Две логики

Две логики. Еще в школе на уроках геометрии мы хорошо усваиваем сущность строгой логической системы: если удалось протянуть цепочку умозаключений от исходных постулатов до требуемого утверждения, то не остается никаких сомнений в его истинности (пока кто нибудь, подобно Лобачевскому, не усомнится в самих основах). Но если цепочка вывода достаточно длинна, то, зная одни аксиомы, построить доказательство без большого перебора нельзя. Поэтому здесь тоже нужны целые блоки умозаключений.

Для этого решаем сначала совсем простые задачи (цепочки коротки), а каждую уже решенную запоминаем – они и становятся понятиями более высокого уровня (это то, что мы называем путем «снизу»). Наиболее важные, то есть отражающие общие свойства всего круга задач утверждения, именуют теоремами – их то нужно помнить обязательно.

Теперь, столкнувшись с более трудной задачей, уже не придется сводить ее к постулатам, а лишь представить как комбинацию уже известных задач и доказанных теорем (от них путь вниз уже проделан). Решить задачу – значит, «выложить, как пол комнаты паркетом, задачу – аксиомами». Нахождение такой укладки отражает построение доказательства, то есть состава и порядка умозаключений.

Понятно, что если задача достаточно велика, то сразу с нею не справиться (все тот же большой перебор). Поэтому следует для начала расширить набор правильных утверждении. Возьмемся за более простые задачи.

Легко заполняем их аксиомами. Теперь, держа в уме эти блоки, можно снова вернуться к трудной задаче. Понятно, что она сводится к уже решенным. Именно так строятся занятия по учебнику или с хорошим учителем, когда специально подобранный ряд все усложняющихся задач позволяет постепенно наращивать знания ученика. А что делать в новой, неисследованной области? Если там есть сколько то установленных фактов, то с них все и начинается.

Внимательно изучаем их строение, стараемся обнаружить скрытую закономерность, некоторый общий принцип. Выявляем сходные контуры и мотивы – определяем для себя эвристики, которые позволят резко сузить число приемлемых гипотез. Дальше просеиваем правдоподобные варианты. Наконец, после долгих размышлений и неудачных проб, находим – эврика! – что все факты представимы как сочетания нескольких гипотез. Переживаем то редкое и надолго запоминающееся мгновение, которое называют озарением, инсайтом.

Понятно, что введение элементов гипотез – это уже знакомый нам путь «сверху». Загвоздка в том, что сами эти элементы могут оказаться слишком большими, слишком далекими от обыденных представлений, чтобы сразу быть выраженными на языке общеизвестного. Часто это просто смутные ощущения, когда сам автор догадки уже уверен в ее правильности, но еще не может убедить других. Как говорил Карл Гаусс: «… я знаю свои результаты, я только не знаю, как я к ним приду». И все же, несмотря на образовавшуюся логическую пропасть, возникновение таких неясных образов – ключевой этап. Он соответствует интуитивному решению, постановке новых задач, определяющих все дальнейшее: формулировку и обоснование гипотезы, а затем превращение ее в теорию.

Каждый интуитивный образ – «замок в облаках» – должен быть закреплен (дальнейшим подразбиением) на твердой почве аксиом и теорем. Ясно, что интуиция – это не что то мистическое, а итог движения мысли «вширь», вынашивания своего особого взгляда, упрощающего всю картину.

Итак, получаются две основные стадии создания теории: сначала угадывание языка максимально высокого уровня для описания имеющихся фактов, а потом – строгое обоснование. 4. Как исчислять идеи? В свое время великий Г.Лейбниц выдвинул программу «универсальной характеристики» – языка, символы которого отражали бы их смысл, то есть отношения к другим понятиям, – «его знаки сочетались бы в зависимости от порядка и связи вещей». Все мышление, по его идее, должно свестись просто к вычислениям на этом языке по определенным правилам.

Пока этот проект удалось воплотить лишь наполовину – формализовать дедуктивный вывод (его делает и ЭВМ), а логику изобретения, логику воображения – нет. Быть может, здесь окажется полезной комбинаторная геометрия (а наша модель относится к ней), цель которой – находить оптимальное сочетание некоторых элементов фигур (подобный подход использовал ранее Эдвард де Боно). Модель хорошо отражает различные ситуации, например, наличие конкурирующих теорий – нескольких систем фигур, в которые укладывается данное множество фактов.

Или появление факта, который не удается сложить из известных блоков. Тут приходится строить новую теорию – разбивать привычные фигуры на части и компоновать их по новому (производить, соответственно, анализ и синтез). Кроме чисто комбинаторных трудностей, препона тут еще и в том, что при долгом употреблении каждый образ начинает восприниматься как неделимое целое, с чем связаны догматизм в мышлении и бюрократизм в его многообразных проявлениях.

Как правило, здесь нужен свежий взгляд, которым нередко обладает «человек со стороны». Конечно, «игра в кубики» – лишь иллюстрация некоторых способов мышления, и говорить об универсальном подходе еще нельзя. И все же такая игра в некоторой степени проясняет, что мог иметь в виду Лейбниц, когда писал, что существует исчисление более важное, чем выкладки арифметики и геометрии, – исчисление идей. В мозгу, вероятно, неясным пока способом создаются связи и отношения между образами – энграммами памяти, а сам мыслительный процесс сводится к перестройкам этой структуры.

При этом действует и минимизация – мы ведь всегда ищем самое короткое представление совокупности фактов; раньше это называли принципом экономии мышления. Вообще, потребность в развитии какой то «новой математики и логики» назрела. Как указывали отцы кибернетики и теории систем Джон фон Нейман и Людвиг фон Берталанфи, «логика будет вынуждена претерпеть метаморфозу и превратиться в неврологию в гораздо большей степени, чем неврология – в раздел логики», и «уже давно предпринимаются попытки создать „гештальт математику“, в основе которой лежало бы не количество, а отношения, то есть форма и порядок». 5.