Принцип эквивалентности и геометризация тяготения. Факт этот по существу был установлен еще Галилеем. Он хорошо известен каждому успевающему старшекласснику все тела движутся в поле тяжести в отсутствие сопротивления среды с одним и тем же ускорением, траектории всех тел с заданной скоростью искривлены в гравитационном поле одинаково.
Благодаря этому, в свободно падающем лифте никакой эксперимент не может обнаружить гравитационное поле. Иными словами, в системе отсчта, свободно движущейся в гравитационном поле, в малой области пространства-времени гравитации нет. Последнее утверждение это одна из формулировок принципа эквивалентности 4. Данное свойство поля тяготения отнюдь не тривиально.
Достаточно вспомнить, что в случае электромагнитного поля ситуация совершенно иная. Существуют, например, подзаряженные, нейтральные тела, которые электромагнитного поля вообще не чувствуют. Так вот, гравитационно- нейтральных тел нет, не существует ни линеек, ни часов, которые не чувствовали бы гравитационного поля. Эталоны привычного евклидова пространства меняются в поле тяготения. Геометрия нашего пространства оказывается неевклидовой.
Некоторое представление о свойствах такого пространства можно получить на простейшем примере сферы, поверхности обычного глобуса. Рассмотрим на ней сферический треугольник фигуру, ограниченную дугами большого радиуса. Дуга большого радиуса, соединяющая две точки на сфере, это кратчайшее расстояние между ними она естественный аналог прямой на плоскости. Выберем в качестве этих дуг участки меридианов, отличающихся на 90o долготы, и экватора рис. 1. Сумма углов этого сферического треугольника отнюдь не равна сумме углов р, треугольника на плоскости Заметим, что превышение суммы углов данного треугольника над может быть выражено через его площадь S и радиус сферы R Можно доказать, что это соотношение справедливо для любого сферического треугольника. Заметим также, что обычный случай треугольника на плоскости тоже вытекает из этого равенства плоскость может рассматриваться как сфера с R Перепишем формулу 2 иначе Отсюда видно, что радиус сферы можно определить, оставаясь на ней, не обращаясь к трехмерному пространству, в которое она погружена.
Для этого достаточно измерить площадь сферического треугольника и сумму его углов.
Иными словами, K или R является внутренней характеристикой сферы. Величину K принято называть гауссовой кривизной, она естественным образом обобщается на произвольную гладкую поверхность Здесь углы и площадь относятся к малому треугольнику на поверхности, ограниченному линиями кратчайших расстояний на ней, а кривизна, вообще говоря, меняется от точки к точке, является величиной локальной.
И в общем случае, так же как и для сферы, K служит внутренней характеристикой поверхности, не зависящей от ее погружения в трехмерное пространство. Гауссова кривизна не меняется при изгибании поверхности без ее разрыва и растяжения. Так, например, конус или цилиндр можно разогнуть в плоскость, и поэтому для них, так же как для плоскости, K 0. На соотношения 3, 4 полезно взглянуть несколько иначе. Вернемся к рисунку 1. Возьмем на полюсе вектор, направленный вдоль одного из меридианов, и перенесем его вдоль этого меридиана, не меняя угла между ними в данном случае нулевого, на экватор. Далее, перенесем его вдоль экватора, снова не меняя угла между ними на сей раз р2, на второй меридиан.
И наконец, таким же образом вернемся вдоль второго меридиана на полюс. Легко видеть, что, в отличие от такого же переноса по замкнутому контуру на плоскости, вектор окажется в конечном счете повернутым относительно своего исходного направления на р2, или на Этот результат, поворот вектора при его переносе вдоль замкнутого контура на угол, пропорциональный охваченной площади, естественным образом обобщается не только на произвольную двумерную поверхность, но и на многомерные неевклидовы пространства.
Однако в общем случае n-мерного пространства кривизна не сводится к одной скалярной величине Kx. Это более сложный геометрический объект, имеющий n2n2 - 112 компонентов. Его называют тензором кривизны, или тензором Римана, а сами эти пространства римановыми.
В четырехмерном римановом пространстве-времени общей теории относительности тензор кривизны имеет 20 компонентов. 1.2