Закон Био-Савара-Ласпласа.

В §2.4 было показано, что , а это означает, что можно представить в виде ротора некоторого вектора

 

, где - векторный потенциал, так как дивергенция любого ротора всегда =0

Заметим, что вектор определяется не однозначно, он определяется с точностью до градиента производной функции, т.е

Для того, чтобы выбор векторного потенциала был однозначен введём ещё одно условие ( дивергенция) (§2.4) , так как , то

a b c

 

dV

Для решения этого уравнения заметим, что в §1.3 мы написали решение для электростатического потенциала:

 

 

 

Так как дифференцирование происходит по переменным ,а интегрирование по , то порядок дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. При этом надо учесть, что ( при дифференцирование )

 

 

Для осей y и z тоже самое получится

 

Рассмотрим магнитное поле, которое создаётся тонким проводником, но которой течёт ток I постоянный по сечению, тогда . Где S-площадь сечения проводника.

 

 

 

При определении вектора подынтегральное выражение будет отличаться от нуля только в тех местах, где dV совпадает с проводником, поэтому интеграл по всему пространству в этом случае превращается в интеграл по объёму проводника:

Введём вектор , величина которого dl это длинна бесконечно малого участка проводника, а направление совпадает с направление тока в проводнике, то есть с направление.

Тогда в подынтегральном выражение можно поменять местами векторы:

 

 

-закон Био-Савара-Ласпласа