Кинематика твердого тела.

Твердым телом называется тело, расстоянием, между любыми точками которого всегда постоянно.

Число независимых переменных, необходимое для определения положения тела, называется числом степеней свободы.

Для определения положения материальной точки надо задать три ее координаты (X,Y,Z), таким образом, у материальной точки – 3 степеней свободы.

Для того, чтобы полностью определить положение тела, необходимо определить положение трех точек, не лежащих на одной прямой.

1 3

Каждая точка обладает тремя степенями свободы, но при этом не все из них независимы, так как они должны удовлетворять трем условиям, из которых следует, что расстояние между точками одинаково. Таким образом, независимых переменных будет шесть (9-3) и для описания произвольного движения твердого тела надо знать шесть переменных, для которых необходимо шесть уравнений.

Пусть (X,Y,Z) – неподвижная система отсчета, а (,,) – система отсчета, оси которой жестко связаны с твердым телом.

Тогда в точке i в системе XY будет , а в системе - .

=+, где - радиус-вектор начала системы в системе XY.

Рассмотрим случай, когда при движении твердого тела, оси системы все время остаются параллельными самим себе – такое движение называется поступательным.

Для определения положения твердого тела в этом случае, достаточно задать три координаты начала системы , то есть при поступательном движении тело обладает тремя степенями свободы.

при любом движении твердого тела постоянен по величине. При поступательном движении будет сохраняться и его направление.

Тогда скорость точки i () :

==+= = - скорость начала системы .

Все точки твердого тела, при поступательном движении, движутся с одинаковыми скоростями.

===ускорение всех точек твердого тела при поступательном движении одинаково.

Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой, которую поместим в начало обеих систем отсчета. Такое движение называется изменением ориентации.

Для определения положения твердого тела в этом случае пользуются тремя углами Эйлера: (тетта), (пси), (фи).

линия узлов

В частном случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, эту ось совмещают с осями Z ии =0, и положение твердого тела определяет - движение вращения.

Очевидно, что при изменении ориентации =, тогда ==

постоянен по величине, но меняется по направлению.

В основе описания движения твердого тела лежит теорема Эйлера, из которой следует, что любое конечное положение твердого тела можно получить из начального положения одним поворотом вокруг неподвижной оси.

Теорема Эйлера справедлива для любых углов поворота, как конечных, так и бесконечно малых, однако конечные углы и бесконечно малые, отличаются по свойствам, как результат двух последовательных конечных поворотов, зависит от их порядка, а у бесконечно малых – нет.

Рассмотрим изменение ориентации твердого тела за бесконечно малый интервал времени . Положение твердого тела в этом случае изменилось незначительно и по теореме Эйлера его можно получить из первоначального положения одним бесконечно малым поворотом на вокруг неподвижной оси. Такое изменение ориентации твердого тела, можно однозначно определить вектором бесконечно малого поворота, величина которого равна величине угла поворота, а направление совпадает с осью поворота по правилу правого винта.

При обозначении угла , используется специально, чтобы подчеркнуть, что угол бесконечно малого поворота не является дифференциалом угла, так как конечный угол не может быть вектором, потому что сумма двух векторов не зависит от порядка сложения, а у конечных поворотов это не выполняется.

Угловой скоростью твердого тела называют отношение угла бесконечно малого поворота к интервалу времени, за которое поворот произошел.

Направление вектора совпадает с вдоль оси.

В общем случае, проекция на осях X,Y,Z можно выразить через углы Эйлера и их производные. В простейшем случае вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Z: