ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

 

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Электронный учебник по физике

КГТУ-КХТИ. Кафедра физики. Поливанов М.А., Старостина И.А., Кондратьева О.И., Казанцев С.А.

 

Для перемещения по тексту электронного учебника можно использовать:

1- нажатие клавиш PgDn, PgUp,­, ¯ для перемещения по страницам и строкам;

2- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному тексту для перехода в требуемый раздел;

3- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному значку @ для перехода в оглавление.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Кинематика поступательного и вращательного движения

1.1. Система отсчета. Радиус-вектор материальной точки.

1.2. Кинематические характеристики и уравнения движения материальной точки

1.3. Частные случаи движения

1.4. Кинематические характеристики вращательного движения

1.5. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками

Динамика поступательного движения

2.1. Масса тела, силовое поле, сила

2.2. Законы И.Ньютона

2.3. Закон сохранения импульса

2.4. Центр масс. Закон движения центра масс

2.5. Принцип реактивного движения. Уравнение движения тела с переменной массой

2.6. Энергия, работа, мощность

2.7. Кинетическая и потенциальная энергии

2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы

2.9. Закон сохранения и превращения энергии в механике

Динамика вращательного двихения

3.1. Основные характеристики динамики вращательного движения

3.2. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела

3.3 Основное уравнение вращательного движения вокруг неподвижной оси

Колебательное движение

4.1. Основные характеристики гармонического колебания

4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании

4.3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов

4.4. Затухающие колебания

4.5. Вынужденные колебания. Механический резонанс

Волновые процессы

5.1. Понятие о волнах. Виды волн.

5.2. Волновое уравнение. Уравнения и характеристики волн.

5. 3. Энергия волны. Перенос энергии.

5. 4. Принцип суперпозиции волн. Явление интерференции.

Элементы релятивисткой механики

6.1. Преобразования Галилея и механический принцип относительности

6.2. Постулаты специальной (частной) теории относительности

6.3. Преобразования Лоренца

6.4. Следствия преобразований Лоренца

6.5. Основной закон динамики релятивистской частицы

6.6. Взаимосвязь массы и энергии. Закон сохранения энергии в релятивистской механике

Общая теория относительности

Предмет физики. Греческое слово «physis» в переводе означает «при­рода», поэтому наука о природе, наука, изучающая общие закономерности яв­лений… Развитие физики и, в частности, механики было обусловлено потребностями… Большинство естественных наук имеют специальные физические разде­лы: астрофизика - в астрономии, биофизика - в…

Механика - часть физики, изучающая закономерности механического движе­ния и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Механиче­ское движе­ние - это изменение взаимного расположения материальных точек, тел или их час­тей в пространстве с течением времени.

Механика, изучающая движение макроскопических тел со скоростями, значи­тельно меньшими скорости света в вакууме (с=3×10⁸м/с), называется клас­сической механикой Галилея-Ньютона. Законы движения макроскопических тел со скоростя­ми, сравнимыми со скоростью света, изучаются релятивисткой механикой, в основе которой лежит специальная теория относительности А.Эйнштейна.

Законы движения и взаимодействия микрочастиц (атомов, элементарных час­тиц), обладающих двойственной природой (они обладают и свойствами час­тицы, и свойствами волны), описываются с помощью квантовой механики, которая была разработана М.Планком, Э.Шредингером, В.Гейзенбергом, П.Дираком. Квантовая механика делится на нерелятивистскую квантовую механику, изучающую движение микрочастиц со скоростями, значи­тельно меньшими скорости света и релятивистскую квантовую механику, изу­чающую движение микрочастиц со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Механика делится на три раздела: статику, кинематику, динамику. Ста­тика изучает законы равновесия системы тел. Она подробно изучается в курсе теоретиче­ской механики. Поэтому в предлагаемом пособии этот раздел мы опускаем.

 

1. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. @

 

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, вызываю­щие это движение.

Простейшим примером механического движе­ния является движение матери­альной точки. Матери­альная точка – это модель реального тела, раз­мерами… Тело отсчета – это тело, услов­но принятое за неподвижное. Система отсчета –… Пусть точка М движется в пространстве. На рис.1.1 представлены тело от­счета О и связанная с ним прямоугольная…

Вектор ускорения в данный момент времени определяется как первая производная от вектора скорости по времени или вторая производная от ради­уса-вектора по времени.

Поскольку скорость величина векторная, она может изменяться как по вели­чине, так и по направлению. Изменение вектора скорости можно представить в виде суммы двух слагаемых векторов и т.е. =+, где - изменение скорости по величине, - изменение скорости по направле­нию за промежуток времени Dt. Поэтому вводят две составляющие ускорения: - тангенциальное или касательное ускорение, - нормальное ускорение. Полное ус­корение , где - характеризует изменение скорости только по величине, а - характери­зует из­менение скорости только по направлению. На основании вышеизложенного можно записать мгновенное ускорение

,

Тангенциальное ускорение численно равно первой производной от ско­рости по времени и направлено по касательной к траектории в данной точке. Вот почему называется еще касательным ускорением.

