Представления моделей динамических систем методом структурных матриц

Аппарат структурных матриц, предложенный Л. Г. Шатихиным [1], позволяет в определенной степени объединить достоинства матричных методов и средств структурного представления динамических систем.

Определение структурной матрицы

Рассмотрим абстрактную алгебраизированную модель системы управления, представленную на рис. 4.2, а в форме графа, которому соответствует следующая система алгебраических уравнений:

 

(4.1)

 

Представим указанный граф на матричной сетке (рис. 4.2, б). Внутренние вершины графа изобразим в порядке следования на главной диагонали в квадратной части матрицы. Внешний узел x₀ расположим над отдельным столбцом.

Вместо дуг, соединяющих узлы, поставим угловые стрелки, которые изображают передачу между соответствующими диагональными элементами.

Все это полностью отражает архитектонику графа.

Далее выполним следующие преобразования над соответствующими столбцами (см. рис. 4.2, в):

· вместо удаленных с главной диагонали вершин графа в качестве символов поставим единицы;

· вместо всех угловых стрелок запишем их обозначения (весовые коэффициенты связей ), сохранив знаки;

· столбец внешней переменной x₀ перенесем вправо, как это принято в матричной записи для столбца свободных членов.

 

Рис. 4.2. Представление графа (а) на матричной сетке (б – г)

На полученном матричном изображении можно выделить те же три контура, которые имеются на графе. Контуры выделяются в соответствии с направлениями стрелок на рис. 4.1, б или в соответствии с индексами коэффициентов .

Знаки прямых и обратных связей на матрице совпадают. Таким образом, полученная матрица (рис.4.2, в) полностью отражает структуру системы управления, представленную графом (рис. 4.2, а), так как она имеет тот же состав элементов и связей между ними, что и на графе. Такую матрицу принято называть структурной матрицей системы [11].

В общем случае на главной диагонали структурной матрицы вместо единиц ставят их обозначения, принятые в матричной форме, то есть . В результате получается окончательный вид структурной матрицы (рис. 4.2, г).

Рассмотрим возможности применения структурных матриц для представления моделей динамических систем, а также для формирования детализированных форм и алгоритмических моделей.

При изображении математических моделей линейных непрерывных динамических систем в форме структурных матриц на главной диагонали размещаются собственные операторы передаточных функций , а ниже и выше главной диагонали – операторы связей между динамическими элементами.

Операторы связей располагаются на пересечении столбца исходного j-го собственного оператора и строки конечного i-го собственного оператора. В соответствии с этим, структурная матрица простейшей системы, представленной на рис. 4.3 в виде направленного графа, принимает вид, указанный на рис. 4.4, а, б.

 

Рис. 4.3. Граф линейной динамической системы

 

 

Для представления детализированных форм описания линейных непрерывных моделей методом структурных матриц необходимо рассмотрение «внутренней структуры» каждого динамического звена, т. е. каждое звено необходимо представить в виде фрагмента структурной матрицы, в котором отдельные строка и столбец выделяются не только для каждой переменной или координаты, но и для каждой их производной. Причем диагональные элементы могут принимать только два значения: 1 или s (оператор Лапласа).

Структурные матрицы, отвечающие этим требованиям, будем называть детализированными структурными матрицами.

Алгоритмизация получения таких матриц легко осуществляется с помощью методов представления передаточной функции n-го порядка в виде системы, включающей n дифференциальных уравнений первого порядка и одно алгебраическое выражение [2].

На рис.4.4, в качестве примера приведены различные формы представления математических моделей колебательного звена, в том числе и в виде детализированной структурной матрицы.

 

Рис. 4.4. Детализированное представление колебательного звена:

а – передаточная функция, б – структурная схема, в – граф, г – структурная матрица

Для нашего примера детализированная структурная матрица системы показана на рис. 4.5, в.

Сравнительный анализ двух вариантов представления структурных матриц системы (рис. 4.5, б, в) позволяет сформулировать алгоритм построения детализированной структурной матрицы.

 

в

Рис. 4.5. Структурная матрица динамической системы

 

Этот алгоритм сводится к следующему:

1. Диагональные элементы исходной структурной матрицы, представляющие собой знаменатели передаточных функций линейных динамических звеньев, единичные коэффициенты описания нелинейных макроветвей, или обозначения нелинейных макроузлов замещаются импортированными из соответствующих библиотек фрагментами детализированных структурных матриц.

2. Недиагональные элементы, соответствующие числителям передаточных функций , или идентификаторам нелинейных макроветвей, замещаются входными столбцами импортированных фрагментов структурных матриц.

3. Проверяются и, при необходимости, изменяются месторасположения коэффициентов безынерционных связей.