Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой. Для описания движения такого тела необходимо 3 независимых переменных (так как у него 3 степени свободы). Для нахождения этих переменных нужно три скалярных уравнений. В качестве этих рассмотрим:
, где - сумма моментов внешних сил, действующих на тело.
i
Момент импульса твердого тела называется:
- квадрат расстояния от оси , до точки i.
Тогда, - момент инерции твердого тела относительно оси .
Переобозначим:
Точно так же:
Набор из девяти коэффициентов:
Называется тензором инерции твердого тела.
Диагональные элементы тензора – моменты инерции твердого тела, относительно соответствующих осей , которые жестко связаны с твердым телом.
Положение этих осей в твердом теле можно выбирать произвольно. При каждом новом выборе будут меняться коэфицентов тензора инерции.
Из математики известно, что существуют такие оси , при которых тензор инерции принимает диагональный вид (). Такие оси называются осями инерции, а диагональные элементы тензора называются главными моментами инерции.
Пусть оси совпадают с осями инерции твердого тела, тогда:
Отсюда следует:
; .
Полученные уравнения называются уравнениями Эйлера и полностью описывают движение твердого тела с неподвижной точкой.