Учитывая, что , можно геометрическими построениями и расчетами получить. Вектор перпендикулярен траектории в данной точке (направлен по радиусу кривизны траектории к центру), отсюда его название – центростремительное ускорение. Полное ускорение численно равно

.

Вектор является диагональю прямоугольника со сторонами и (рис.4.1).

 

1. 3. Частные случаи движения.@

1. Равномерное прямолинейное движение: ;;; .

Уравнение движения: или ; ; .

2. Прямолинейное равнопеременное движение: , ;

При равноускоренном движении а>0, при равнозамедленном а<0. Уравнение движения: или

, , .

Уравнение пути, пройденного точкой при равнопеременном движении, можно получить при интегрировании формулы по времени от 0 до t.

3. Прямолинейное переменное движение: ,

4. Равномерное криволинейное движение: ,

5. Равномерное движение по окружности: , , , . Этот вид движения следует рассмотреть подробнее.

 

1. 4. Кинематические характеристики вращательного движения. @

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, назы­ваемой осью вращения.

Пусть точка или абсолютно твердое тело за время Dt, вращаясь вокруг неподвижной оси ОО’, пе­решло из положения 1 в 2, повернувшись на угол Dj. Скалярная величина Dj есть угловой путь (рис.5.1). Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы. Модуль такого вектора равен углу поворота dj, а направление оп­ре­деляется по правилу правого винта: если винт вра­щать в направлении движения точки по окруж­ности, то поступательное движение его острия указывает направление вектора . Такие вектора, направление которых связывается с направлением вращения, на­зы­ваются псевдовекторами. Быстрота вращения характеризуется вектором угловой скорости, направ­ленной вдоль оси вращения как и . Средняя угловая скорость . Мгновенная угловая скорость . Изменение со временем определяет вектор углового ускорения. Среднее угловое ускорение . Мгновенное угловое ускорение ; . При вращении тела вокруг неподвижной оси изменение вектора обу­словлено только изменением его численного значения. Поэтому направлен вдоль оси вращения. Если вращение ускоренное, то направления и совпадают (e>0); если за­медленное – то они противоположны (e<0). При равнопеременном движении точки по окружности (e=const) , , где j₀ – начальный угол поворота, w₀ – на­чаль­ная угловая скорость.

 

1. 5. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристика­ми. @

Пусть за малый промежуток времени dt материальная точка повернулась от­носительно оси вращения на малый угол dj (рис.6.1). По ранее приведенной формуле линейная скорость . При малых углах поворота перемещение dr можно счи­тать равным произведению радиуса вращения r на угол поворота dj, т.е. . Отсюда =rw. В векторном виде связь линейной скорости и угловой можно представить с помощью векторного произведения , . При вращении вокруг неподвижной оси угол между векторами и равен , следовательно . Отсюда можно получить еще одно выражение для тангенцального ускорения . Учитывая направление, связь тангенциального и углового ускорений можно запи­сать в векторном виде , а также для или . Знак «минус» в формуле обусловлен противо­положной направленностью векторов и .

Если вращение равномерное, то , и его можно характери­зовать периодом вращения Т. Т – время одного полного оборота точки (тела) вокруг оси.

; ; ;

n – число оборотов в единицу времени, частота вращения. При равномер­ном вращении , .

 

 

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. @

Динамика – это раздел механики, который изучает движение совместно с причинами, вызывающими или изменяющими это движение. В основе динами­ки лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г.

 

2.1. Масса тела, силовое поле, сила. @

Масса тела (материальной точки) – скалярная физическая величина, одна из основных характеристик материи. Она определяет ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. Доказано, что инертная и гра­витационная масса равны.

Поле физическое или силовое поле – есть форма существования материи, посред­ством которой осуществляются взаимодействия между макроскопичес­кими телами или частицами, входящими в состав вещества. К физическим по­лям относятся гра­витационное, электромагнитное, поле ядерных сил. Источниками полей служат не­заряженные и заря­женные тела, постоянные магниты, контуры с током, ядра атомов и т.д.

Причиной изменения движения тел является силовое воздействие.Сила - вектор­ная физиче­ская величина, являющаяся мерой воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате чего тело либо приобретает ускорение, либо деформирует­ся. Взаимодействие тел возможно как при соприкосновении, так и на расстоянии, благодаря силовым полям. В каждый момент времени сила характеризуется число­вым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Силы, связанные с перечисленными выше физическими полями, являются первичными, их называют фундаментальными силами. Имеется также множество вторичных сил, которые являются комбинацией фундаментальных сил (в основном – электромагнитные). Например, это силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия, силы трения, силы деформации и др.

Гравитационное поле – это поле сил взаимодействия (притяжения) тел, имеющих массу. И. Ньютон установил, что для материальных точек формула величины силы гравитации имеет вид , где G- гравитационная постоянная, m₁ и m₂ – массы взаимодействующих точек, r- расстояние между ними.

