Так как преобразования Галилея оказались неверными, то приходиться предполагать, что преобразование координаты времени, могут иметь самый общий вид.
Основным свойством пространства и времени, является их однородность и изотропность.
Однородность означает, что все точки пространства и времени находятся в равном положении. То есть, физические законы не должны зависеть от того, где мы выберем начало системы координат, и когда выберем начало отсчета времени.
Изотропность означает, что физический закон не зависит от выбора направления осей координат.
Рассмотрим пространственный интервал между двумя близкими точками, вдоль оси :
Так как пространство и время однородно, то полученное выражение не должно зависеть от выбора начала отсчета системы координат , от выбора начала отсчета .
Это означает, что все частные производные являются константами.
Пусть при начало систем отсчета совпадает, тогда .
То же самое касается и всех остальных функций.
Пусть (точка лежит в плоскости ), тогда , при любых и .
Должно выполняться при любых - это возможно, если
Пусть твердое тело длиной , неподвижно в системе :
, где - длина стержня в системе , в которой стержень движется со скоростью .
Пусть стержень неподвижен в системе , тогда , где- длина стержня в системе, в которой он движется с , а длина стержня, движущегося со скоростью , будет .
Получается, что два равенства будут совпадать, если .
Таким образом . То же самое с осью : ().
Так как формулы преобразования и не зависят от и , и наоборот, то:
С другой стороны , если .
Из этого следует:
С другой стороны:
,если , тогда:
Пусть неподвижный стержень находится в системе :
Х
Тогда , где координаты начала и конца, можно определить в различные моменты времени, так как стержень неподвижен.
Чтобы определить длину стержня в системе , в которой он движется с , надо определять координаты в один и тот же момент времени.
Тогда:
Пусть стержень неподвижен в системе:
Сравнивая полученные выражения:
Пусть в начальный момент времени , когда совпадали начала систем отсчета, из начала систем отсчета стал распространяться свет, скорость которого в обеих системах одинакова и равна . Тогда координаты точки до которой дойдет свет через некоторое время, в системе : ,а в системе : .
Полученные преобразования называются преобразованиями Лоренца.