловую скорость звена АВ:
б) определим скорость точек механизма с помощью построения плана скоростей.
Известно, что скорость любой точки плоского механизма равна векторной сумме скорости точки, принятой за полюс () и скорости точки вокруг полюса 
:
Анализируем векторную сумму в плане определения каждого вектора по величине и направлению. Так, вектор скорости точки А известен по величине и направлению:
(направлено перпендикулярно ОА в сторону ).
Линия действия 
направлена перпендикулярно АВ: 
Вектор скорости точки В известен только по направлению вдоль неподвижных горизонтальных направляющих.
Строим план скоростей, пользуясь правилом сложения векторов (рис.6.4.2).
Из плана скоростей (рис. 6.4.2) имеем:
в) определим ускорение точек механизма графическим способом.
По теореме об определении ускорения точки при плоскопараллельном движении:
С учетом траекторий и вида движения выполним разложения по направлению на схеме механизма (рис. 6.4.3):
Определим каждое из ускорений по величине и покажем по направлению на схеме механизма:
вектор направляется от точки А по звену ОА к центру вращения точки О (рис. 6.4.3).
вектор 
направляется по касательной в сторону направления (рис.6.4.3):
.
Вектор 
направляется от точки В к А по звену АВ; 
перпендикулярно 
.
Строим план ускорений, пользуясь правилом сложения векторов (см. рис.6.4.3). Из плана ускорения получим
, 
.
г) определяем ускорения точек механизма аналитическим способом.
Проецируем векторную сумму ускорений на оси координат х, у (см. рис.6.4.3)
На ось Х:
На ось Y:
Подставим численные значения:
Угловое ускорение звена АВ:
Рис. 6.4.3. Схема механизма. План ускорения.
ПРИМЕР 6.5
Кривошип О1А вращается с постоянной угловой скоростью 
Определить для данного положения механизма:
¨ скорости всех точек механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;
¨ скорости всех точек механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;
¨ ускорения указанных точек механизма и необходимые угловые ускорения звеньев, с помощью плана ускорений;
¨ положение мгновенного центра ускорений указанного звена.
Необходимые данные:
Таблица 6.5.1
| w, рад | Расстояние, см. | Длина звеньев, см. | ||||||||||
| A | b | c | d | О1А | О2В | О3D | АВ | ВС | СD | СЕ | ЕF | |
Решение:
Изображаем положение механизма согласно данных (рис.6.5.1).
Вводим масштабный коэффициент по длинам:
Рис. 6.5.1. Механизм с указанием направлений скоростей всех точек
Рис. 6.5.2. План скоростей
Определяем скорости точек механизма и угловые скорости звеньев с помощью плана скоростей (рис.6.5.2).
Точка А принадлежит кривошипу О1А, который совершает вращательное движение, поэтому:
Вектор VА направлен перпендикулярно кривошипу О1А в сторону 
.
Введем масштабный коэффициент по скоростям:
Для определения скорости точки В строим план скоростей согласно векторному уравнению:
.
Для этого из произвольно выбранного полюса p проводим луч Оа , в выбранном масштабе скорость точки А. Затем через конец вектора VА проводим направление 
, перпендикулярно звену АВ, а из полюса p проводим направление скорости 
перпендикулярно звену О2В. На пересечении этих направлений получаем точку в, отрезок pв определяет скорость точки В. Измеряем длину луча pв и, пользуясь масштабным коэффициентом по скоростям, получаем:
.
Так как 
, то конец вектора будет находиться на пересечении направлений векторов скоростей 
.
Вектор скорости 
направлен перпендикулярно СА, вектор 
направлен перпендикулярно СВ. Пересечение этих направлений происходит в точке С.
Измерив отрезок pс определим:
С помощью векторного уравнения 
определяем скорость 
, учитывая что вектор скорости 
направлен перпендикулярно DC, 
.
Из соотношения 
определяем 
, а затем 
Для определения 
составим векторное уравнение 
, построим это векторное уравнение на плане скоростей, определив pf.
Определяем угловые скорости всех звеньев:
Определяем скорость точек механизма и угловое скорости звеньев с помощью мгновенных центров скоростей (рис.6.5.3)
Рис. 6.5.3. Построение мгновенных центров скоростей
для звеньев механизма.