Электромагнитное поле – это поле сил взаимодействия (притяжения или отталкивания) тел, имеющих электрический заряд. Формулы этих сил будут рассмотрены при изучении электрических и магнитных явлений.

Ядерное поле – это поле сил взаимодействия элементарных частиц, из которых состоят атомы и молекулы. Эти силы действуют только на очень малых расстояниях, их свойства рассматриваются при изучении ядер атомов.

 

2.2. Законы И.Ньютона. @

Классическая динамика базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона: Если на материальную точку не действу­ют силы или приложенные силы взаимноуравновешены (т.е. суммарная или результирующая сила равна нулю), то материальная точка бу­дет находиться в состоянии покоя (=0) или равномерного прямоли­нейного дви­жения (=const).

Понятия движения и покоя относительны и зависят от выбора системы от­счета. Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямоли­нейного движения называется инертностью. Первый закон Ньютона назы­вают законом инерции. Система отсчета, в которой он выполняется, считается инер­циальной. Экс­периментально установлено, что гелиоцентрическую систему от­счета можно считать инерциальной, а геоцентрическая, строго гово­ря, не­инерциальна. Однако, для решения многих простых задач и ее счита­ют инерциальной.

Второй закон Ньютона.Скорость измене­ния импульса движущейся материальной точки (тела) равна действующей на нее силе:

.

Векторная физическая величина равная произведению массы точки на вектор скорости называется импульсом (количеством движения) точки .Пос­лед­нюю формулу можно записать в виде , где - элементарный им­пульс силы, действующий на точку (тело), - изменение импульса точки (тела). Если на точку (тело) действует постоянная сила , то из преды­дущей формулы имеем . Умножим обе части равенства на dt и интегрируя обе части равенства, получим

, .

Изменение импульса тела под действием постоянной силы равно произведению этой силы на время ее действия или импульсу силы.

Кроме общей формулировки II закона Ньютона часто используют формулировку для случая, когда масса не меняется со временем. Учитывая, что , второй закон Ньютона можно записать в виде: или .

Ускорение, приоб­ретаемое телом с постоянной массой под действием силы, прямо пропорционально этой силе, сов­падает с ней по направлению и об­ратно пропорционально массе тела.

С математической точки зрения первый закон Ньютона представляет частный случай второго закона Ньютона, так как если результирующая сила равна нулю =0, то =0, =0 и (либо =0). Причиной того, что I закон выделен в особый за­кон, является то, что на пер­вый взгляд он противоречит неко­торым наблюде­ниям. Например, движущийся ав­томо­биль при выключении мотора останавли­вается, а не продолжает двигаться с посто­янной скоростью. Это объясня­ется наличием еще двух сил: сопротивление воздуха и трение автомобильных шин о поверхность дороги. Они-то и сообщают автомо­билю отрицательное ускоре­ние, вследствие которого он останавливается.

Большое значение в механике имеет принцип независимости действия сил: Если на точку (тело) действует одновременно несколько сил, то каждая из них со­общает точке свое ускорение, независимо от других сил. Результирую­щее уско­рение равно векторной сумме ускорений. Для n дейст­вующих сил, это записывается в следующем виде

, .

Результирующая сила равна векторной сумме сил, действующих на тело. В этом заключается принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил.

Пример: Пусть тело малых размеров (материальная точка) массой m падает вниз около поверхности Земли. Если не учитывать силы трения о воздух, которая… Пример: Пусть на упругом тросе поднимают груз массой m (Рис.2.1). На него… В проекциях на выбранную ось y уравнение примет вид . Отсюда .

Соединяющей эти точки

.

Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегдадействуют па­рами и являются силами одной природы. Закон справедлив для описания взаимодействия покоящихся тел, а также в случае контактных взаимодействий.

Пример: Пусть тело массой m лежит на горизон­тальной поверхности.

Тело действует на нее с силой , направленной верти­кально вниз. Поверхность же действует на тело с силой (реакция опоры), равной по модулю силе . На тело также действует сила тяжести. Так как тело находится в покое то, очевидно, = - и все эти силы равны по модулю (рис.2.2.).

 

2. 3. Закон сохранения импульса. @

Рассмотрим общий случай - систему n взаи­модействующих материальных точек (тел). На каждое тело действуют внутренние и внешние силы. Силы взаимодействия между телами системы называются внутрен­ними, а силы, которые действуют со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему, называются внешними. Массы точек - m₁, m₂, ..., m_n, скорости их движения - v₁, v₂,...,v_n. Пусть - внутренние силы, действующие на первую точку со стороны второй, третьей и т.д. - внешние силы, действующие на пер­вую, вторую и т.д. материальные точки (рис.2.3.).

Так как внутренние силы являются силами взаимодействия между телами, то они должны подчиняться третьему закону Ньютона .

Рис.2.3. Силы взаимодействия в системе n материальных точек.

Запишем II закон Ньютона для каж­дого из n тел:

. . . . . .

