Алгоритмические модели динамических систем
4.1. Описание моделей с помощью N - графов
Для рассмотрения алгоритмов преобразования моделей, формируемых пользователем (СМФУ, СММУ), необходимо ознакомиться с возможными вариантами представления алгоритмических моделей [1]. Проблемы, возникающие при компьютерной реализации СММУ, связаны, во-первых, с необходимостью автоматизированного формирования корректной системы дифференциальных, алгебраических и логических уравнений и, во-вторых, с последующим ее представлением в виде дерева элементарных вычислительных операций. Решение проблем первого направления требует более детализированного представления структурной модели с одновременной ориентацией на вычислительную систему и на исследователя. Этим требованиям применительно ко всем видам СММУ отвечают средства описания моделей с помощью многоуровневых N-графов [7, 8]. Решение проблем второго направления осуществляется либо численным интегрированием полученной системы уравнений, либо путем формирования алгоритмической модели, в которой все интеграторы заменены деревом вычислительных операций, соответствующим выбранному методу численного интегрирования.
Рассмотрим особенности детализированного представления структурных моделей с помощью N-графов. В общем случае сигнал в i-узле графа в момент времени tn определяется выражением
.
Здесь 
– некоторая операция преобразования сигналов 
, входящих в узел; 
– некоторая операция преобразования сигнала 
с помощью k-й ветви, инцидентной i-му узлу; m – число ветвей, инцидентных узлу стока i.
Наличие элементов первого и второго уровней языка N – графов [7, 8] обусловливает существование двух уровней детализированных форм структурных моделей.
Детализированная форма первого уровня использует базовые операции: суммирование, умножение, деление, логические «и», «или», сравнения «больше», «меньше», «равно», операцию «переключение», в узлах N-графа и операции пропорционального преобразования, интегрирования, задержки на интервал дискретности и отрицания.
Определения и графические представления алгебраических базовых операций в узлах N-графа приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
| Наименование узла | Определение | Графическое представление | |
| 1. Суммирование | 
| 
| |
| 2. Умножение | 
| 
| |
| 3. Деление | 
| 
| |
| 4. Переключение | 
| 
| |
Графические представления узлов, осуществляющих логические базовые операции, используют общепринятые символы этих операций, а именно
| и | или | больше | меньше | равно |
| 
| 
| 
| 
|
При необходимости номера ветвей, входящих в эти узлы, указываются в разрыве ветви.
Например,
Графические представления и определения базовых операций в ветвях приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
| Наименование ветви | Определение | Графическое представление |
| 1. Пропорциональное преобразование | 
| 
|
| 2. Интегрирование | 
| 
|
| 3. Задержка на интервал дискретности | 
| 
|
| 4Операция НЕ | 
| 
|
Данный уровень характеризуется наивысшей степенью детализации для структурных моделей, построенных в форме замкнутого N-графа, и является детализированной формой СММУ.
Нетрудно заметить, что построение структурных моделей при использовании только указанных выше элементов сопряжено с трудностями формирования N-графов даже для простейших нелинейных математических операций. Например, N-граф простейшего нелинейного звена типа «Люфт» содержит 10 узлов и 14 ветвей (см. рис. 4.1). Замкнутый N-граф, построенный с использованием макроветвей и макроузлов, будем считать детализированной формой второго уровня. Продолжение рассмотрения алгоритмов формирования вычислительных моделей невозможно без определения основных требований к средствам проведения вычислительных экспериментов со структурными моделями и направлений их компьютерной реализации.
Рис. 4.1. N-граф нелинейности «Люфт»
В качестве требований отметим следующее.
1. Должна быть предоставлена возможность выполнения вычислительного эксперимента в одном из следующих режимов:
-неуправляемом, когда отсутствует возможность наблюдать за поведением координат модели и нельзя вмешаться в ход выполнения эксперимента, за исключением его прекращения;
-интерактивно-управляемом, когда имеется возможность оперативного наблюдения за ходом вычислительного эксперимента и поведением координат модели, активного вмешательства в проводимый эксперимент в целях изменения параметров и структуры модели, изменения параметров вычислительного эксперимента, организации серии экспериментов, качественного и количественного анализа результатов;
-программно-управляемом, когда алгоритм поэтапного изменения структуры и параметров модели задан пользователем заранее в целях получения определенной информации об исследуемой системе путем автоматической постановки серии экспериментов.
2. Программно-аппаратные средства реализации вычислительного эксперимента должны обеспечивать получение достоверной информации обследуемой системы за минимальное время, что соответствует необходимости обеспечения численной устойчивости, требуемой точности и максимального быстродействия. Нетрудно заметить противоречивость приведенных требований. Например, обеспечение работы в интерактивно-управляемом режиме сопряжено со значительным снижением быстродействия вычислительного эксперимента. Это объясняется следующими основными причинами. Во-первых, непрерывный вывод на экран дисплея графической информации в большинстве случаев превышает время выполнения вычислительных операций. Во-вторых, предоставление возможности изменения параметров и структуры модели нецелесообразно при использовании алгоритмической модели наивысшего уровня детализации, так как в этом случае любая корректировка влечет за собой полную перекомпиляцию модели и, следовательно, делает невозможным продолжение эксперимента с момента прерывания. Поэтому для реализации интерактивно-управляемого режима значительную часть работ по формированию дерева вычислений (алгоритмической модели) необходимо выполнять в ходе вычислительного эксперимента на каждом шаге дискретизации процессов во времени, что естественно приводит к увеличению затрат времени на вычислительный эксперимент.
Поэтому имеют место два направления компьютерной реализации постановки вычислительных экспериментов.
Программные средства первого направления на основании детализированной формы СММУ обеспечивают автоматическое формирование системы дифференциальных, алгебраических и логических уравнений, их сортировку и численное интегрирование одним из выбранных методов.
Формирование и сортировка уравнений осуществляются на этапе планирования эксперимента и повторяются лишь при интерактивной корректировке структуры модели. Результатом этого этапа, выполняемого в компилирующем режиме, является вычислительная модель табличной формы, обеспечивающая необходимую параметрическую корректировку, которая возможна за счет последующей работы программ в интерпретирующем режиме, когда обращение к массивам параметров модели осуществляется на каждом шаге интегрирования, т.е. программные средства первого направления работают в комбинированном компилирующе-интегрирующем режиме.
Программные средства второго направления осуществляют автоматическое формирование разомкнутой алгоритмической модели, представляющей собой дерево вычислений, генерацию программы имитации в виде загрузочного модуля (с расширением _.ехе) и выполнения этой программы, т. е. здесь имеет место компилирующий режим работы.
Алгоритмы построения детализированных форм и алгебраических моделей рассмотрим после введения нетрадиционных средств описания динамических систем.