Определяем условие скорости звеньев:
Полученные результаты сводим в таблицу 6.5.2
Таблица 6.5.2
| Способ определения | Скорость точек, см/с | Угловые скорости звеньев, рад./с | ||||||||||
| VА | VВ | VС | VD | VE | VF | wABC | wBO2 | wCD | wEF | wO4F | wO5F | |
| План скоростей | 20,5 | 25,5 | 0,57 | 0,96 | 0,81 | 0,58 | 1,27 | 0,18 | ||||
| С помощью МЦС | 8,6 | 25,8 | 0,55 | 0,84 | 0,58 | 1,29 | 0,17 |
Определяем ускорение точек А и В, а также угловое ускорение звена АВ Для этого выделим часть механизма содержащую звено АВ (рис.6.5.4).
Рис.6.5.4.. Часть механизма с указанием направлений
характерных ускорений
Рис.6.5.5. План ускорений
Составим векторное уравнение:
Кривошип О1А вращается равномерно, ускорение точки А направлено к центру О1 и равно:
Вектор 
направляется от точки А к центру вращения О1. Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ направлено от точки В к точке А и равно:
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна О2В направлено от точки В к точки О2 и равно
Ускорения 
и 
определить невозможно, но известны направления этих ускорений:
направлено перпендикулярно АВ, а вектор 
направлен перпендикулярно О2В.
Для определения величины и строим план ускорения. Введем масштабный коэффициент по ускорениям:
Из плана ускорений (рис. 6.25) с учетом масштабного коэффициента определяем:
С помощью полученных данных определяем угловые ускорения звеньев (рис. 6.5.4):
Определяем положение мгновенного центра ускорения звена АВ (рис. 6.5.6.)
Рис.6.5.6. Построение мгновенного центра ускорений
Примем точку А за полюс. Тогда ускорение точки В равно:
Строим параллелограмм ускорений точке В по диагонали 
и стороне 
Сторона параллелограмма 
выражает ускорение точки В во вращении АВ вокруг полюса А. Ускорение составляет с отрезком АВ угол a, который можно измерить на чертеже.
Направление вектора 
относительно полюса А позволяет определить направление 
, в данном случае соответствующее направлению вращения часовой стрелки. Отложив угол от векторов и 
в этом направлении и проведя две полупрямые, найдем точку их пересечения QAB – мгновенный цент ускорений звена АВ.
Задача К-7
Определение скоростей и ускорений точек
Многозвенного механизма
Скорости точек плоской фигуры находятся по теореме о скоростях: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической суше скорости полюса и… , где , VBA=ω·AB.ПРИМЕР 7.1
В механизме, изображенном на рис.7.1, длины стержней равны: l1=0,4м, l2=1,2м, l3=1,4м, l4=0,6м. Заданы угловая скорость и угловое ускорение кривошипа I: ω1=5с-1, ε1=3с-1. Нужно найти VВ, аВ - скорость и ускорение точки В, εАВ –угловое ускорение стержня АВ, VE- скорость стержня E, ωDE- угловую скорость стержня DE [3].
Рис.7.1.
Решение:
Определим скорости. Кривошип I совершает вращательное движение вокруг центра О1.
ПоэтомуVA=ω1l1=2м/с. Скорость 
.
Кривошип 2 также совершает вращательное движение, поэтому 
Кроме того, точки А и В принадлежат одному стержню АВ. 
направлена так, чтобы проекции 
и на АВ имели одинаковую величину и знак. По теореме о проекциях 
, т.е. 
м/c.
Чтобы найти VЕ, найдем сначала скорость точки D. Построим МЦС Р3 стержня АВ, проведя перпендикуляры к 
и 
. Тогда 
и направлена так, чтобы ее проекция на AB имела одинаковый знак с проекцией . Так как равносторонний, то P3A=AB=l3 и угловая скорость стержня АВ:
Из 
находим 
.
Тогда 
Так как точка E принадлежит ползуну, ее скорость 
направлена вдоль направляющих ползуна, причем так, чтобы проекции 
и 
на DE имели одинаковые знаки. Получаем что 
, а по теореме o проекциях скоростей VE cos60°=VD cos60°, т.е. VE=VD=
м/с.