.

 

Если просуммировать эти уравнения по всем телам и учесть, что при двойном суммировании внутренних сил, согласно третьему закону Ньютона

, то получаем , где , .

Если система замкнутая, т.е. на нее не действуют внешние силы, то , , т.е. .

Это выражение является законом сохранения импульса. Суммарный импульс замкнутой системы точек (тел) не меняется с течением вре­мени.

  Систему ружье-пуля можно считать изолированной системой и к ней приме­ним… Т.к. m<<M, то v>>v0; знак «минус» указывает на противоположную направленность скоростей. Эксперименты…

Простейшей форме движения – меха­нической, соответствует меха­ни­ческая энергия. Она характеризует способность тела или системы тел совершать работу и измеряется количе­ством работы, ко­торую при опре­деленных (заданных) условиях может совершить система. На­пример, катя­щийся шар, сталкиваясь с неко­торым телом, перемещает его, т.е. со­вершает работу. Растянутая пружина, со­кра­ща­ясь после устранения дефор­мирующей силы, совер­шает работу по перемещению своих частей (витков). Следователь­но, катящийся шар и растянутая пружина обла­дают механической энергией.Про­цесс изменения механической энер­гии тела под действием силы называется процес­сом совершения работы. Прираще­ние энергии тела в этом процессе называется работой силы, отсюда следует общее соотношение, связывающее работу и изменение энергии

А=Е₂-Е₁,

Где: А – со­вершаемая работа, Е1 и Е2 - энергии системы в на­чальном и конечном состояниях.

Сила F называется консервативной, если совер­шаемая ею работа не за­висит от формы траектории, а зависит от на­чального и конечного поло­жений точки… Для характеристики скорости совершения работы вводится понятие мощно­сти.… Для движущихся тел можно получить формулу мгновенной мощности

В результате получаем связь между Еп и F, в векторной форме ее записывают сокращенно в виде

где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скаляр­ной величины Еп и обозначается grad (Еп). 2.9. Закон сохранения и превращения энергии в механике. @ В 1748 г. М.В.Ломоносов сформулировал закон сохранения материи и движе­ния. Через 100 лет Р.Майер и Г.Гельмгольц дали…

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси есть ска­лярная физическая величина равная произведению массы этой точки на квадрат кратчайшего рас­стояния от нее до оси вращения .

Чтобы рассчитать момент инерции твердого тела, его мысленно разбивают на n материальных точек с массами Dm₁, Dm₂,..., Dm_n, находящихся на расстояниях r₁, r₂,..., r_n от оси вращения. Момент инерции твердого тела J, вращающегося вокруг неподвижной оси ра­вен алгебраической сумме моментов инерции всех точек, из которых состоит тело . При непрерывном распределении масс тела эта сумма сводится к интегралу , где V - объем тела, r – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения. На основании этой формулы рассчитываются моменты инерции тел различной формы. Например: 1) полый тонкостенный цилиндр или обруч радиуса R, массой m и осью вра­ще­ния, совпадающей с осью симметрии ; 2) сплошной цилиндр или диск радиуса R, массой m и осью вращения, совпа­дающей с осью симметрии ; 3) шар радиуса R, массой m и осью вращения, проходящей через его центр . Приведенные примеры показывают, что момент инерции тела зависит от его массы, формы, геометрических размеров, его расположения относительно оси вра­щения, распределения массы по объему тела.

Расчет моментов инерции тел относительно осей, не совпадающих с осью сим­метрии более сложен. В таких случаях применяется теорема Штейнера: мо­мент инерции любого тела относительно произвольной оси ОО¢ равен сумме момента инерции этого тела J_O относительно оси АА¢ , параллельной данной и проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис.3.1) .

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется вектор­ная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора, про­веденного из точки О в точку приложения силы, на век­тор силы: .

Рис.3.2. Момент силы относительно непод­вижной точки.

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и. Его направление совпада­ет с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к (рис.3.2). Модуль момента силы

, - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Если к точке А приложено несколько сил, то результирующий будет равен векторной сумме моментов слагаемых сил:

 

Момент силы, действующей на тело относительно неподвижной оси z, есть ска­лярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, опреде­ленно­го относительно произвольной точки О данной оси z (рис.3.3) .

Рис.3.3. Момент силы относительно непод­вижной оси.

Значение момента M_z не зависит от положения точки О на оси z. Если ось z совпа­дает с направлением вектора , то момент силы равен .

Момент импульса (количества движения) матери­альной точки А относительно неподвижной точки О есть векторная физическая величина, определяемая векторным произведением двух векторов: радиуса-вектора, прове­денного из точки О в точку А, и импульса материальной точки

.

Направление вектора совпадает с направлением посту­па­тельного движения правого винта при его вращении от к(рис.3.4).

Рис.3.4. Момент им­пульса относительно неподвижной точки.

Модуль вектора , a - угол между векторами и , l - плечо вектора (или ) относительно точки О.

