Элементы маломерия в стиле Ньютона

Элементы маломерия в стиле Ньютона.

Известная школьная формула закона всемирного тяготения FG mMr2 В с n измерениями должна быть заменена следующей FnGn mMrn-1 , 1 Где Gn некоторая другая гравитационная постоянная, ее физическая размерность отличается от размерности G3 и выражается произведением r-1 см с-1. Если формула 1 справедлива в больших масштабах, Gn так же как и G3 могла быть определена опытным путем, если бы измерения в этих масштабах нам были бы доступны. Чем меньше n, тем медленнее падает сила с ростом расстояния.

Конечно, мы пока не можем предположить какого-либо закона, тем более теории для уменьшения n с расстоянием. Для упрощения математических выкладок предположим, что до некоторого расстояния R0 от любого тела действует формула Ньютона, а за этим расстоянием закон 1 с n 3, т.е. суммарный закон на графике имел бы вид ломаной кривой. Таким образом, вокруг каждого тела как бы есть сфера радиуса R0, размерность внутри которой 3, а вне ее n 3. Мы видим, что для случая n 3 на заданном r R0 величина силы притяжения больше Fn F3. Этот факт является ключевым, чтобы считать n 3. Число n мы пока тоже не знаем, но было бы интересно получить его из наблюдений.

Сшивка двух законов на радиусе R0 дает выражение для постоянной Gn GnG3R0n-3. 2 Обратим особое внимание на то, что речь здесь может идти об R0 только как об относительном расстоянии между телами, а не о какой-то жестко закрепленной области в пространстве, куда частицы могут входить и выходить. Иначе, во-первых, была бы нарушена концепция относительности пространства, которая, на мой взгляд, явилась завоеванием эйнштейнианской физики должна быть сохранена во всех последующих теориях.

Во-вторых, возникли бы трудности с универсальностью закона 1 гравитационная постоянная становится непостоянной, а закон тяготения зависимым от направления в пространстве. Возможно, что наше описание стало бы менее грубым, если предположить, что размерность ступенчато падает не на одном относительном расстоянии R0, а последовательно на нескольких расстояниях.

Гравитационная постоянная изменялась бы при этом так же скачкообразно. Если же падение размерности предположить непрерывным, то закон убывания силы тяжести стал бы более сложным, а не кусочно-степенным. А теперь обратимся к вращению галактик. Для простоты все же вернемся к ломаному закону изменения силы. Сначала рассмотрим случай малого тела массы m, обращающегося вокруг точечного центрального тела с несравнимо большой массой М. Скорость вращения V малого тела на расстоянии r от центрального тела если r R0, найдем из условия равенства силы 1 центростремительной силе mV2r VnvMGn rn-2 v MG3 rR03-n r-1 , 3 Где во втором равенстве мы воспользовались условием 2 сшивки гравитационных постоянных.

Очевидно, что в трехмерном случае V3vMG3r и Vn всегда больше V3 при r этот асимптотический закон есть V r2-n2. Можно провести более аккуратный расчет для кривой вращения дисковой галактики. Диск галактики имеет конечную, хотя и небольшую толщину, но в нашем случае будем считать его бесконечно тонким.

Это простое и хорошее приближение. Примем, что распределение поверхностной плотности массы у в диске имеет экспоненциальную зависимость от радиуса r, которая соответствует наблюдаемому распределению светящегося вещества . уr у0exp-rRd где у0 плотность в центре, а Rd некоторый характерный радиус. Тогда в трехмерном пространстве скорость вращения галактики как функции ее радиуса возрастает, достигает максимума, а затем уменьшается приближенно следуя зависимости V r-12. Обратимся теперь к случаю двумерного пространства и рассмотрим два варианта.

Будем считать для простоты, что R0 много меньше Rd. В первом варианте пусть тот же самый бесконечно тонкий диск с тем же распределением плотности заполняет все двумерное пространство плоскость. Скорость вращения монотонно возрастает и выходит на постоянное значение, как и положено по асимптотическому закону для n2 V Const. Во втором варианте галактика лежит как бы поперек двумерного пространства одномерная ось вращения и одномерный диск лежат в одной плоскости двумерное пространство вращается само, конечно, это более абстрактный случай.

Скорость вращения имеет максимум, хотя и менее выраженный, чем в первом случае n3, однако, асимптотическая кривая на графиках скорости также выходит на постоянное значение. Щ0n Nоткрытаяплоскаязамкнутая00,10,31310319, 617,615,813106,912,211108,26,34,32,819,6 18,116,614,6117,612,211,310,48,76,84,82, 619,618,617,41512,18,612,211,610,99,47,6 5,42,419,61918,216,313,610,112,211,911,4 10,28,56,32,219,619,318,917,815,812,512, 212,111,811,19,97,8219,619,619,619,619,6 19,612,212,212,212,212,212,2 Сравнение с типичными наблюдаемыми кривыми вращения галактик показывает, что для некоторых галактик теория для случая n3 наихудшим образом соотносится с наблюдениями, а оба варианта случая n2 гораздо лучше.

