ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ, ОБРАЗУЕМОЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

С учетом закона преломления находим следующий ряд зависимостей:

- из треугольника АМО следует

(1.1)

Пользуясь законом преломления, получим

(1.2)

- из треугольника А'МО будем иметь

u' = -i+i'+u, (1.3)

(1.4)

(1.5)

Последовательное применение формул (1.1), (1.2), (1.3),(1.4),(1.5) дает возможность при заданных значениях r, n, n' и s вычислить величину отрезка s', определяющего положение точки А'.

Пучок лучей после преломления перестает быть гомоцентричным и поэтому изображение точки отсутствует.

В общем случае ход лучей изображен на рис.1.7.

Нарушение гомоцентричности в пучке преломленных или отраженных лучей вызывает ошибки изображения, которые называются аберрациями.

Если углы лучей с оптической осью и нормалями к поверхности настолько малы, что значения синусов этих углов можно заменить значениями самих углов, выраженных в радианах, то такие лучи называются параксиальными или нулевыми лучами, а область вокруг оптической оси, внутри которой распространяются эти лучи, называется параксиальной областью.

Рассмотрим в параксильной области изображение малого отрезка dl перпендикулярного к оптической оси в точке А (рис.1.8). Пусть dl' будет изображением этого отрезка. Если отрезки dlи dl' направлены от оси системе вверх, то они считаются положительными, а если вниз - отрицательными. Отношение величины изображения к величине предмета:

(1.10)

назывется линейным, или поперечным увеличением. При b >0 изображение называется прямым, при b < 0 изображение будет обратным..

Обозначим вершину отрезка dl через С и изображение ее через С'. Проведем из точки С два луча: луч СО через центр поверхности (точку О) - этот луч пройдет через поверхность не преломляясь, а второй луч – СSчерез вершину поверхности S. Рассматривая подобные треугольники, образованные первым лучом, и используя закон преломления для второго луча, получим:

(1.9)

(1.11)

Полученные зависимости (1.9) и (1.11) позволяют сделать выводы, а именно: каждому положению предметной точки соответствует вполне определенное положение ее изображения, и каждому малому отрезку, перпендикулярного к оптической оси, соответствует изображение так же отрезка, перпендикулярного к оптической оси. Такие пары точек и отрезков называются сопряженными.

Т.к. два пересекающихся отрезка, перпендикулярных к оптической оси, определяют плоскость, то, следовательно, элемент плоскости ds', перпендикулярный к оптической оси, изображается также элементом плоскости ds', перпендикулярным к этой же оси (рис 1.9)

Отсюда так же следует, что всякий гомоцентричный пучок после преломления в параксильной области имеет свою, ему одному соответствующую точку схода.

Из формулы (1.11) получается:

(1.12)

известная под названием теоремы Гюйгенса-Гельмгольца.

В литературе эта формула встречается так же под название Лагранжа-Гельмгольца.