Понятие о фазовой плоскости. Стационарные состояния биологических систем. Устойчивость стационарных состояний. Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х, у. Каждая точка М этой плоскости с координатами х, у соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости или плоскости состояний. Она представляет совокупность всех возможных состояний системы.
Точка М х, у называется изображающей или представляющей. Пусть при t to координаты изображающей точки М0 х0,у0 . В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений и принимать положение М х, у , соответствующее значениям х t, y t. Совокупность этих точек на фазовой плоскости х, у называется фазовой траекторией. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени.
Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легкообозримый портрет системы. Она позволяет сразу охватить всю совокупность возможных движений изменения переменных x, у , отвечающих различным начальным условиям. Фазовая траектория имеет касательные, тангенс угла наклона которых в каждой точке М х, у равен значению производной в этой точке dy x, y dt. Следовательно, чтобы провести фазовую траекторию через точку фазовой плоскости M1 x1,y1 , достаточно знать направление касательной в этой точке плоскости или значение производной.
Стационарное состояние - это состояние системы в котором переменные не изменяются. Устойчивость СС характеризуется поведением системы при отклонении от СС. Устойчивость стационарного состояния. Пусть рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Тогда изображающая точка на фазовой плоскости находится в неподвижности в одной из особых точек уравнения интегральных кривых, так как в этих точках, по определению, dx dt 0 dy dt 0. Если теперь вывести систему из состояния равновесия, то изображающая точка сместится из особой точки и начнет двигаться по фазовой плоскости в соответствии с уравнениями ее движения. Устойчива ли рассматриваемая особая точка, определяет соответственно то, уйдет или нет изображающая точка из некоторой данной области, окружающей особую точку эта область может быть большей или меньшей в зависимости от условий задачи. В действительности в природе реализуются стационарные состояния, которые обязательно являются устойчивыми.
Поэтому устойчивость стационарного состояния системы уравнений, представляющей собой математическую модель реальной системы один из основных критериев ее адекватности моделируемому объекту.
В практике моделирования биологических процессов используют аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния Пуанкаре и Ляпунова, который будет изложен в упрощенной форме. 20.