По дискретным каналам

 

Принципы передачи непрерывных сообщений

 

Подавляющее большинство сообщений являются непрерывными (речь, ТV и т.п.). Однако, в настоящее время, основным способом передачи непрерывных сообщений является их передача с помощью дискретного канала.

Преимущества дискретной передачи:

· высокая помехозащищенность;

· удобство хранения и переработки при помощи ЭВМ.

Основной способ передачи непрерывных сообщений по дискретным каналам - это импульсно-кодовая модуляция (ИКМ). Она включает в себя три основные операции:

1. Дискретизация по времени.

2. Квантование по уровню.

3. Кодирование.

 

Дискретизация непрерывных сообщений по времени

 

Рассмотрим сообщение (рис.4.1)

Рис. 4.1

где, Т - шаг временной дискретизации, причем, если Т-const, то имеет место равномерная дискретизация, а если Т-var, то - неравномерная.

Переход от непрерывного сообщения к дискретному осуществляется с потерей информации. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным значениям на приемной стороне и устранение потерь информации зависит от параметров дискретизации (шага Т), способа восстановления сигнала и от свойств сигнала.

Условие передачи информации без потерь осуществляется с помощью теоремы Котельникова.

Теорема:

Если непрерывное сообщение имеет ограниченный спектр частот в пределах от 0 до f_в, то оно может быть передано без потерь информации дискретными во времени отсчетами, следующими с частотой 2f_в, т.е. с шагом дискретизации T=1/2f_в.

При этом исходное сообщение должно восстанавливаться полиномом следующего вида

(4.1)

где

x(kT) - дискретные во времени отсчеты сигналов в моменты kT, k=0,1,2,... .

f(kT) -функция отсчетов, которая имеет следующий вид (рис.4.2)

(4.2)

Рис. 4.2

Основные свойства отсчетной функции:

· При t=kT, функция равна 1.

· При t=lT, (l¹k), функция равна 0.

· Ортогональна, т.е.

(4.3)

где k¹l (рис.4.3)

Рис.4.3

Для реальных сигналов условия теоремы Котельникова в строгом смысле слова не выполняются.

1. Все реальные сигналы ограничены во времени и имеют неограниченный спектр, т.е. f_в=µ.

2. В соответствии с рядом Котельникова восстановление осуществляется по бесконечному числу отсчетов (-µ £ k £ µ).

3. Поскольку сигнал восстанавливается по бесконечному числу отсчетов функций, то его восстановление осуществляется с бесконечной задержкой во времени.

Несмотря на эти недостатки, теорема Котельникова имеет фундаментальное значение, так как позволяет определить предельные возможности дискретной передачи сигналов.

Пример.

Передается речевой сигнал в полосе частот DF (от 0 до 3000 Гц). Время передачи Dt = 10 сек. Каждый дискретный отсчет кодируется 5 двоичными разрядами.

Определить минимальный объем памяти, требуемый для хранения информации Wзу = ?.

T=1/2DF=1/6000=0,00016 с., следовательно, число отсчетов на интервале Dt: N=Dt/T=10/0,00016=60000.

Объем ЗУ Wзу =60000 ´ 5 = 300000 бит.

На практике теорема Котельникова используется в следующем виде:

1. Определяют эффективную ширину спектра f_э.

2. Вычисляют шаг дискретизации T=1/2f_э.

3. На приемной стороне восстанавливается сигнал по следующей формуле

, (4.4)

Dt - длительность сигнала; Т - шаг дискретизации; b =Dt/Т - база сигнала.

Определение шага временной дискретизации при восстановлении сигнала полиномами 0-го порядка

 

Восстановление по Котельникову всегда связано с задержкой сигнала, что неприемлемо в системах работающих в реальном масштабе времени.

Для восстановления сигнала в реальном масштабе времени необходимы способы восстановления с экстраполяцией (предсказанием) сигнала. При этом могут использоваться полиномы различной степени. Простейший полином - 0-й степени. Рассмотрим этот случай (рис.4.4, 4.5).

 

 

Рис.4.4

Требуется определить Т, при котором погрешность восстановления не превышает допустимых пределов, т.е. s_в £ (s_в)_{допуст.}

Для этого необходимо знать:

· наибольшее значение сигнала по модулю - êx ê_max,

· эффективную ширину спектра сигнала f_э.

Рис.4.5

,

где - модуль максимальной 1-й производной.

Для ее оценки нужно оценивать f_э. Это можно сделать с помощью неравенства Бернштейна.

x(t)= sin 2pf_эt; .

При t=0 наихудшее значение . .

 

С учетом неравенства Бернштейна можно получить

(4.5)

Надо на основании Dх получить s_в.

(4.6)

где D_в -дисперсия; w_в(х) - закон распределения погрешности дискретизации (плотность вероятности); х - параметр интегрирования. Рассмотрим равномерный закон распределения (рис.4.6)

 

Рис.4.6

(4.7)

Подставляя (4.7) в (4.5) получим

 

Методика выбора шага дискретизации Т

1. По заданному значению êx ê_max и f_э при помощи неравенства Бернштейна определяем .

2. По заданной величине (s_в)_допуст определяем наибольшее отклонение сигнала за время Т

3. Определяем требуемый шаг

 

Определение шага дискретизации Т при заданной автокорреляционной функции

Рассмотрим рис.4.7

Рис.4.7

Из рисунка видно, что ошибка

e(t)=y(t)-x(t)=x(t-T)-x(t)=x(t*)-x(t*-T)=x(t)-x(t+T) Введено обозначение t*=t-T.

Дисперсия этой ошибки

(4.8)

В выражении (4.8):

первое слагаемое - Dx=Kx(0), второе слагаемое - Dx=Kx(0), третье слагаемое - 2Kx(T).

Пусть x(t) - стационарный сигнал. Он однороден во времени и его характеристики от него не зависят. Тогда

De = 2Kx(0) - 2Kx(T).

. (4.9)

Методика определения шага дискретизации состоит в разрешении уравнения (4.9) относительно Т.

АКФ Кх(t) является более содержательной характеристикой, чем эффективная полоса частот. Поэтому, определение шага дискретизации по уравнению (4.9) является более точным, чем по неравенству Берншейна.

 

Квантование непрерывных сигналов по уровню

 

Квантование необходимо для того, чтобы от непрерывного сигнала перейти к цифровому. Процесс квантования сводится к округлению бесконечного множества значений сигнала до ближайших оцифрованных значений, называемых уровнями квантования.

В отличии от временной дискретизации, когда в соответствии с теоремой Котельникова погрешность дискретизации может быть ³ , квантование по уровню связано с возникновением неустранимой погрешности квантования.

Рассмотрим рис.4.8

Рис. 4.8

Доказано, что погрешность квантования представляет собой случайную величину, равномерно распределенную в пределах шага h и аддитивную по отношению по отношению к квантованному сигналу.

Поэтому, вместо квантователя можно использовать эквивалентную схему (рис.4.9)

Рис.4.9

Математическое ожидание m_r=0. Дисперсия погрешности квантования D_r = h²/12. СКО погрешности

 

Методика определения параметров квантования исходя из заданной s_r=(s_r)_доп

Пусть известен диапазон амплитудных значений сигнала |x|_max.

Необходимо найти число уровней квантования К и число двоичных разрядов N.

1. По заданной погрешности квантования определяем шаг

2. Далее определяем число уровней квантования K= ]|x|_max/h[.

3. И, наконец, находим число двоичных разрядов N=]lb K[.

 

Среднее квадратичное отклонение ошибки ИКМ