Перпендикуляры к скоростям 
и не пересекаются, у стержня DЕ нет МЦС, значит в данный момент времени стержень DE движется поступательно и ωЕ=0.
Находим ускорения. Так как точка А принадлежит кривошипу I, совершающему вращательное движение, то 
, причем:
, 
.
Нормальное ускорение точки А направлено к оси вращения - к точке О1, касательное ускорение 
А и направлено по ходу углового ускорения 
. Точка В движется по окружности радиуса О2B. Поэтому 
. Нормальное ускорение точки В имеет величину 
и направлено к центру вращения О2 Карательное ускорение точки В 
. Укажем его предположительное направление на чертеже, так как его действительное направление неизвестно.
Но точка В принадлежит также стержню АВ. Приняв за полюс точку А, получим 
, или
+
(7.1)
Найдем нормальное ускорение точки В во вращательном движении стержня АВ вокруг полюса А:
Вектор 
направлен от В к А. Касательное ускорение точки В от вращения стержня АВ вокруг полюса A 
, укажем на чертеже его предположительное направление.
Таким образом, вектора 
, 
известны по величине и направлению, у векторов 
, 
известно только направление, т.е. векторное равенство содержит две неизвестные скалярные величины. Но векторное равенство эквивалентно двум скалярным, которые получим, спроектировав его на оси координат х, у:
, (7.2)
(7.3)
Ось X проведена перпендикулярно вектору 
, поэтому в уравнение проекций на ось X входит только неизвестная 
.
Из уравнения (7.2) находим 
:
м/с2.
Из уравнения (7.3) находим :
м/с2.
Теперь находим 
м/с2.
Так как 
, то 
.
Поскольку 
, а 
, то действительное направление векторов и совпадает с показанным на рисунке. Направление соответствует направлению , укажем его на чертеже.
Проверим правильность решения задачи, решив уравнение (7.1) геометрически. Для этого от некоторой точки Q отложим в некотором масштабе вектор 
(рис.7.1). Через его конец проведем прямую 
. Вдоль этой прямой направлен вектор 
. Теперь из точки Q отложим вектор 
. Из конца вектора проведем 
. От конца вектора 
отложим вектор 
. Через конец вектора проводим прямую 
, вдоль которой направлен вектор 
. Точка пересечения прямых pq и mn дает концы векторов 
и 
. Измеряя эти вектора и учитывая масштаб, получаем =3,1м/с2, =4,8м/с2, что почти совпадает с аналитическим решением.
ПРИМЕР 7.2
Кривошип О1А вращается вокруг оси О1 с постоянной угловой скоростью 
. Для заданного положения механизма построить мгновенные центры скоростей шатунов АВ и ДЕ, найти скорости точек А, В, Д, Е, угловые скорости указанных шатунов и кривошипа О2В, а также ускорение точки В (рис.7.2.1) [3].
Размеры звеньев: О1А=l1=0,6 м; AB=l2=1,5 м; ДЕ=l3 =1,2м; О2В=l4=0,6м, АД=ДВ.
Рис.7.2.1.
Решение:
Звенья О1А и О2В механизма совершают вращательное движение; звенья АВ и ДЕ совершают плоскопараллельное движение.
Скорость точки А звена О1А:
Находим положение мгновенного центра скоростей (МЦС) звена АВ (точки РАВ) рис.7.2.2. Очевидно, что 
. Проводим 
и 
. Точка РАВ - МЦС звена АВ.
Угловая скорость звена АВ:
с-1,
где 
м.
Скорость точек Д и В звена АВ:
где ДРАВ=АД=0,5АВ=0,5l2=0,75м;
ВРАВ=АВcos300=l2cos300=1,3м.
Находим МЦС звена ДЕ (точки РДЕ). Для этого восстановим перпендикуляры 
и 
в точке Д ,Е и найдем точку пересечения этих перпендикуляров РДЕ. Вычисляем угловую скорость этого звена:
где ДРДЕ=ДЕtg600=l3tg600=1,2≈2,08м.
Скорость точки Е звена ДЕ:
где 
м.
Угловая скорость звена О2В:
Ускорение точки А звена О1А:
,
где 
м/с2;
; 
; 
;
м/с2.
