Определение прочности однонаправленных КМ

с непрерывными волокнами в направлении армирования

Исходными данными для расчета являются (рис. 4.3):

1) диаграмма истинных напряжений s = f(e) волокна (1);

2) диаграмма истинных напряжений матрицы (2).

Диаграмма истинных напряжений КМ (3) подлежит определению. Она состоит из трех участков:

I – матрица и волокна деформируются упруго;

II – матрица переходит в упругопластическое состояние, волокна продолжают деформироваться упруго;

III – оба компонента системы находятся в состоянии пластической деформации.

Рис. 4.3. Исходные данные для расчета:

1 – диаграмма истинных напряжений волокна;

2 – диаграмма истинных напряжений матрицы;

3 – диаграмма истинных напряжений КМ

 

Примем, что прочность связи на границе раздела «волокно - матрица» достаточна для обеспечения совместной деформации вплоть до разрушения, т.е.

e_м = e_в = e_к. (4.1)

Степени деформации матрицы (e_м), волокна (e_в) и композиции (e_к) равны.

Тогда внешняя нагрузка, воспринимаемая композиционным материалом в направлении армирования Р_хк, равна сумме нагрузок, приходящихся на матрицу Р_хм и волокна Р_хв:

Р_хм + Р_хв = Р_хк (4.2)

(растяжение вдоль оси х). Воспользовавшись тем, что силу можно представить как произведение напряжения на площадь поперечного сечения, равенство (4.2) перепишем в виде

s_хмF_м + s_хвF_в = s_хкF_к, (4.3)

где s_хм, s_хв, s_хк – растягивающие напряжения в матрице, волокне и всей композиции в направлении оси х; F_м, F_в, F_к – поперечное сечение матрицы, волокна и композиции соответственно.

Разделив обе части уравнения (4.3) на F_к, получим

s_хмV_м + s_хвV_в = s_хк, (4.4)

где V_м = F_м/F_к; V_в = F_в/F_к – объемные доли матрицы и волокна в композиционном материале.

Удельная объемная доля волокна в композиционном материале,

равная отношению площади поперечного сечения волокна к площади поперечного сечения однонаправленного композиционного материала, называется степенью армирования КМ V_в = F_в/F_к. В том случае, если КМ армирован волокнами в различных направлениях, тканями или другими видами армирующих материалов, степень армирования определяется отношением объема армирующего материала к объему композиционного материала.

Учитывая, что V_м + V_в = V_к, уравнение (4.4) можно записать в следующем виде:

s_хк = s_хвV_в + s_хм(1-V_в). (4.5)

Переходя к предельным напряжениям, уравнение (4.5) можно записать так:

s_{в хк} = s_{в хв}V_в + s¢_хм(1-V_в). (4.6)

Здесь s_{в хв} – среднее значение предела прочности волокна при растяжении; s¢_хм – напряжение в матрице в момент разрыва волокон.

Следует уяснить, что s¢_хм – это не предел прочности матрицы, а напряжение, соответствующее деформации, равной предельной деформации волокон до разрушения e_{в пред}. Для определения s¢_хм необходимо из точки с, соответствующей максимальной деформации волокон, опустить перпендикуляр на ось e. Ордината точки D и даст s¢_хм.

На практике принятые допущения часто изменяются, так как волокна разрушаются не одновременно, а последовательно из-за наличия в них дефектов. Волокна с большими дефектами разрушаются при низких напряжениях, далеких от предела прочности, волокна с меньшими дефектами разрушаются при больших напряжениях, а в целом прочность композиции будет несколько ниже рассчитанной по формуле (4.5).

То же можно сказать в случае, когда матрица имеет недостаточный запас пластичности, что приводит к появлению трещин на границе раздела и в теле матрицы и к преждевременному разрушению КМ в целом.

Оптимальная объемная доля волокон

В соответствии с уравнением (4.5) прочность КМ должна повышаться пропорционально объемной концентрации волокон V_в.

Обычно при V_в > 0,7…0,75 (содержание матричного материала 30…25% и менее) матричный материал не полностью смачивает и склеивает между собой все волокна в единое целое. При этом КМ проявляют склонность к образованию трещин и расслоений, наблюдается неодновременное разрушение волокон и прочность КМ резко падает. Поэтому степень армирования V_в = 0,7…0,75 следует считать максимально возможной для большинства композиционных материалов.

С другой стороны, при очень малых V_в хрупкие волокна не смогут ограничить деформацию матрицы и разрушаются, а матрица еще будет иметь запас прочности и воспринимать нагрузку. В этом случае прочность КМ может быть ниже прочности неармированной матрицы, поскольку введение волокон равносильно введению в матрицу нитевидных пор. Если волокна практически не работают (s_хвV_в = 0), зависимость прочности композиции от объемной доли волокон (4.5) выразится формулой

s_вк = s_вм(1 – V_в), (4.7)

где s_вм – предел прочности матрицы (волокна не работают и s_вв®0).