Моментом импульса точки относительно неподвиж­ной оси z называется скалярная величина L_z равная проек­ции на эту ось вектора мо­мента импульса, определенного относительно произволь­ной точки О данной оси , где угол между вектором и осью z.

Момент импульса твердого тела есть векторная сумма мо­ментов импульса всех точек, из которых состоит тело. Если число точек системы равно n, тогда .

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси угловые скорости w всех его точек равны, угол между векторами и равен и все вектора на­правлены по оси вращения в одну сторону. Отсюда модуль вектора тела равен , ,

.

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловую скорость.Направления векторов и совпадают и.

 

3. 2. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. @

Найдем работу при вращательном движении твердого тела. Пусть ось враще­ния проходит через точку О, находящуюся на расстоянии r от точки приложения силы С, а a ‑ угол между векторами и (рис.3.5). При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения силы проходит путь dS=rdj. Работа силы равна произведению проекции силы вдоль смещения Fsin(a) на величину этого смещения r dj . . Но F×r×sin(a ) = M - момент силы. Таким образом: работа силы при вращении тела вокруг неподвижной оси равна произведе­нию момента действующей силы на угол поворота dA = Mdj.

Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, мысленно его разобьем на n материальных точек с массами m₁, m₂,...,m_n, нахо­дящихся на расстояниях r₁, r₂,...,r_n от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, уг­ловые скорости всех его точек одинаковы

.

Линейные скорости точек будут разные , и т.д. Кинетическая энергия вращающегося тела Е_к.вр равна

;

.

Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии. dA=dЕ_к.вр, следовательно работу можно пред­ставить как разность кинети­че­ских энергий ко­нечного и начального положений

Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует в двух дви­жениях : по­ступательном и вращательном, и его кинети­чес­кая энергия

.

 

3. 3. Основное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. @

Воспользуемся соотношением, приведенным выше dA=dE_вр, т.е.

Поделим обе части равенства на dt:

и так как , а , то или

В векторном вид или представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. Угловое ускорение, приобретаемое телом при вращении его вокруг неподвиж­ной оси, прямо пропорционально вращающему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела. По форме оно сходно с уравнени­ем II закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что при вращательном движе­нии роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое уско­рение, роль силы - момент силы.

Ранее получено, что . Возьмем первую производную по времени от этого равенства

.

Это выражение есть вторая (более общая) форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела: Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему мо­менту всех внешних сил, (оно сходно с законом динамики по­ступательного движения: ).

Если на тело не действуют внешние силы или система тел замкнутая, то мо­мент сил и , откуда и получаем закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным во вре­мени. Аналогом его в поступательном дви­жении является закон сохранения импульса замкнутой системы тел. Закон со­хранения момента импульса справедлив и для тел, размеры, форма и момент инер­ции которых могут меняться в ходе движения. Поскольку величина , то при уве­личении момента инерции J, угловая скорость w умень­шается и наоборот. К примеру, акробат, совершая переворот в воздухе, чтобы уве­личить угловую скорость своего вращения, группируется, т.е. прижимает к себе руки и ноги. При этом его момент инерции уменьшается.

 

4. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. @

4.1. Основные характеристики гармонического колебания. @

Колебательным движением называется процесс, при котором система мно­го­кратно от­клоняясь от своего состояния равновесия, ка­ж­дый раз вновь возвраща­ется к нему. Промежуток времени Т, спустя который процесс полностью повторяет­ся, называется пе­риодом колебания.

Колебательные движения широко рас­про­странены в природе и технике. Качание ма­ят­ника часов, вибрация натянутой струны, мор­ские при­ливы-отливы, тепловые колебания ио­нов кристал­лической решетки твердого тела, переменный электрический ток, свет, звук. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различа­ют свободные незатухающие (или собственные) колебания, затухающие колебания, вынужденные ко­ле­бания, автоколе­ба­ния.

Свободные колебания происходят в систе­ме, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения рав­новесия. Простейшим свободным периодическим механическим колебанием является гармониче­ское колебательное движение точки (тела), при котором зависимость смещения из положения равновесия S от времени t описывается уравнениями:

или ,

А - амплитуда колебаний или максимальное смещение из положения равновесия, w₀ - круговая (циклическая) частота, - фаза колебаний в момент времени t, j - начальная фаза колебаний или фаза в момент времени t=0. Такие колебания происходят под действием так называемых квазиупру­гих сил. Квазиупру­гие силы - это силы, имеющие такую же закономерность, как и сила упругости.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колеба­ния, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер близкий к гармони­ческим; 2) различные периодические процессы можно представить как сложение не­скольких гармонических колебаний.

Через время Т фаза колебания получит приращение и колебательный про­цесс повторяется: , откуда . Число полных колебаний в единицу времени есть частота колебаний n, для нее вытекают соотношения , .Так как значения синуса и косинуса изменяются в пределах от +1 до -1, S при­нимает значения от +А до -А.

