ДИСПЕРСИЯ СВЕТА

Строгий подход к вопросу о механизме взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, требует привлечения представлений и математического аппарата квантовой механики. Однако, как показал Лоренц, основные выводы относительно большинства оптических явлений можно получить, если рассматривать вещество как систему заряженных частиц, образованную ядрами атомов и квазиупруго связанными с ними электронами. Если один из таких электронов вывести из положения равновесия, то он будет совершать гармонические колебания с собственной частотой ω₀, значение которой зависит от строения атома и места электрона в нем. Колеблющийся электрон и ядро атома образуют электрический диполь с переменным моментом р_е = e·r, где е – заряд электрона, r – плечо зарядового диполя (расстояние от электрона до ядра). В соответствии с постулатами Максвелла это означает, что такая система будет излучать электромагнитную волну. В системе электрон–ядро колебания будет совершать и электрон, и ядро. Однако амплитуда колебаний ядра столь незначительна, что колебаниями ядра можно пренебречь. Т.к. на генерирование волны требуется энергия, то колебания будут затухающими.

Рассмотрим, что произойдет, если электромагнитная волна, т.е. переменное электромагнитное поле, частотой ω проникнет в вещество. Со стороны этого поля на все электроны атомов и молекул будет действовать переменная электрическая сила:

F_i = еЕ_i = eE₀ cos(ωt + φ_0,i), (1)

где е – заряд электрона, Е_i = E₀ cos(ωt + φ_0,i) – напряженность поля в точке, где расположен i–ый электрон, φ_0,i – начальная фаза, которая определяется положением электрона в атоме. Под воздействием этой силы электроны будут совершать вынужденные колебания с частотой ω, уравнение которых можно найти, решив дифференциальное уравнение вида (см. Лк № 2):

, (2)

где s – смещение электрона от положения равновесия, ω_0,i – собствен-

ная частота электронов i–ого сорта, β – коэффициент затухания, m_e – масса электрона. Это уравнение мы записали по аналогии с дифференциальным уравнением механических вынужденных колебаний. Решение (2) имеет вид:

s = Аcos(ωt – φ), (3)

где амплитуда

, (4)

а отставание по фазе колебаний электрона от изменений переменной силы (1) будет определяться выражением:

, (5)

Вынужденные колебания электрона обуславливают излучение системой электрон-ядро вторичных электромагнитных волн, которые будут распространяться в среде со скоростью υ. Если среда оптически однородна, то вторичные волны будут когерентны как между собой, так и с падающей волной. Интерферируя друг с другом и с первичной волной, вторичные волны образуют в направлении падающей результирующую волну, которая имеет ту же частоту, что и падающее излучение, но отличается от него амплитудой и фазой. Это означает, что скорость υ распространения результирующей волны в среде не будет равна скорости света в вакууме.

Как известно, отличие скорости света υ в данной среде от скорости света в вакууме характеризуется абсолютным показателем преломления n. Увяжем значение n с параметрами вынужденных колебаний электронов. Т.к. n = с/υ = , а магнитная проницаемость μ для диэлектриков равна единице, то

n = . (6)

Диэлектрическую проницаемость ε среды можно выразить через модуль вектора поляризации , где р_е,i индуцированный дипольный момент электрона, V – объём вещества.

, (7)

где χ – диэлектрическая восприимчивость среды, ε₀ – диэлектрическая постоянная.

Модуль индуцированного дипольного момента электрона, совершающего вынужденные колебания р_е = е·s(t), где s(t) – мгновенное значение смещения. Если пренебречь затуханием (β = 0), то с учётом (3) и (4) получим:

. (8)

Молекула в целом приобретает электрический дипольный момент

. (9)

Суммирование ведется по всем k электронам молекулы. Умножив р_м(t) на число молекул в единице объема N, получим мгновенное значение вектора поляризации вещества:

Р(t) = N· p_м = N . (10)

Подставляя в (7) Р/Е(t) из (10), получим в соответствии с (6) для n² = ε:

. (11)

Как видно из (11), скорость электромагнитного излучения в данной среде тем больше отличается от её значения для вакуума, чем ближе частота вынужденных колебаний ω к собственной частоте электронов i–ого сорта – ω_0,i.

Таким образом, значение скорости результирующей волны в среде зависит не только от природы вещества, но и от частоты падающего излучения. В оптическом диапазоне это явление получило название дисперсии света.

В частности дисперсией объясняется разложение белого света (λ = 400÷700 нм) при преломлении на границе раздела двух сред на простые монохроматические волны. При этом образуется окрашенная полоска с непрерывным переходом цветов от красного к фиолетовому, которую Ньютон назвал спектром (spectrum – видение, лат.).

Явление дисперсии обычно определяют как зависимость показателя преломления n от длины волны – n = f(λ) или от частоты – n = f(ω).

График зависимости n = f(ω) в соответствии с (11) для двух резонансных частот будет иметь вид, представленный на рис.1. Как видно из графика, при приближении значения ω к одной из собственных частот колебаний электронов ω_0,i n² неограниченно растёт (пунктирная линия, рис.1). Такое поведение функции в области собственных частот электронов обусловлено пренебрежением затухания. Реальный ход графика в области собственных частот электронов, т.е. с учётом зату- затухания, показан сплошной линией.

Быстроту изменения показателя преломления характеризуют величиной , которая называется дисперсией вещества.