Методы качественной теории дифференциальных уравнений в анализе динамических свойств биологических процессов.
Простейшие модели этих двух систем впервые были предложены независимо А. Д. Лоткой в 1926 г. модель химической реакции и В. Вольтерра в 1931 г. модель хищник - жертва. Пусть имеется химическая реакция, протекающая по общей схеме А Х Y В- Молекулы А с некоторой постоянной скоростью ко превращаются в молекулы вещества X реакция нулевого порядка. Вещество X может превращаться в вещество Y. Важная особенность состоит в том, что скорость этой реакции тем больше, чем больше концентрация вещества Y. Это означает, что превращение X зависит не только от концентрации исходного реагента X, но и от продукта превращения Y. Иными словами, скорость этой реакции зависит от концентрации обоих веществ - исходного X и конечного У , а сама реакция протекает как реакция второго порядка.
Такие процессы, где скорость превращения исходного вещества пропорциональна концентрации продукта реакции, носят название автокаталитических.
Молекулы Y, в свою очередь, необратимо распадаются, в результате образуется вещество В. Ээкологическая модель Вольтерра. Пусть в некотором замкнутом районе живут жертвы и хищники, например зайцы и волки. Зайцы питаются растительной пищей, всегда имеющейся в достаточном количестве. Волки хищники могут питаться лишь зайцами жертвами. Обозначим число зайцев х, а число волков - у. Так как количество пищи для зайцев не ограничено, мы можем предположить, что зайцы размножаются со скоростью, пропорциональной их числу.
Пусть убыль численности зайцев пропорциональна вероятности встречи их с волками, т.е. пропорциональна произведению х х у. Количество волков также нарастает тем быстрее, чем чаще их встречи с зайцами, т.е. пропорционально х х у. В химической кинетике это соответствует бимолекулярной реакции, когда вероятность появления новой молекулы пропорциональна вероятности встречи двух молекул, т. е. произведению их концентраций. Кроме того, имеет место естественная смертность волков, причем скорость убывания численности особей пропорциональна их количеству.
Метод изоклин. Для качественною построения фазового портрета системы обычно используют метод изоклин. При этом на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. А Q x, y P x, y Давая А определенные числовые значения, получаем семейство кривых. В любой точке каждой из этих кривых угол наклона касательной к фазовой траектории, проходящей через эту точку, равен одной и той же величине, а именно величине А. 17.