------
* * *
Вычислим циркуляцию произвольного вектора с по замкнутому контуру в виде прямоугольника с бесконечно малыми сторонами и
|
|
Будем считать, что величина dx и dy настолько малы, что значение вектора с на каждой стороне контура во всех точках одинаково.
(1)
так как dS направлена вдоль оси z, то ….
Рассмотрим циркуляцию вектора с по произвольно замкнутому контуру. Для этого разобьем поверхность ограниченную контуром на бесконечно малом. ds. Вычислим циркуляцию вектора с по каждому моменту прямоугольника площадью ds по формуле , и затем сложим циркуляции по всем внутренним сторонам в сумме дадут 0 и останется только циркуляция по тем сторонам прямоугольника, которые совпадут с контуром.
- т. Стокса
Теорема Стокса позволяет выяснить физический смысл ротора вектора. Для этого в качестве примера рассмотрим вектор скорости жидкости в водоёме.
Если движения жидкости в водоёме ламинарное (без турбулентности), то циркуляции вектора по любому замкнутому контуру будет = 0
|
т. О ротор с можно рассматривать, как поверхностную плотность источников вихревого движения поля с. Рисунок
Если ротор с не = 0, то поле называется вихревым.
Потенциальным полем мы называем поле, которое можно представить в виде градиента скалярной функции , заметим ротор любого градиента всегда = 0.
т. О ротор любого потенциального поля будет = 0.
,если ротор поля = 0, то поле потенциальное.
* * *
Формулы
, так как это равенство должно выполняться для любых поверхностей S, то из равенства интегралов, следует равенство подынтегральных выражений
Формула