Вычисление среднего квадратического отклонения для больших выборок

 

Задание. Вычислить среднее квадратическое отклонение (S) для данной группы спортсменов по весу

1 Составить вариационный ряд (табл. 14).

2 Определить частоту (р) значений веса в каждом классе.

3 Найти условные отклонения (а) от условного среднего класса.

4 Найти произведение частоты на условное отклонение (графа 5).

5 Условное отклонение возвести в квадрат (графа 4).

6 Вычислить произведение частоты на квадрат условного отклонения (графа 6).

7

По формуле вычислить среднее квадратическое отклонение:

 

Таблица 14 – Вычисление среднего квадратического отклонения

Границы классов (Wн–Wв)	Частоты (р)	Условные отклонения
(а)	(а)2	ра	ра2
42 –45		–3		–3
46 –48		–2		–10
49 – 51		–1		–12
52 – 54
55 – 57
58 – 60
61 – 63
64 – 67
Sр = n = 50	Sра = 9				Sра2 = 123

 

Нужно обратить внимание на то, что S имеет два знака (+ и –). Это свидетельствует об отклонении вариант от средней арифметической как в положительную, так и в отрицательную сторону. Среднее квадратическое отклонение является показателем разнообразия признака. Согласно правилу 3 S почти все варианты должны укладываться в интервал от –3 S до +3 S, если минимальный вариант (min вес) не ниже Х–3S, а максимальный (max вес) не выше Х_ср+3 S, то наблюдения ведутся над однородной генеральной совокупностью.

В нашем примере: Х_ср + 3 S = 53,5 + 14,04 = 67,54

Х_ср – 3 S = 53,5 – 14,04 = 39,46

Как видим, минимальный вариант 42 не ниже Х – 3 S , т.е. 39,46, а максимальный вариант 67 не превышает Х=3 S, т.е. 67,64. Таким образом, выборка однородна, и изучаемые особи относятся к одному вариационному ряду. Среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах, которыми измеряется признак, т.е. является поименованной величиной.

 

Коэффициент изменчивости (вариации)

Основное достоинство среднего квадратического отклонения заключается в том, что оно дает полную количественную характеристику изменчивости изучаемого показателя. Однако сравнить изменчивость двух групп с разными средними значениями изучаемого признака и, тем более, изменчивость разных признаков с помощью данного показателя, нельзя. Вот здесь на помощь и приходит следующий показатель изменчивости – коэффициент изменчивости или вариации.

Коэффициент изменчивости характеризует изменчивость в относительных величинах. Это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической для данной выборки, выраженное в процентах. Коэффициент изменчивости определяется по формуле:

где C_v – коэффициент изменчивости; S – среднее квадратическое отклонение; Х_cp – средняя арифметическая.

 

Вычислить C_v для изучаемых Вами признаков. В нашем примере:

 

Коэффициент изменчивости позволяет сравнивать степень изменчивости разных признаков. Чем коэффициент изменчивости выше, тем общая изменчивость признака тоже выше. Низкие коэффициенты изменчивости указывают на генетическую однородность популяции по данным показателям, высокие коэффициенты изменчивости свидетельствуют о ее неоднородности.

Ориентировочно считают, что если C_v< 5% – изменчивость низкая, C_v от 5 до 10% – средняя, C_v >10% – высокая. Максимальное значение коэффициента изменчивости обычно не превышает 30%.