И всегда положительна в любой системе отсчета.

 

dr

3.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)

Энергию, которой обладает тело взаимодействуя с другими телами называют потенциальной.

Потенциальной энергией обладает, например, тело поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина.

Найдем потенциальную энергию системы из двух тел испытывающих гравитационное взаимодействие. Пусть два тела с массами m₁ и m₂ под действием силы гравитационного притяжения перемещаются относительно друг друга (рис. 3.3). Будем считать, что тело массой m₁ покоится, а изменение расстояния между телами происходит в результате перемещения тела массой m₂. Тогда работу совершает лишь сила , действующей на тело массой m₂. Сила зависит от расстояния между телами r и равна гравитационной силе взаимодействия.

.

Элементарную работу силы на бесконечно малом перемещении тела

.

где G = 6,67*10^-11 Нм²/кг²- гравитационная постоянная.

 

Полная работа при перемещении второго тела к первому на расстояние r₂

(3.6)

Работа силы гравитационного взаимодействия при изменении расстояния между телами зависит только от начального и конечного положения тел и не зависит от формы траектории перехода из начального положения в конечное.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются неконсервативными (силы трения, силы сопротивления при движении тела в газе или жидкости).

Величина в соотношении (3.6) является функцией параметров состояния одного тела относительно другого и называется потенциальной энергией их взаимодействия. Изменение потенциальной энергии не зависит от формы траектории тела при его переходе из одного состояния в другое.

Работа силы гравитационного взаимодействия положительна, так как и направлены одинаково. Однако, численное значение 1-го слагаемого в соотношении (3.6) меньше численного значения 2-го слагаемого r₁ > r₂. Неравенство Е_п1 – Е_п2 > 0 будет выполнено, если Е_п1 и Е_п2 будут отрицательны:

,

где С – постоянная интегрирования.

Постоянная интегрирования С находится из условия, что при потенциальная энергия взаимодействия двух тел Е_п = 0, тогда 0 = − 0 + С, и

С = 0.

Потенциальная энергия двух взаимодействующих тел с массами m₁ и m₂ находящихся на расстоянии r друг от друга

. (3.7)

Энергия, как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях (Дж).

Потенциальная энергия взаимодействующих тел связана с консервативной силой, обусловливающей это взаимодействие.

Предположим, что тело под действием силы переместилось в произвольном направлении на бесконечно малое расстояние dr (рис. 4.4). Тогда работа

, (3.8)

 

где - проекция силы на направление .

Так как сила F консервативна, то для нее справедливо соотношение

,

Сравнивая последнее равенство с (4.8) получим

 

,

. (3.9)

Из последнего равенства следует:

1) если в направлении потенциальная энергия возрастает , то . Это означает, что направление силы образует с направлением угол а проекция этой силы противоположна направлению возрастания потенциальной энергии;

2) если потенциальная энергия вдоль убывает , то , угол между и направлением а проекция силы совпадает с направлением убывания потенциальной энергии.

Изменение потенциальной энергии связанно с проекциями силы соотношениями:

.

 

Зная проекции силы , можно записать вектор силы в декартовой системе координат:

,

или

(3.10)

 

Вектор, стоящий в скобках, называется градиентом потенциальной энергии.

 

Консервативная сила, действующая на тело, равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии.

Градиент потенциальной энергии – это вектор, быстрейшего возрастания потенциальной энергии модуль которого равен ее изменению.