Для определения ускорения точки В воспользуемся векторной формулой 
, или:
(7.2.1)
Изображаем векторы ускорений, входящих в эту векторную формулу, на схеме механизма (см. рис. 7.2.2).
Рис.7.2.2.
Вычисляем ускорения 
и :
м/с2;
Проектируя обе части векторной формулы (7.2.1) на оси координат Вху, получаем:
(7.2.2)
Из системы уравнений (7.2.2) находим ускорения и :
м/с2; 
м/с.
Угловые ускорения звеньев АВ и О2В соответственно:
;
.
Ускорение точки В:
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
Задание К 1
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям
Ее движения
К-I, в.I
К-I, в.4
К-I, в.7
Уравнения движения точки: 
; 
(х, у - в см, t – в с.). Найти уравнение траектории точки, а также ее скорость и ускорение в момент времени, когда скорость параллельна оси х.
| К-I, в.8
Определить уравнение траектории, скорость и ускорении середины (точка M) шатуна, если ОА=АВ=4а;  .
|
К-I, в.9
Найти уравнение траектории точки, а также ее скорость и ускорение в момент времени, когда скорость параллельна оси y, если уравнения ее движения заданы: 
; 
(х, у - в м, t - в с.).
К-I, в.10
Найти уравнение траектории, а также определить скорость и ускорение точки в момент пересечения ею оси y, если уравнения движения ее заданы: 
; 
. (х, у - в см, t - в с.).
| К-I, в.11
Дано: АВ=70 см, ОС=35 см, АС=ВС, АМ=15 см,  . Найти уравнение траектории, скорость и уравнение годографа скорости точки М.
|
| К-I, в.12
Дано: АВ=86 см, ОС=45 см, АС=ВС, АМ=25 см, . Найти уравнение траектории, скорость и уравнение годографа скорости точки М.
|
К-I, в.13
Найти уравнение траектории, а также определить скорость и ускорение точки в момент пересечения ею оси х, если уравнения движения ее заданы: 
; 
(х, у - в м, t - в с.).
К-I, в.14
К-I, в.19
Найти уравнение траектории точки, а также ее скорость и ускорение в момент времени, когда скорость параллельна оси y, если уравнения ее движения заданы: 
; 
(х, у - в м, t - в с.).
К-I, в.20
К-I, в.24
Уравнения движения точки: ; 
(х, у - в см, t - в с.). Найти уравнение траектории точки, а также ее скорость и ускорение в момент времени, когда скорость параллельна оси х.
К-I, в.25
Уравнения движения точки: ; (х, у - в см,
t–в с.). Найти уравнение траектории точки, а также ее скорость и ускорение в момент времени, когда скорость параллельна оси х.
К-I, в.26
Найти уравнение траектории, а также определить скорость и ускорение точки в момент пересечения ею оси y, если уравнения движения ее заданы: 
; 
(х, у - в см, t - в с.).
К-I, в.27
Задание К 2
Составление уравнений движения точки и определение ее
Скорости и ускорения
К-2, в.I
Точка движется равноускоренно по дуге окружности радиусом R=4м с начальной скоростью 
. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки через 10 с после начала движения, если путь, пройденный точкой за 30с, равен 155м.
К-2, в.2
Точка движется равноускоренно по дуге окружности радиусом R=3м с начальной скоростью 
. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки через 15 с после начала движения, если путь, пройденный точкой за 30с, равен 320м.
К-2, в.3
Точка движется равноускоренно по дуге окружности радиусом R=5м с начальной скоростью 
. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки через 15 с после начала движения, если путь, пройденный точкой за 40с, равен 165м.
К-2, в.4
Точка описывает криволинейную траекторию по закону 
(S–в м, t - в с.) Найти скорость и полное ускорение точки в момент, когда угол между ними равен 
, если радиус кривизны траектории точки в этот момент равен 25м.
К-2, в.5
Точка описывает криволинейную траекторию по закону 
(t – в с., S - в м). Найти скорость и полное ускорение точки в момент, когда угол между ними равен , если радиус кривизны траектории точки в этот момент равен 8,5 м.