Конечно, случай n2 скорее следует рассматривать как предельный. В действительности более вероятен промежуточный случай 3 n 2, и правильно теоретически рассчитанное вращение будет чем-то средним.

По крайней мере, асимптотическое падение скорости вращения у реальных галактик, похоже, подчиняется промежуточному закону между V r-12 и V Const. Этот вопрос нуждается в более подробных исследованиях. 8. В стиле Эйнштейна и Фридмана-Робертсона-Уокера. Для ФРУ-модели мы можем записать уравнения Эйнштейна в произвольной целой размерности пространства n. Так же, как и в стандартной трехмерной ФРУ-модели, плотность вещества ее физическая размерность теперь есть гсм-n определяет, быть ли n-мерному пространству замкнутым, плоским или открытым.

Аналогично вводится и параметр плотности Щn. Для наиболее интересных значений числа n 3 n 2 эволюция моделей точно такая же, как и при n3 они все расширяются из начальной сингулярности с последующим сжатием замкнутого мира или вечным расширением плоского и открытого. Не будем рассматривать инфляционные модели, в которых начальные условия не предусматривают сингулярности.

Характерно, что возраст Вселенной при 3 n 2 всегда оказывается больше, чем в стандартной модели. В левом верхнем углу таблицы значение возраста расчитано при Н0 50 кмс Мпк, а в правом нижнем углу при Н0 80 кмс Мпк. Мы видим, что наибольший и одинаковый возраст получается для n2 или Щn0 мир с пренебрежимо малой плотностью вещества. Видно, что чем больше Щn при заданном n, тем меньше возраст. Мы уже упоминали, что это одна из трудностей модели с темной материей. Для плоского мира Щn1 возраст Вселенной выражается простой зависимостью T 2nH0-1 , где Н0 современное значение параметра Хаббла.

При n3 отсюда следует стандартная формула, а при n2 возраст получается в полтора раза больше стандартного. Случай n2 для уравнений Эйнштейна выделен, так как решения с типичными ФРУ-свойствами существуют только для n 2. При n2, независимо от знака кривизны, другими словами при всех Щn существует линейно расширяющаяся Вселенная. Ее возраст составляет 19.6 млрд лет для Н0 50 кмс Мпк и 12.2 млрд лет при Н080 кмс Мпк. Последнее тоже не очень-то совместимо с четырнадцатимиллиарднолетними шаровыми скоплениями.

Однако замечательно, что при n2, помимо линейно растущего решения, существует статическое. Когда-то подобное решение казалось очень привлекательным голубая мечта космологов старшего поколения. Психологически вечная статическая Вселенная уютнее и надежнее. В трехмерном пространстве, в отличие от двумерного случая, статическое решение невозможно без дополнительных предположений.

Стремясь получить его, Эйнштейн в 1917 г. ввел в свои уравнения дополнительный, т.н. космологический член, содержавший новую неизвестную, космологическую постоянную. В нашем двумерном случае постоянный радиус Вселенной RB может быть выражен через полную массу вещества во Вселенной МВ и ее двумерную плотность с2. Двумерный объем вещества равен 4рRB2, поэтому RB vMB 4рс2. Итак, мы убедились, что в размерности 3 n 2, возраст Вселенной в однородной и изотропной модели всегда больше, чем при n3, но остающийся небольшой зазор в возрасте для нестатических моделей, на наш взгляд, свидетельствует в пользу статической модели с n2. Пока в этих построениях размерность считалась постоянной на космологических масштабах, но более привлекательным кажется ее постепенное изменение от 3 до 2, причем значение 2 предельное.

Тогда, быть может, статистическая Вселенная становилась бы двумерной на пределе расширения. Подведем итоги. Показано, что размерность меньше трех помогает решить космологические проблемы.

Но что понимается под размерностью Является ли размерность два глобальной, т.е. пространство становится дырчатым, фрактальным Это не известно. Математическое описание в том виде, в котором оно дано, подразумевает глобальную размерность, однако возможно, что те же результаты будут справедливы и для локальной. В любом случае можно отделаться словом динамическая размерность, т.е. следующая из закона тяготения. Но такое понимание размерности существенно ограничено.

Чтобы убедиться, что речь идет именно о размерности, а не о модификации закона тяготения, нужно, по крайней мере, доказать, что силы электрического и магнитного взаимодействия и распространения света имеют надлежащую зависимость от расстояния. С этой точки зрения следует проанализировать все независимые космологические явления, которые нам доступны. Положительный результат привел бы к великолепному пересмотру наших представлений о Вселенной.