Исследования фракталов в биологии

Фрактальная геометрия дала возможность сжатого математического описания биологических структур и процессов, недоступных для описания языком геометрии Эвклида. «Ученые (я уверен) будут удивлены и восхищены, обнаружив, что немало форм, которые они были вынуждены называть зернистыми, подобными гидре, бородавчатыми, изъязвленными, ветвистыми, похожими на морские водоросли, странными, запутанными, извилистыми, волнистыми, клочковатыми, морщинистыми и тому подобными, отныне могут описываться строгим и точным количественным образом» (Mandelbrot, 1983, p. 5). Живая природа наполнена разнообразными фракталами, красота или невзрачность которых поддается простому и компактному описанию. Фрактальная геометрия уже провозглашена принципом дизайна живых организмов (Weibel, 1991) и может стать универсальным языком для описания и анализа биологических морфопроцессов.

Применительно к биологическому морфогенезу еще Д Арси Томпсон заметил, что раковина морского ушка Haliotis, головоногого моллюска Nautilus pompilius, закрученные рога копытных – повторение одной и той же структуры с симметрией подобия, в основе которой лежит логарифмическая спираль, или спираль Архимеда (D’Arcy Thompson, 1917).

Общая черта фрактальных ветвящихся структур в живой природе - увеличение площади раздела фаз, максимальное заполнение пространства, что обеспечивает живым организмам максимизацию площади обмена с окружающей средой и соответствующую интенсификацию метаболизма при минимизации общего объема (принцип минимакса). В этом - биологическая функция фрактальных структур, создающих огромное разнообразие биологической формы и функции. Именно фрактальная размерность представляет собой показатель, меру заполнения пространства фрактальной структурой. Фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное; фрактальная плоскость частично выходит в трехмерное пространство. Уже постулировано, что фрактальные структуры обеспечивают добавочное четвертое измерение жизни: хотя живые существа занимают трехмерное пространство, их физиология и анатомия функционируют так, как если бы они были четырехмерными (West et al., 1999).

Исследования фракталов и хаоса в биологии постепенно охватывают все уровни организации живого, от молекул до экосистем. Даже простое и далеко не полное перечисление тематики дает представление о размахе (или пока еще - замахе) исследований фракталов в биологии и биомедицине. На молекулярном уровне это изучение первичной и вторичной структуры ДНК, РНК, белков, других макромолекул и их комплексов, динамики окислительных процессов и т.д. На субклеточном и клеточном уровне исследуются фрактальные свойства пространственной организации мембран, цитоплазмы, ядер, распределения рецепторов и молекул адгезии (одна из вновь открытых молекул клеточной адгезии получила название «фракталкин»), кинетика связывания лигандов с рецепторами, динамика клеточного движения, морфология различных клеток и их ассоциаций. Тканевой уровень фрактальных исследований включает морфологическую организацию и разнообразные гистогенезы в норме и патологии, особенно при онкогенезе. На уровне органов и организма изучается фрактальная организация дыхательной, сосудистой и других систем животных и растений, множество физиологических и поведенческих реакций организма в норме и патологии. Словом, распределение исследований фракталов в биологии само представляет собой быстро растущий и ветвящийся фрактальный кластер.

На основе программ с использованием алгоритмов построения фрактальных структур созданы компьютерные имитационные модели ряда биологических объектов. Итеративная система функций, примененная к определенной матрице изображения, дает достаточно реалистические изображения растительных объектов даже без введения случайных чисел (рис.45, 46, 47).

Рис. 45. Изображение листа папоротника, построенное с помощью детерминированной системы итерированных функций (Кроновер, 2000)

Рис. 46. Фрактальные растения (Mandelbrot, 1983)

Рис. 47. Асимметричное фрактальное дерево (Mandelbrot, 1983)

При этом осуществляется значительное сжатие информации: так, для построения листа папоротника использованы 24 параметра вместо сотен тысяч точек, необходимых для передачи того же изображения без использования фрактальной программы (Юргенс и др., 1990). Еще более реалистические изображения можно получить с использованием датчика случайных чисел – при этом деревья перестают быть симметричными, приобретая большее сходство с живым объектом (простейший пример –рис. 48).

Рис. 48. Фрактальные деревья, построенные без введения случайных чисел (наверху) и с различной степенью рандомизации

Математическая концепция фрактального скейлинга (масштабной инвариантности) дает новую логику для понимания структуры, формообразования и функционирования биологических систем, генетическое кодирование и механизмы морфогенеза которых могут использоваться повторно и многократно, что обеспечивает сжатость генетической информации.

Итак, для морфологических описаний наряду с обычно используемой классической геометрией Эвклида в биологии и биомедицине все шире применяется язык фрактальной геометрии. Такой подход может быть более адекватным, а иногда и совершенно необходимым для описания биологических объектов и процессов,

поскольку они обладают фрактальными свойствами, характеризуясь фрактальной (дробной) размерностью и масштабной инвариантностью, или самоподобием (Mandelbrot, 1977, 1983; Weibel, 1991, 1993; Metzger, Krasnow, 1999; West et al., 1999; Исаева и др., 2001).