О ХАРАКТЕРЕ РЕВОЛЮЦИИ В МАТЕМАТИКЕ

О ХАРАКТЕРЕ РЕВОЛЮЦИИ В МАТЕМАТИКЕ. Интерес к проблеме анализа тех коренных, качественных изменений в развитии научного знания, которые принято называть революциями в науке, возник после появления известной книги Т.Куна "Структура научных революций", опубликованной в русском переводе в 1975 г. В ходе широкой дискуссии, как у нас, так и на Западе закономерно возник и вопрос о революциях в математике.

Первая попытка критически рассмотреть идеи Куна применительно к развитию математического знания была предпринята в публикации Г.Мартенсона в международном журнале "История математики". В этой, а также в других публикациях высказывались самые крайние точки зрения на революцию в математике, начиная от полного ее отрицания и кончая частичным признанием.

Когда заходит речь о характере изменений, происходящих в развитии математического познания, в первую очередь обращают внимание не на качественные, а на количественные - постепенные, медленные - изменения. Тем самым научный прогресс сводится к постепенному накоплению все новых и новых знаний. Такую концепцию развития науки принято называть кумулятивистской. В применении к математике это означает, что ее развитие определяется только чисто количественным ростом нового знания (открытием новых понятий, доказательством новых теорем и т.д.); при этом предполагается, что старые понятия и теории не подвергаются пересмотру.

Кун в своей работе выступает с решительной критикой такой точки зрения кумулятивного развития научного знания. Однако, несмотря на свою ограниченность, кумулятивистская концепция нередко еще встречается в математике. Объяснить это можно тем, что в силу самой природы математического познания ученый не обращается непосредственно ни к наблюдениям, ни к эксперименту.

Математика развивается на абстрактно-логической основе. Совершенно иначе обстоит дело в естествознании, где иногда эксперимент полностью опровергает теорию и требует пересмотра старого научного знания или даже отказа от него. Именно на этом основываются попытки отрицания всяких революционных изменений в математике. Отметим, прежде всего, ошибочность того представления, что революция есть чистое уничтожение, разрушение и отбрасывание старого.

Именно из этого понимания революции исходит американский историк математики М.Кроу, утверждая, что "необходимой характеристикой революции является то, что некоторый объект (будь то король, конституция или научная теория) должен быть отвергнут и безвозвратно отброшен" . Основываясь на таком определении, он заявляет в своем десятом законе, что революции никогда не встречаются в математике. На самом деле, революция в математике не означает отбрасывания старых объектов, а приводит к изменению их смыслового значения и объема (области применимости). Так, например, Фурье в своей "Аналитической теории тепла" писал, что математика "сохраняет каждый принцип, который она однажды приобрела". Другой выдающийся математик Г.Ганкель утверждал, что "в большинстве наук одно поколение разрушает то, что построило другое Только в математике каждое поколение строит новую историю на старой структуре". Если бы развитие науки состояло в простом отбрасывании старых теорий, как был бы возможен в ней прогресс? Действительно, даже в естествознании, возникновение теории относительности и квантовой механики не привело к полному отказу от классической механики Галилея- Ньютона, а только точно указало границы ее применимости.

В математике преемственность между старым и новым знанием выражена значительно сильнее, к тому же, будучи абстрактными, по своей природе, теории не могут быть опровергнуты экспериментальной верификацией.

Обратимся к примеру, который приводит Кроу – открытию неевклидовых геометрий.

По его мнению, это не была революция в геометрии, поскольку Евклид не был отвергнут, а царствует вместе с другими, неевклидовыми геометриями. Некоторые ученые считают, что революции возможны только в прикладной математике – в области приложения математических методов в естествознании, технике, экономике и т.п. Теории "чистой" математики могут оказаться неэффективными для решения прикладных проблем и поэтому могут быть забыты или целиком отброшены. Но, с другой стороны, коренные изменения теорий и методов приложения математики являются, в конечном счете, результатом изменений, происшедших в теоретической математике.

Между теоретической и прикладной математикой существует тесная взаимосвязь и взаимодействие. Поэтому, если мы допускаем революцию в прикладной математике, мы должны признать ее существование и в "чисто" теоретической математике. Сторонники еще одной точки зрения на революции в математике связывают их с процессами, происходящими вне рамок самой математики или, по крайней мере, относящимися к форме выражения мысли (символика и исчисления), технике математических вычислений и преобразований (формулы и алгоритмы) или же к методологии и философии математики.

Именно такого рода революции в математике частично признает Кроу. Изменения в символизме или философском обосновании математики, безусловно, чаще бросаются в глаза, чем изменения в самой математике, но происходят они в "надстройке" математики и вторичны по своей сути. Наиболее заметно это в методологии и философии математики, когда открытие принципиально новых понятий, теорий и методов приводит к пересмотру учеными своих методологических и философских взглядов.

Яркий пример тому возникновение канторовской теории множеств и появление парадоксов, которые привели к новому стилю мышления в математике, принципах обоснования ее теорий, к новым определениям ее исходных понятий.