 

4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании. @

Скорость гармонического колебания есть первая производная от смещения S по времени t. Пусть , тогда

. Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на p/2. Так как максимальное значе­ние косинуса равно 1, максимальное значение скорости равно .

Ускорениеа гармонического колебания есть первая производная от скорости v по времени t.

. Ускорение сдвинуто по фазе относительно смещения на p. Так как максимальное значе­ние синуса равно 1, то максимальное значение модуля ускорения равно . На рис.4.1. представлены графики зависимости S, v и a от времени. Для удобства изображения начальная фаза принята равной нулю j=0, т.е. .

Связь ускорения и смещения можно получить, если в формуле для ускорения множитель заменить на S, получим .

Сила, действующая на колеблющуюся матери­альную точку массой m по II за­кону Ньютона равна

, .

Отсюда следует, что сила пропорциональна смеще­нию материальной точки и про­ти­воположна ему по направлению, такую силу называют квазиупругой. Согласно полученному выражению для силы можно сказать, что гармоническое колебание – это колебание, которое происходит при действии на тело квазигармонической силы.

Так как. , то и .

Полученное выражение называют дифференциальным урав­нением гармонических колебаний, с точки зрения математики это линейное однородное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решениями являются: либо .

Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом колебании равна

Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом колебании под действием упру­гой силы, согласно ее определению, равна

Полная энергия колеблющейся точки

Полная энергия не зависит от времени. Следовательно, при гармонических ко­лебаниях выполняется закон сохранения механической энергии.

4. 3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов. @

Тела, которые при движении совершают гармонические ко­лебания, называют гармоническими осциляторами. Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.

Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m, способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (mпружины<<mтела) пружины (рис.4.2).

Трением в системе пренебрегаем. При смещении тела на расстояние х от положе­ния равновесия О на него дейст­вует сила уп­ругости пружины, направленная к положению равновесия: , где k - коэффициент упругости (жесткости) пружины. По второму закону Ньютона . От­сюда и, если обозначить , тогда получим дифференциальное урав­нение гармонических колебаний. Его решения имеют вид либо . Таким образом, колебания пружинного маятника - гармонические с циклической час­тотой и периодом .

Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совер­шаю­щее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной го­ризон­тальной оси, не совпадающей с его цен­тром тяжести С (рис. 4. 3). Ось проходит через точку О. Если маятник откло­нить от положения равновесия на малый угол a и отпус­тить, он будет совершать ко­лебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела , где J - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в поло­жение равно­весия. Он создается силой тяжести , ее момент равен (l=ОС). В результате получаем . Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда , или, принимая , получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника . Его решения имеют вид или. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом .

Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), уп­ругой, нерастяжимой нити длинною l. Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол a, а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml², то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

, .

4. 4. Затухающие колебания. @

В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутству­ют в лю­бой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.

Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды при­во­дит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колеба­ния с уменьшающейся во времени амплитудой.

Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления F_C пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению , где r - коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний , , . Обозначим ,. Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:

.

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь w₀ - собственная частота колеба­ний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0, b - коэффициент зату­хания оп­ределяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии b<w₀ являются

либо .

График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции , А₀ - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону, b - коэффициент зату­хания по величине обратен времени релакса­ции t, т.е. вре­мени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как

, , bt = 1, . Частота и период затухающих колебаний ,; при очень малом сопротивлении среды (b²<<w₀²) период колебаний практически ра­вен . С ростом b период колебаний увеличивается и при b>w₀ решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.

Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра : декремент затухания D и логарифмический декремент l. Декремент затуха­ния показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время од­ного периода Т.

Натуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический декремент l

. Так как, то , где N - число колебаний за время.

4. 5. Вынужденные колебания. Механический резонанс. @

Если на колеблющуюся систему действует периодически изменяющаяся сила, то колебания называются вынужденными. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
.

Дифференциальное уравнение, получаемое из второго закона Ньютона, с учетом этой силы следует записать в виде

или . Решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний является , причем w - частота вынужденных колебаний совпадает с частотой колебания вынуждающей силы, а амплитуда вынужденных колебаний - А явля­ется сложной функцией от w и b.

.

Зависимость ам­плитуды от w и b представлены на рис.4.5 (b₁>b₂>b₃). При w=0 все кри­вые сходятся в одной точке оси ординат . При различных значениях b амплитуд­ные кривые имеют максимумы, кото­рые со­ответст­вуют частотам w₁,w₂,...,w₀. Явление возрастания, а затем убывания амплитуды колеба­ний при изменении частоты на­звано механическим резонансом, а частоты w₁, w₂, ... , w₀, которым соот­ветст­вуют максимумы амплитуды, называют резонанс­ными часто­тами w_рез. Чтобы определить их значения, необ­ходимо найти максимум для функции амплиту­ды или, что то же самое, минимум подко­ренного выражения (). Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв нулю, получим усло­вие, определя­ющее w_рез .

