Модули касательного и нормального ускорения находятся из соотношения
, (1.38)
где единичный вектор, направленный по касательной к точке траектории в сторону движения м.т. (рис 1.11), а - вектор мгновенной скорости .
Первое слагаемое в (1.11) равно касательному ускорению,
, ,
второе - нормальному
(1.39)
Вектор касательного ускорения может совпадать с вектором мгновенной скорости и может быть ему антипараллелен . В первом случае движение будет ускоренным, а во втором – замедленным.
Рассмотрим перемещение материальной точки по траектории из точки в точку. (рис 1.7) За малый интервал времени единичный вектор в точке А2 равен сумме
,
где – единичный вектор, определяющий направление движения в точке А1, – вектор изменения направления движения. Треугольник , образованный векторами и , равнобедренный, т.к. =1. При , угол между векторами и уменьшается и стремится к нулю, а угол между векторами и увеличится до . Следовательно, вектора и направлены к центру кривизны траектории и совпадает с вектором нормали к скорости ().
Модуль вектора нормального ускорения определяется из треугольников и DC. Эти треугольники равнобедренные и подобные, т.к. при где – радиус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников
. (1.40)
Для бесконечного малого интервала времени,
Вектор можно представить в виде . Тогда вектор нормального ускорения
, (1.41)