Релятивистские преобразования энергии и импульса

Релятивистские преобразования энергии и импульса. Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x. Закон преобразования для величин E, и E измеряемых в системах S и S, имеет форму преобразования 23 E E - V px Ц1 - Vc2 , px px - E Vc2 Ц1 - Vc2 , py py, pz pz. 23Таким образом, энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл.

Из формул 23 следует, что жзи E c цчш 2 - p 2 жзи E c цчш 2 - p 2 m2 c2, из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом.

Рис. 10 Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике. Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E m c2 p22 m, а при достаточно больших импульсах E p c. Иногда формулу 21, записывают в виде E mv c2, вводя релятивистскую массу частицы, зависящую от скорости mv m Ц1 - vc2 . Саму же формулу 21 истолковывают, как эквивалентность энергии и массы в релятивистской физике.

Однако такое утверждение приводит лишь к путанице а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам. Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета.

Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы. Поэтому понятие массы, зависящей от скорости m1 - vc2 лишено физического смысла 3.3 Частицы с нулевой массой покоя Если в формулах 20,21 формально положить скорость частицы v c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света.

Из 22 видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением p E c, откуда следует, что здесь Ec2 - p 2 0 в соответствии с тем, что m 0. К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе Квантовая теория - задание N 5. 3.3 Релятивистский эффект Доплера Рассмотрим плоскую монохроматическую волну E r, t E0 cos жи k r - w t цш . 23Здесь - частота волны, а k - волновой вектор k c - волновое число единичный вектор в направлении распространения волны см. Рис. 11. Рис. 11 Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета.

Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом к оси 0x, вдоль которой со скоростью V движется штрихованная система отсчета S. Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю. Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета.

Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна k r - wt k r -w t. В декартовых координатах это условие принимает вид kx x ky y kz z -w t kx x ky y kz z - w t. 24Поскольку x, y, z, t связаны с x, y, z, t преобразованием Лоренца, то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования w w- V kx Ц1 - V2c2 , kx kx - Vc2 w Ц1 - V2c2 , ky ky, kz kz. 25Прямой подстановкой формул 25 в соотношение 24 можно проверить его выполнение.

Найдем теперь связю между частотой 0 в системе источника волны и частотой той же волны в системе наблюдателя. Полагая в первой формуле из 25 0, kx c cos, где - угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя приемника, найдем w w0 Ц1 - V2c2 1 - Vccosq . 26Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызанное относительным движением источника и приемника.

При Vc 1 из 26 имеем Dw w- w0 w0 Vc cosq. Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя в этом случае проекция скорости на направление луча V V cos0 и убывает при их удалении V 0 продольный эфект Доплера. Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения cos 0, то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по Vc Dw - w0 2 жзи V c цчш 2 - поперечный эффект Доплера.

При выводе последних двух формул учтено, что при Vc 1 1 1 - Vccosq 1 Vccosq, Ц1 - Vc2 1 - Vc22. Красное смещение в сторону волн большей длины наблюдаемое на Земле в спектрах излучения далеких галактик по сравнению с эталонными линиями интерпретируется как эффект раширения Метагалактики наблюдаемой части Вселенной - взаимного удаления галактик друг от друга. В 1928 г. Э. Хабблом было обнаружено, что скорости разбегания галактик приблизительно пропорциональны расстоянию до них v H R. Константа Хаббла H 50 100 кмсМпк. Значение H-1 13 млрд. лет определяет время, истекшее с начала расширения Метагалактики при условии постоянной скорости расширения.