Сходящихся сил методом проекций

 

Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора . Договоримся обозначать буквой О начало отсчета значений величин по оси, а буквами х, у, z—наименования осей; положительный отсчет вести по направлению от О к х у или к z), а отрицательный отсчет — в противоположную сто­рону. Пусть заданы сила и ось Ох (рис. 6, а). Проекция силы на ось Ох выражена длиной отрезка ab, где, как видно из рисунка, а—проекция точки А начала вектора = АВ и b—проекция точки В - конца вектора - на ось. Отсчет длины проекции (от а к b) в данном случае совпадает с положительным направле­нием оси, значит, проекция ab положительна.

Проекцию силы на ось условимся обозначать той же буквой P с добавлением индекса, обозначаю­щего наименование оси, на которую сила проецирует­ся, т. е. проекцию силы на ось х обозначим Px . Если обозначение силы имеет какой-нибудь индекс, то и у обозначения проекции этот индекс сохраняется; например, проекции силы или обозначаются соответственно P1x или P2x.

Из рис. 6, а видно, что Px = ab, но ab = AC, a из ∆ АСВ следует, что AC = Pcosa. Таким образом,

Px = Pcosα,

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Выражение проекции силы через ее модуль является общим для какого угодно расположения силы относительно оси. Например, сила образует (рис. 6, б) с положительным направлением оси угол α , который π/2< α <π. Следовательно,

P1x = P1 cosα = P1 cos(π - β ) = - P1 cos β.

Итак, проекция P1x отрицательна, если отсчет длины проекции от точки а1 к точке b1 противополо­жен положительному направлению оси. Если α = 0 (рис. 6, в), т. е. сила параллельна оси и направлена в сторону положительного отсчета оси, то cos 0 =1 и поэтому P2x = P2cos 0 = P2, если угол α = π, т. е. сила параллельна оси, но направлена противоположно положительному отсчету оси, то cos π = - 1 и P3x = P3 cos π = —P3; если угол α = π /2, т. е. сила перпендикулярна оси, то cos (π /2) = 0 и P4x = = P4cos(π /2) = 0.

 


 

Рис. 6. Проекции вектора силы на ось.

 

При решении задач, в которых фигурирует плос­кая система сходящихся сил, как правило, необ­ходимо определять проекции сил на две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу. Все сказанное о проекциях на ось Ох справедливо и для проекций сил на ось Оу.

Так, если сила (рис. 7) образует с положи­тельным направлением

осей х и у соответственно углы α x = (, x) и α у = (, у), то

Pkx = Pkcоs αх и Pkу = Pkcos αy; но αy=( 90˚- α x), тогда Pkу=Pksin α x.

По заданным проекциям силы на оси может быть определен и сам вектор силы (ее модуль и на­правление).

Допустим, проекции Pkx и Pky силы известны, тогда из ∆ АСВ (рис. 7) видно, что модуль силы Pk = .

Рассмотрим теперь определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проек­ций. Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE, в котором вектор =— искомая равнодействующая данной системы (рис. 8). Выбрав систему координатных осей х и у в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси.

Проекции сил на ось х:

P1x = а1b1 , P2x = b1cl , P3x = c1d1 и P4x = d1e1 .

Проекции сил на ось у:

P1y = a2b2 , P2y = b2c2 , P3y = c2d2 и P4y = d2e2 .

Для наглядности проекции на рис. 8 показаны рядом с осями, несколько смещенными относительно них, причем положительные проекции вынесены выше (проекции на ось х ) или правее (проекции на ось у ), а отрица­тельные соответственно ниже или левее.

Одновременно с проецированием сторон силового многоугольника, равных заданным силам, получены и проекции равнодействующей:

Из рис.8 видно, что

Р= а1е1 = — a1b1 + b1cl + cl dl — d1e1; Р= а2е2 = a2b2 + b2c2 - c2 d2 — d2e2.

Выше было показано, что система сходящихся сил уравновешена тогда, когда ее равнодействующая =0. Очевиден факт, что в этом случае равны нулю ее проекции на координатные оси х и у , т.е. условие равновесия может быть записано в виде

Р= =0;

Р= =0.

Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

 

Рис. 7. Определение силы

по заданным проекциям . Рис. 8. Определение равнодействующей

системы сходящихся сил методом проекций.

 

 

Эти формулы называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Следовательно, для решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил мы имеем два уравне­ния. Эти уравнения позволяют определить две неизвест­ные величины. Если же задача содержит неизвестные в количестве, превышающем число уравнений равнове­сия, то эту задачу нельзя решить методами статики абсо­лютно твердого тела. Задачи подобного типа называют статически неопределимыми