К-2, в.6
Уравнения движения точки заданы: 
; 
(х, у - в м, t - в с.). Найти уравнение траектории и для момента времени 2 с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
К-2, в.7
Уравнения движения точки заданы: 
; 
(х, у - в м, t - в с.). Найти уравнение траектории и для момента времени 3 с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
К-2, в.8
Уравнения движения точки заданы: 
; 
(х, у – в м, t - в с.). Найти уравнение траектории и для момента времени 1 с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
К-2, в.9
Уравнения движения точки заданы: 
; 
(х, у - в м,
t – в с.). Найти уравнение траектории и для момента времени 1с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
К-2, в.10
Уравнения движения точки заданы: 
; 
(х, у - в м,
t – в с.). Найти уравнение траектории и для момента времени 0,5с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
К-2, в.11
Точка М движется по окружности радиусом 3 м по закону 
. Определить полное ускорение точки М в тот момент, когда модуль скорости этой точки равен 12
(S - в м, t - в с.).
К-2, в.12
Уравнения движения точки заданы: 
; 
Найти уравнение траектории и для момента времени 0,5 с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории (х, у - в м, t - в с.).
К-2, в.13
Уравнения движения точки заданы: 
; 
Найти уравнение траектории и для момента времени 1 с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории (х, у - в м, t - в с.).
К-2, в.14
Уравнения движения точки заданы: 
; 
. Найти уравнение траектории и для момента времени 1с. Найти ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории (х, у - в м, t - в с.).
К-2, в.15
Точка движется по окружности радиусом 10м, причем ее нормальное ускорение равно 
. Найти скорость и полное ускорение этой точки и определить закон ее движения по траектории, отсчитывая дугу S от начального положения точки.
К-2, в.16
По окружности радиуса 10м, движется точка по закону . Найти скорость и полное ускорение точки в тот момент, когда угол между ними равен 
. (S - в м, t - в с.).
К-2, в.17
По окружности радиуса 6м, движется точка по закону 
. Найти скорость и полное ускорение точки в тот момент, когда угол между ними равен . (S - в м, t - в с.).
К-2, в.18
По окружности радиуса 10м, движется точка по закону 
. Найти скорость и полное ускорение точки в тот момент, когда угол между ними равен . (S - в м, t - в с.).
К-2, в.19
Точка описывает криволинейную траекторию, перемещаясь по ней по закону 
(S - в м, t - в с.). Найти радиус кривизны траектории и полное ускорение точки в момент, когда вектор скорости, равный по модулю 
составляет с вектором ускорения угол 
.
К-2, в.20
Уравнения движения точки заданы: 
; 
. Найти уравнение траектории и для момента времени 1с. Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории (х, у - в м, t - в с.).
К-2, в.21
Точка описывает криволинейную траекторию по закону 
(t - в с., S - в м). Найти скорость и полное ускорение точки в момент, когда угол между ними равен, если радиус кривизны траектории точки в этот момент равен 6 м.
К-2, в.22
Точка описывает криволинейную траекторию, перемещаясь по ней по закону 
(S - в м, t - в с.). Найти радиус кривизны траектории и полное ускорение точки в момент, когда вектор скорости, равный по модулю 
составляет с вектором ускорения угол .
К-2, в.23
Точка описывает криволинейную траекторию, перемещаясь по ней по закону 
(S - в м, t - в с.). Найти радиус кривизны траектории и полное ускорение точки в момент, когда вектор скорости, равный по модулю 
составляет с вектором ускорения угол .
К-2, в.24
Точка М движется по окружности радиусом 4 м по закону 
Определить полное ускорение точки М в тот момент, когда модуль скорости этой точки равен (S - в м, t - в с.).
К-2, в.25
Точка М движется по окружности радиусом 4 м по закону 
. Определить полное ускорение точки М в тот момент, когда модуль скорости этой точки равен 
(S - в м, t - в с.).
К-2, в.26
Точка движется по окружности радиусом 9,5 м, причем ее нормальное ускорение равно 
. Найти скорость и полное ускорение этой точки и определить закон ее движения по траектории, отсчитывая дугу S от начального положения.