Это уравнение имеет три решения: w=0 и ± . Физический смысл имеет лишь положительное значение. Следователь­но, резонансная частота w_рез=, при b®0, w_рез®w₀. Если в формулу для амплитуды А подставить выражение w_рез=, получим резонансное значе­ние А_рез .

Другая особенность вынужденных колебаний - это сдвиг фазы, а именно вы­ну­жденные колебания отстают по фазе на j от вынуждающей силы на величину j, ждя которой .

Величина сдвига фаз зависит от частоты w и коэффициента затухания b. Вынужден­ные колебания и вынуждающая сила имеют одинаковую фазу лишь при b=0, во всех реальных случаях b¹0 и j¹0. При w=w₀ для любых значений b сдвиг фазы равен, т.е. вынуждающая сила опережает по фазе вынужденные колебания на . При w>>w₀ j®p, т.е. фазы силы и колебаний противоположны.

Явление механического резонанса необ­хо­димо учитывать при конструировании раз­лично­го рода сооружений : машин, кораблей, самолетов, мостов и др. Если, напри­мер, соб­ственная частота w₀ вибраций корпуса корабля или крыльев самолета сов­падает с частотой колебаний, возбуждаемых вращательным движением гребного винта или пропеллера возникнет механический резонанс, который может привести к разруше­нию. Однако явление резонанса имеет и положительное применение, например, в ра­диотехнике - для выделения нужного сигнала и множества других, отличаю­щихся по частоте, в акустике - для усиления звучания музыкального инструмента и т.д.

Для решения многих технических задач большой интерес представляют авто­колебания. Это незатухающие колебания в реальной колебательной системе, осу­ще­ствляемые под влиянием внешнего переменного воздействия, частота которого равна собственной частоте системы. В автоколебательной системе существует источник энергии, от которого периодически подается в систему энергия, компенсирующая ее убыль. Примером такой системы являются часы, где раскручи­вающая пружина или опускающиеся гирьки является источником энергии, а анкерное усройство под­талкивает маятник часов в такт к его колебаниями.

 

5. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ @

 

5.1. Понятие о волнах. Виды волн. @

Если какую-либо частицу упругой среды заставить колебаться, то благодаря взаимодействию между частицами, соседние частицы тоже начнут колебаться, такой процесс вовлечения частиц в колебательное движение будет охватывать со временем все большее число частиц. Процесс рас­пространения колебаний в среде называется волновым процессом или волной. В таком процессе сами частицы среды не перемещаются на большие расстояния, они только совершают колебания около положений равновесия, причем частицы в разных точках ко­леблются с некоторым сдвигом по фазе.

Различают поперечные и продольные волны. Волна называется поперечной, если колебания частиц среды происходят в направлении, перпен­дикулярном к направлению распространения волны. Примеры поперечных волн: распространение колебаний атомов в узлах кристаллической решетки твердого тела, колебания величин электрического и магнитного полей при распространении электромагнитных волн, волны на поверхности воды и т.д. Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят около положений равновесия вдоль направления распространения волны. Примеры продольных волн: колебания в пружинных системах, распространение колебаний атомов в газах и жидкостях (распространение звуковых волн), такие колебания также возникают и в твердых телах.

Волны также делят по виду волновых поверхностей на плоские, сферические и др. Волновая поверхность ‑ это геометрическое место точек в пространстве, в которых колебания происходят одинаковым образом или в одной фазе. Для плоских волн волновые поверхности представляются параллельными плоскостями или линиями, для сферических волн – сферами или окружностями с общим центром (Рис.5.1). Волновые поверхности неподвижны. Поверх­ность, к которым подошли колебания в какой то момент времени и которая отделяет колеблющиеся частицы от ещё не ко­леблющихся частиц, называется фронтом волны.

Рис.5.1.а) Плоская волна, б) Сферическая волна.

 

5.2. Волновое уравнение. Уравнения и характеристики волн.@

Если волна распространяется вдоль некоторого направления, то смещение частицы от положения равновесия S будет зависеть от времени t и от местоположения частицы х или r. Дифференциальное уравнение для волны имеет вид и называется волновым уравнением, здесь v – скорость распространения волны. Решение такого уравнения имеет вид:

для плоской волны , а для сферической . Графически такие волны изображают синусоидами, которые смещаются со временем (Рис.5.2), поэтому такие волны (в отличие от стоячих) называют бегущими волнами, хотя сами частицы вещества никуда не бегут, а колеблются около своего постоянного положения равновесия.

Новыми характеристиками, по сравнению с простыми колебаниями, являются фазовая скорость v, длина волны, волновое число. Фазовой скоростью или скоростью распространения волны v называют скорость перемещения фазы или точек пространства, где колебания находятся в одной фазе, например точек амплитудного значения А. Эта скорость равна скорости перемещения волнового фронта или скорости распространения волнового процесса. Длиной волны называют расстояние, на которое распространяется волновой процесс за время равное периоду колебаний Т (l = vT) или кратчайшее расстояние между частицами, колеблющихся в одной фазе. Используя эти характеристики, уравнения волн можно записать следующим образом:

для плоской волны , а для сферической волны , где k – волновое число, показывающее, сколько длин волн уложится на расстоянии в 2p метров (k = 2p/l = w/v), а ‑ волновой вектор, равный по величине волновому числу и направленный вдоль вектора фазовой скорости.

