Релятивистские преобразования энергии и импульса

Релятивистские преобразования энергии и импульса. Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x. Закон преобразования для величин (E, ) и (E, ), измеряемых в системах S и S, имеет форму преобразования (23): E = E - V px 1 - (V/c)2 , px = px - E V/c2 1 - (V/c)2 , py = py, pz = pz. (23) Таким образом, энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл.

Из формул (23) следует, что    E c    2 -  p 2 =    E c    2 -  p 2 = m2 c2, из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом.

Рис. 10 Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике: . Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах E = p c. Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости: m(v) = m 1 - (v/c)2 . Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и массы в релятивистской физике.

Однако такое утверждение приводит лишь к путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы.

Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([(1 - (v/c)2)])] лишено физического смысла! 3.3 Частицы с нулевой массой покоя Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света.

Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением:   p  = E c, откуда следует, что здесь (E/c)2 -  p 2 = 0 в соответствии с тем, что m = 0. К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе "Квантовая теория" - задание N 5. 3.3 Релятивистский эффект Доплера Рассмотрим плоскую монохроматическую волну E(  r, t) = E0 cos    k •  r -  t   . (23) Здесь - частота волны, а = k - волновой вектор (k = [()/( c)] - волновое число, - единичный вектор в направлении распространения волны (см. Рис. 11).) Рис. 11 Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета.

Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом  к оси 0x, вдоль которой со скоростью V движется "штрихованная" система отсчета S. Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета.

Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна!  k •  r - t =  k  •  r  -& #61602; t. В декартовых координатах это условие принимает вид: kx x +ky y + kz z - t = kx x +ky y + kz z -  t. (24) Поскольку x, y, z, t связаны с x, y, z, t преобразованием Лоренца, то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования  = - V kx 1 - V2/c2 , kx = kx - V/c2  1 - V2/c2 , ky = ky, kz = kz. (25) Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить его выполнение.

Найдем теперь связю между частотой 0 в системе источника волны и частотой  той же волны в системе наблюдателя.

Полагая в первой формуле из (25)  = & #61559;0, kx = [()/( c)] cos, где - угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя (приемника), найдем  = 0 1 - V2/c2 1 - (V/c)cos . (26) Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызанное относительным движением источника и приемника.

При V/c 1 из (26) имеем  = - 0 = 0 (V/c) cos. Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя ( в этом случае проекция скорости на направление луча V = V cos& amp;#61472;0) и убывает при их удалении (V 0) продольный эфект Доплера.

Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos = 0), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:  = - 0 2    V c    2 - поперечный эффект Доплера.

При выводе последних двух формул учтено, что при V/c 1 1 1 - (V/c)cos  1 + (V/c)cos, 1 - (V/c)2  1 - (V/c)2/2. Красное смещение (в сторону волн большей длины) наблюдаемое на Земле в спектрах излучения далеких галактик по сравнению с эталонными линиями интерпретируется как эффект раширения Метагалактики (наблюдаемой части Вселенной) - взаимного удаления галактик друг от друга.

В 1928 г. Э. Хабблом было обнаружено, что скорости разбегания галактик приблизительно пропорциональны расстоянию до них: v H R. Константа Хаббла H  50 100 км/(с•Мпк). Значение H-1  13 млрд. лет определяет время, истекшее с начала расширения Метагалактики при условии постоянной скорости расширения.