К-2, в.27
Точка движется по окружности радиусом 6 м, причем ее нормальное ускорение равно 
. Найти скорость и полное ускорение этой точки и определить закон ее движения по траектории, отсчитывая дугу S от начального положения.
К-2, в.28
Вагон движется равнозамедленно с ускорением (-0,1
) по закруглению радиусом 350м. Определить полное ускорение вагона через 5с., если его начальная скорость равнялась 19
.
К-2, в.29
Вагон движется равнозамедленно с ускорением (-0,25) по закруглению радиусом 325м. Определить полное ускорение вагона через 15с., если его начальная скорость равнялась 26.
К-2, в.30
Вагон движется равнозамедленно с ускорением (-0,325 ) по закруглению радиусом 395м. Определить полное ускорение вагона через 8с., если его начальная скорость равнялась 29.
Задание К-3
Определение скоростей и ускорений точек
Твердого тела при поступательном и вращательном движении
К-3, в.17
Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
(в рад, t - в с.). Определить скорость и ускорение точки этого тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии 9м, в момент 
с.
К-3, в.18
Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
(в рад, t - в с.). Определить скорость и ускорение точки этого тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии 3м, в момент 
с.
К-3, в.19
Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
(в рад, t - в с.). Определить скорость и ускорение точки этого тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии 4м, в момент 
с.
| К-3, в.20
Задано уравнение прямолинейного поступательного движения груза I:  (x - в см, t - в с.). Найти скорость и ускорение точки М в момент времени 3с, если  см,  см,  см.
|
| К-3, в.21
Линейная скорость точки М 
( - в см/с, t - в с.). Найти скорость и ускорение груза I в момент времени  с, если  см,  см,  см.
|
К-3, в.22
Маховое колесо радиусом 0,6м начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и через 5 минут, от начала движения оно имеет угловую скорость 12,5π 
. Определить, сколько оборотов сделало колесо за это время и ускорение точки обода в момент 3 мин.
К-3, в.23
Маховое колесо радиусом 0,43 м начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и через 15 минут, от начала движения оно имеет угловую скорость 62π . Определить, сколько оборотов сделало колесо за это время и ускорение точки обода в момент 12 мин.
К-3, в.24
Маховое колесо радиусом 1,5 м начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и через 10 минут, от начала движения оно имеет угловую скорость 48π . Определить, сколько оборотов сделало колесо за это время и ускорение точки обода в момент 3 мин.
К-3, в.25
Угловая скорость винта самолета, равная в данный момент 85π , через 12 с после включения мотора становится 44π . Считая вращение пропеллера равнозамедленным, определить его угловое ускорение, а также скорость и ускорение точек винта в момент 
с, если расстояние этой точки от оси вращения 2,8м.
К-3, в.26
Угловая скорость винта самолета, равная в данный момент 58π , через 10с после включения мотора становится 26π . Считая вращение пропеллера равнозамедленным, определить его угловое ускорение, а также скорость и ускорение точек винта в момент 
с, если расстояние этой точки от оси вращения 1,26м.
К-3, в.27
Угловая скорость винта самолета, равная в данный момент 85π , через 3с после включения мотора становится 62с. Считая вращение пропеллера равнозамедленным, определить его угловое ускорение, а также скорость и ускорение точек винта в момент 
с, если расстояние этой точки от оси вращения 3м.
К-3, в.28
Диск паровой турбины, вышедшей из состояния покоя, вращается вокруг неподвижной оси по закону 
, через 3с его угловая скорость 
.Определить угловое ускорение диска, а также скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 12см от оси вращения, в момент времени 1с. (- в рад, t - в с.).
К-3, в.29
Диск паровой турбины, вышедшей из состояния покоя, вращается вокруг неподвижной оси по закону 
, через 2с его угловая скорость 
.Определить угловое ускорение диска, а также скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 9см от оси вращения, в момент времени 2с. (- в рад, t - в с.).
К-3, в.30
Диск паровой турбины, вышедшей из состояния покоя, вращается вокруг неподвижной оси по закону 
, через 2с его угловая скорость 
.Определить угловое ускорение диска, а также скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 15см от оси вращения, в момент времени 2с. (- в рад, t - в с.).