Многие взгляды, таким образом, основываются на предположении, что никакие качественные изменения в процессе развития математики не происходят. Вся эволюция в математике будет сводиться к простому накоплению и росту знания: ничего в ней не переоценивается, а сохраняется в нетронутом виде. На первый взгляд создается впечатление, что в математике прогресс осуществляется чисто кумулятивным способом. Против таких кумулятивистских представлений о развитии научного знания и выступает Томас Кун. На самом деле количественные, постепенные изменения (по Куну, период "нормальной" науки) в математике, так же как и в других науках, в конце концов, сопровождаются изменениями коренными, качественными – научной революцией.

Одним из первых философов, поднявших вопрос о научных революциях, был И.Кант. Он писал: " пример математики и естествознания, которые благодаря быстро совершившейся в них революции стали тем, что они есть в наше время, достаточно замечателен, чтобы поразмыслить над сущностью той перемены в способе мышления, которая оказалась для них столь благоприятной". Кант не сомневался в том, что в математике, как и в естествознании, произошли революции.

В чем суть революции в математике? Наиболее значительные революции в истории математики обычно связаны с обобщением ее понятий, теорий и методов, с расширением области их применения и возрастанием абстрактности, глубины, благодаря чему математика точнее и полнее отражает действительность. Но это в свою очередь требует коренного, качественного изменения концептуальной структуры математики.

Несомненно, что первая революция в математике связана с переходом от полуэмпирической математики Древнего Вавилона и Египта к теоретической математике древних греков. Кант связывал научную революцию с введением в математику доказательства (доказательство теоремы о равнобедренном треугольнике Фалесом). До Фалеса математика представляла собой свод правил для вычисления площадей фигур, объема пирамиды и т.д. Такой характер носила математика и в Египте, и в Вавилоне.

Фалес же поставил вопрос о доказательстве математических утверждений, а тем самым о построении единой, логически связанной системы. Системный подход при помощи доказательств от одного положения к другому явился новой, характерной чертой греческой математики. Математика сформировалась как наука, кроме того, в математику был внесен из философии дедуктивный метод рассуждений. Вторую по счету крупную революцию в математике следует отнести к XVII веку и связать с переходом от постоянных к изучению переменных величин.

На смену сформулированному еще Аристотелем утверждению о том, что математика изучает только неподвижные предметы, пришла идея Декарта о приложимости математики к исследованию любых процессов и объектов, в которых можно выделить меру и отношение. Характеризуя эту революцию, Ф.Энгельс писал: "Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало необходимым дифференциальное и интегральное исчисление ". Именно в этот период возникли новые понятия переменной, производной, дифференциала и интеграла, которые отсутствовали в прежней математике.

Основанные на этих понятиях дифференциальное и интегральное исчисление Ньютона и Лейбница дали возможность изучать процессы и движение. И, наконец, новые методы стали успешно внедряться в другие разделы математики, что привело к возникновению в дальнейшем дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и т.п. Третья революция в математике относится уже к XX веку, хотя ее начало и предпосылки возникновения связывают с прошлым веком.

Начать с того, что именно тогда получили признание неевклидовы геометрии Лобачевского, Римана и Бойяи, в связи с чем широкое распространение получили новые взгляды на аксиомы геометрии и геометрическое пространство вообще. В то же время была создана теория множеств Кантора, ставшая фундаментом всей математики.

Обнаружение парадоксов теории множеств и логики вылилось в кризис обоснований математики в начале XX века и возникновение новых теорий и концепций. Если раньше математику считали наукой о количественных соотношениях между величинами, то в нашем веке возник более широкий структурный взгляд (концепция абстрактных структур Н.Бурбаки), согласно которому математика рассматривается как наука, изучающая абстрактные свойства и отношения любого рода. Следствием революции, происшедшей в XIX веке в геометрии (создание неевклидовых геометрий), было также новое понимание принципов построения математики на основе аксиоматического метода.

Если до работ Лобачевского и др. только геометрия строилась аксиоматически, через постулаты, то после создания неевклидовых геометрий стало ясно, что подобным образом надо действовать во всех разделах математики. По-видимому, революции в математике затрагивают в первую очередь сферу философии математики, связанную с ее концептуальной структурой и проблемами философского обоснования. А это уже ведет к решительным преобразованиям в самой математике.

Для тог чтобы подвести итог нашим рассуждениям, охарактеризуем те качественные изменения, с которыми связаны революции в математике, следующими неотъемлемыми чертами: 1. Образование новых понятий или изменение, углубление смысла (значения) старых понятий. 2. Возникновение новых теорий и методов математики, которые радикально изменяют прежние представления. 3. Концептуальное обобщение идей и теорий математики, расширение их применения как внутри самой математики, так и в ее приложениях. 4. Изменение оснований математики и ее философии, завершающее революцию, происшедшую в математике.

Как говорил в свое время академик Л.Ландау, науки делятся на естественные (физика, химия), неестественные (гуманитарные) и сверхъестественные (математика). В этой шутке есть доля истины: математику нельзя отнести к естествознанию, но она не является и гуманитарной дисциплиной. Математика – это "сверхъестественная" наука, развивающаяся по своим особым законам, и поэтому для обсуждения особенностей научных революций в математике нам понадобился этот последний параграф. 3.