Зависимость прочности КМ от концентрации волокон по уравнению (4.6) (прямая 1) и (4.7) (прямая 2) показана на рис. 4.4.

 

Рис. 4.4. График зависимости прочности КМ от степени армирования

 

Объемная доля волокон, соответствующая точке пересечения этих прямых, называется минимальной объемной концентрацией волокон. Ей соответствует минимальная прочность КМ. Значение минимальной объемной доли волокон можно найти, приравняв выражения (4.6) и (4.7) и решив полученное уравнение относительно V_min:

s_вв V_min + s¢_м(1-V_min) = s_вм(1-V_min), (4.8)

. (4.9)

Из формулы (4.9) и рис. 4.6 следует, что существует такая объемная доля волокон (V_min), при которой прочность КМ может быть меньше прочности неармированной матрицы. Рассчитывать эту величину нет необходимости.

Критической объемной долей волокон V_кр называют такую объемную долю, при которой прочность КМ становится равной прочности неармированной матрицы. Начиная с этой степени армирования прочность КМ постепенно увеличивается.

Величину V_кр можно рассчитать, приравняв в уравнении (4.6) прочность КМ к прочности неармированной матрицы:

s_вв V_кр + s¢_м(1-V_кр) = s_вм, (4.10)

отсюда

. (4.11)

Для более рационального армирования значение V_кр желательно иметь как можно меньшим, чтобы достичь упрочнения при небольшой объемной доле волокон. На практике этого добиваются, вводя в матрицу волокна с пределом прочности, значительно превышающим s¢_м. Эта величина для пластичных матриц обычно близка к их пределу текучести.

При низкой прочности волокон критическая степень армирования может превышать 50%. В этом случае упрочнение наблюдается при степени армирования более 50%.

Максимальная степень армирования выбирается из условия качественного смачивания материалом матрицы всех волокон. Она обычно равна 0,7…0,75. При больших степенях армирования КМ перестает работать как монолитный материал, волокна могут разрываться поочередно и прочность КМ интенсивно падает, что приведет к разрушению.

Прочность однонаправленных КМ в поперечных направлениях (в направлениях, перпендикулярных направлению волокон) определяется прочностью матричного материала. При условии высокой адгезии материала матрицы к волокнам и монолитности материала поперечная прочность равна пределу прочности матрицы.

Определение модуля упругости однонаправленных КМ в направлении

армирования и в поперечных направлениях

Предполагается, что модули упругости армирующих волокон (Е_в) и матричного материала (Е_м) известны.

Из закона Гука следует, что

s_хк = Е_к×e_к; s_хв = Е_в×e_в; s_хм = Е_м×e_м, (4.12)

где Е_к , Е_в, Е_м – модули упругости композиционного материала, волокон и матрицы соответственно.

Подставив значения напряжений из (4.12) в (4.5) и сократив все члены на относительную деформацию (e_к =e_в=e_м), получим уравнение для расчета модуля упругости КМ в направлении армирования х:

Е_хк=Е_в×V_в+Е_м(1-V_в). (4.13)

Для определения модуля упругости КМ в направлении, перпендикулярном волокнам Е_ук, следует отметить, что напряжения в направлении у в КМ, волокнах и матрице равны:

s_ук = s_ув = s_ум . (4.14)

Абсолютная деформация КМ (Dу_к) представляет собой сумму абсолютных деформаций волокна (Dу_в) и матрицы (Dу_м):

Dу_к = Dу_в + Dу_м . (4.15)

Учитывая то, что абсолютная деформация D = le, уравнение (4.15) можно записать так:

e_укl_ук = e_увl_ув + e_умl . (4.16)

Разделив все члены этого уравнения на l_ук и учитывая то, что , а , уравнение (4.16) можно записать в виде

e_ук= e_ув V_в + e_ум V_м . (4.17)

Из закона Гука следует

; ; . (4.18)

Подставим значения деформаций из (4.18) в (4.17) и с учетом (4.14) сократим все члены уравнения на s_ук = s_ув = s_ум , в результате получим

, (4.19)

отсюда

. (4.20)

Подставив V_м = (1-V_в), получим значение модуля упругости однонаправленного КМ в направлении, перпендикулярном к направлению волокон Е_у:

. (4.21)

Аналогично по известным характеристикам компонентов можно определить модуль сдвига КМ, коэффициент Пуассона, коэффициент линейного температурного расширения КМ в направлении армирования и в направлении, перпендикулярном к волокнам, и другие характеристики КМ.