Задание К-4
Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
в случае поступательного переносного движения
| К-4, в.1
Дано:  , ОМ=52см
(- в рад, t - в с.). Определить абсолютную скорость и ускорение точки М при с, если  в этот момент равен 0, а скорость и ускорение тележки направлены влево и соответственно равны 3,5м/с и 15,8м/ .
|
| К-4, в.2
Дано:  , ОМ=38см (- в рад, t - в с.). Определить абсолютную скорость и ускорение точки М при с, если в этот момент равен  , а скорость и ускорение тележки направлены влево и соответственно равны 5,2м/с и 30,7м/.
|
| К-4, в.3
Дано:  , ОМ=28см
(- в рад, t - в с.). Определить абсолютную скорость и ускорение точки М при  с, если в этот момент равен  , а скорость и ускорение тележки направлены влево и соответственно равны 14м/с и 41м/.
|
|
| К-4, в.4
Дано:  , ОМ=25см
(- в рад, t - в с.). Определить абсолютную скорость и ускорение точки М, при с, если в этот момент равен , а скорость и ускорение тележки направлены влево и соответственно равны 12м/с и 107м/ .
|
| К-4, в.5
Известно уравнение переносного движения тела D  ( - в м, t - в с), а также уравнение относительного вращения стержня OM (- рад, t – в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М, при с, если R = 47см.
|
| К-4, в.6
Известно уравнение переносного движения тела D  (- в м, t - в с), а также уравнение относительного вращения стержня OM  ( - в рад, t – в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М при  с, если R=35см.
|
| К-4, в.7
Известно уравнение переносного движения тела D  (- в м, t - в с), а также уравнение относительного вращения стержня OM  (- в рад, t – в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М при с, если R=25см.
|
| К-4, в.8
Известно уравнение переносного движения тела D  ( - в м, t - в с), а также уравнение относительного вращения стержня OM  (- в рад, t – в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М при  с, если R=25см.
|
| К-4, в.9
Кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма равномерно вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости механизма, с угловой скоростью  . Конец А кривошипа соединен шарнирно с ползуном, перемещающемся в прорези ВС, и сообщает кулисе поступательное движение. Определить скорость и ускорение поступательного движения кулисы, если ОА=46см,  .
|
| К-4, в.10
Кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма равномерно вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости механизма, с угловой скоростью  . Конец А кривошипа соединен шарнирно с ползуном, перемещающемся в прорези ВС, и сообщает кулисе поступательное движение. Определить скорость и ускорение поступательного движения кулисы, если ОА=28см,  .
|
| К-4, в.11
Кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма равномерно вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости механизма, с угловой скоростью  . Конец А кривошипа соединен шарнирно с ползуном, перемещающемся в прорези ВС, и сообщает кулисе поступательное движение. Определить скорость и ускорение поступательного движения кулисы, если ОА=38см,  .
|
| К-4, в.12
Кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма равномерно вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости механизма, с угловой скоростью  . Конец А кривошипа соединен шарнирно с ползуном, перемещающемся в прорези ВС, и сообщает кулисе поступательное движение. Определить скорость и ускорение поступательного движения кулисы, если ОА=25см,  .
|
| К-4, в.13
На тележке, движущейся по горизонтали вправо, установлен электрический мотор, ротор которого равномерно вращается вокруг оси О, совершая 324об/мин. Радиус ротора 40 см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки А, лежащей на ободе ротора, в тот момент, когда  , а скорость и ускорение тележки равны 458 см/с и 22 м/.
|
| К-4, в.14
На тележке, движущейся по горизонтали вправо, установлен электрический мотор, ротор которого равномерно вращается вокруг оси О, совершая 635об/мин. Радиус ротора 18см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки А, лежащей на ободе ротора, в тот момент, когда  φ = , а скорость и ускорение тележки равны 312см/с и 14м/.
|
| К-4, в.15
На тележке, движущейся по горизонтали вправо, установлен электрический мотор, ротор которого равномерно вращается вокруг оси О, совершая 158об/мин. Радиус ротора 34см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки А, лежащей на ободе ротора, в тот момент, когда φ =, а скорость и ускорение тележки равны 514 см/с и 31м/.