5. 3. Энергия волны. Перенос энергии. @

Так как частицы среды двигаются при колебаниях и взаимодействуют между собой, то они обладают как кинетической, так и потенциальной энергией. В непрерывной среде рассматривают сумму кинетической и потенциальной энергии (механическую энергию) dEм единицы объема dV вещества или объемную плотность энергии среды wм = dЕм/dV. Расчет механической энергии приводит к выражению , которое сходно с выражением для механической энергии колебаний осцилятора за исключением сомножителя , зависящего от времени. Это означает, что энергия в каждом объеме пространства меняется со временем за счет ее передачи от одной частицы к другой. Эксперименты показывают, что волны действительно переносят энергию, это относится как к механическим волнам в материальных средах, так и к электромагнитным волнам в вакууме. Процесс переноса энергии волной описывается вектором Умова‑Пойнтинга, который направлен вдоль вектора фазовой скорости и численно равен количеству переносимой энергии за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Формула для его расчета имеет вид

.

Из этого выражения видно, что вектор Умова‑Пойнтинга тоже меняется со временем. Так как частоты реальных колебаний очень велики, то на практике обычно измеряются усредненные значения, для вектора Умова‑Пойнтинга среднее значение по времени от его модуля называют интенсивностью волнового процесса. Интенсивность волны I – это скалярная величина, показывающая количество переносимой волной энергии в среднем за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению движения волны. Если провести усреднение по времени одного полного колебания, то получим . Отсюда видно, что интенсивность пропорциональна амплитуде колебаний. В случае плоской волны амплитуда и интенсивность не меняются по мере распространения волны, но для сферической волны А » 1/r и интенсивность убывает с расстоянием I » 1/r².

5. 4. Принцип суперпозиции волн. Явление интерференции.@

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то результирующие колебания частиц среды зависят от воздействия отдельных волн. В линейных средах выполняется принцип суперпозиции волн, согласно которому все параметры результирующего колебания (смещение, скорость, ускорение) равны сумме соответствующих параметров отдельных волн. Линейными являются все упругие среды, в которых смещения частиц от положения равновесия подчиняются закону Гука (смещение пропорционально силе, действующей на частицу). Нарушение принципа суперпозиции может происходить при распространении волн большой интенсивности. Например, при прохождении в среде лазерных лучей, такой большой мощности, что они могут изменить упругие свойства вещества, для результирующих колебаний этот принцип не соблюдается. Такие среды называют нелинейными.

В линейных средах, вследствие выполнения принципа суперпозиции, наблюдается явление интерференции света. Явление интерференции – это явление увеличения и уменьшения амплитуды результирующих колебаний при наложении двух или более когерентных волн, колеблющихся в одной плоскости. Когерентными называют волны, разница фаз которых не меняется со временем. Для объяснения этого явления рассмотрим случай наложения в точке М₁ или М₂ двух колебаний одной частоты, идущих от источников S₁ и S₂ (Рис.5.3).

Рис.5.3. Сложение колебаний при интерференции (в точке М₁ – усиление, в точке М₂ – ослабление колебаний).

 

Уравнения волн в точке М будут иметь вид и . Суммарное колебание в точке М, используя формулу для синуса разности, можно представить в виде

Последнее выражение можно рассматривать как , где

. Из этих уравнений можно определить А и j . Разделив второе уравнение на первое находим , а возведя эти уравнения в квадрат и сложив их, можно найти что , где разница фаз . Если учесть, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то после усреднения последнего уравнения получим .

В случае сложения не когерентных волн разница фаз меняется со временем произвольным образом и среднее значение косинуса будет равно нулю и , то есть происходит обычно наблюдаемое сложение интенсивностей колебаний. Но если колебания когерентные, то разница фаз не будет меняться со временем и среднее значение косинуса не будет равно нулю . В этом случае в разных точках пространства будут различные значения суммарной амплитуды колебаний и интенсивности. В точках, для которых и здесь будет максимальное усиление колебаний, в этих точках разница фаз должна быть равна - это условие для максимума интерференции. В точках, для которых и здесь будет максимальное ослабление колебаний, в этих точках разница фаз должна быть равна - это условие для минимума интерференции. В точках, где не удовлетворяются эти условия, будут промежуточные значения амплитуды и интенсивности колебаний.

 

6. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ. @

 

6.1. Преобразования Галилея и механический принцип относительности. @

В механике Ньютона при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой поступательно с постоянной скоростью, пользуются преобразованиями координат и времени, которые называются преобра­зованиями Галилея. Они основаны на двух аксиомах:

Ход времени одинаков во всех системах отсчета;

Размеры тела не зависят от скорости его движения.