Логика есть великий преследователь тёмного
и запутанного мышления; она рассеивает туман.
Д.-С.Милль
Учение о высказываниях – алгебра высказываний, или алгебра логики, является простейшей логической теорией. Она рассматривает конечные конфигурации символов и взаимоотношения между ними. Знакомство с законами алгебры высказываний облегчает изучение более сложных логических исчислений.
Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чём-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени.
Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».
Приведём примеры высказываний.
1. Великий Новгород стоит на Волхове.
2. Париж – столица Англии.
3. Карась не рыба.
4. Число 6 делится на 2 и на 3.
5. Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.
Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.
Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Примерами составных высказываний могут служить высказывания 3), 4) и 5), полученные из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «если…, то…», соответственно.
Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a, b, c, … x, y, z, … или малыми буквами с индексами: x1, x2, x3, …; истинное значение высказывания – буквой и или цифрой 1,а ложное значение – буквой л или цифрой 0.
Если высказывание a истинно, то будем писать a=1, а если a ложно, то a=0.