|
| К-4, в.16
По заданному уравнению переносного движения тела  (- в м, t – в с), а также уравнению относительного движения точки М, ОМ=S= (S - в м, t - в с), определить абсолютную скорость и ускорение точки М при с.
|
| К-4, в.17
По заданному уравнению переносного движения тела  (- в м, t - в с), а также уравнению относительного движения точки М, ОМ=S= (S - в м, t - в с), определить абсолютную скорость и ускорение точки М при с.
|
| К-4, в.18
Уравнение относительного вращения стержня ОМ
 (-в рад, t – в с), уравнение переносного движения тела А  (- в м, t - в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент  с, если R=2м.
|
| К-4, в.19
Уравнение относительного вращения стержня ОМ
 (- в рад, t – в с), уравнение переносного движения тела А  (- в м, t - в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент 1с, если R=4м.
|
| К-4, в.20
На тележке, движущейся по горизонтали вправо, установлен электрический мотор, ротор которого равномерно вращается вокруг оси О, совершая 158 об/мин. Радиус ротора 32см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки А, лежащей на ободе ротора, в тот момент, когда φ =, а скорость и ускорение тележки равны 531 см/с и 37 м/ .
|
| К-4, в.21
На тележке, движущейся по горизонтали вправо, установлен электрический мотор, ротор которого равномерно вращается вокруг оси О, совершая 458 об/мин. Радиус ротора 22 см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки А, лежащей на ободе ротора, в тот момент, когда φ =1,5, а скорость и ускорение тележки равны 212см/с и 41м/.
|
| К-4, в.22
По заданному уравнению переносного движения тела  (- в м, t - в с), а также уравнению относительного движения точки М, ОМ=S= (S - в м, t - в с), определить абсолютную скорость и ускорение точки М при с.
|
| К-4, в.23
По заданному уравнению переносного движения тела  (- в м, t - в с), а также уравнению относительного движения точки М, ОМ=S= (S - в м, t - в с), определить абсолютную скорость и ускорение точки М при с.
|
| К-4, в.24
По известному уравнению переносного движения тела А и уравнению относительного движения точки М найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент с, если ВОМ=600,
( - м, t – в с)  ,
 .
|
| К-4, в.25
По известному уравнению переносного движения тела А и уравнению относительного движения точки М найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент с, если ВОМ=600,
(- м, t – в с)  ,
|
| К-4, в.26
По известному уравнению переносного движения тела А и уравнению относительного движения точки М найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент с, если ВОМ=600, ( - м, t – в с)  ,  .
|
| К-4, в.27
Уравнение относительного вращения стержня ОМ  (- в рад, t – в с), уравнение переносного движения тела А  (- в м, t – в с). Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент с, если R=6м.
|
| К-4, в.28
Уравнение переносного движения кольца  ( -в м, t-в с). Уравнение относительного движения точки М в прорези кольца:  ( - в м, t – в с),  м. Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент  с, если   для этого момента равен 90.
|
| К-4, в.29
Уравнение переносного движения кольца  (-в м, t-в с). Уравнение относительного движения точки М в прорези кольца  ( - в м, t – в с),  м. Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент с, если  для этого момента равен  .
|
| К-4, в.30
Уравнение переносного движения кольца  (-в м, t-в с). Уравнение относительного движения точки М в прорези кольца:  (- в м, t – в с),  м. Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент , если для этого момента равен /2.
|
| К-4, в.31
Уравнение переносного движения кольца  (-в м, t-в с). Уравнение относительного движения точки М в прорези кольца:  (- в м, t – в с),  м. Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент с, если для этого момента равен  .
|
Задание К-5
Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
В случае плоскопараллельного и вращательного переносного движения
Задание К-6
Определение скоростей точек твердого тела
При плоском движении
Задание К-7
Определение скоростей и ускорений точек многозвенного механизма
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тарг С.Н. Краткий курс теоретической механики / С.Н. Тарг. – М.: Высш. шк., 1995. – 415 с.
2. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учеб. пособие для втузов. Изд. 3-е / Под общей редакцией А.А. Яблонского. – М.: Высш.шк., 1978. – 388 с.
4. Кобылин Г.В. Методическое пособие по выполнению расчетно-графической работы по теоретической механике. Раздел: Кинематика. – М, 1975. – 28 с.