DP - f(x)dx

где f(x) - плотность вероятности или функция распределения вероятностей.Она показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой

этой величины:

-вероятность того, что случайная величина

принимает значения в интервале (ав)

- условие нормировки для непрерывной случайной величины.

 

-функция

распределения непрерывной случайной величины.

Это вероятность того, что случайная величина принимает значения от бесконечности до X

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Нормальный закон распределения:

е = 2.71828..., е = ехр (экспонента), е^х = ехр(х), е-^х = ехр(-х) График нормального закона - кривая Гаусса.

Иные записи закона Гаусса (нормального закона распределения):

[

ОСОБЕННОСТИ КРИВОМ ГАУССА:

 

· колоколообразная форма.

-ветви кривой Гаусса экспоненты (убывающая и возрастающая)

1. кривая Гаусса симметрична относительно х = М(х).

М(Х) является центром рассеивания;

-максимум кривой Г аусса

соответствует точке с координатами (х, f_MaKc(x)), х = М(х);

 

- координаты максимума кривой Гаусса определяем по формуле нормального распределения, учитывая х = М(х):

(вершина графика);

-ветви асимптотически приближаются к оси ОХ,

· чем больше а, тем менее острая вершина,

Сравнение функций плотности вероятности (кривых Гаусса) трёх нормальных случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями, но разными дисперсиями.

· изменение математического ожидания М(х) сдвигает вершину графика влево или вправо,

 

· площадь, заключенная под кривой равна 1(выполняется условие нормировки);

· выполняется правило «трёх сигм»;

· нормальному распределению соответствует

· симметричная гистограмма.

 

Графическая иллюстрация правила «трёх сигм»

1.Вероятность появления случайной величины в интервале значений (М(Х) ± σ) равна 68%

То есть в интервале значений (М(Х)± σ) находится 68% случайных величин из нормального распределения случайных величин.

2. Вероятность появления случайной величины в интервале значений М(Х)±2σ равна 95%.

То есть в интервале значений (М(Х)±2σ)находится 95 % случайных величин из нормального распределения случайных величин.

 

3. Вероятность появления случайной величины в интервале значений (М(Х)±За) равна 100%- точнее 99,97%,

(это соответствует условию нормировки: площадь под кривой равна 1), следовательно. практически все случайные величины нормального распределения находятся под кривой Г аусса.

То есть в интервале значений (М(Х)±За) находится 100 % (точнее - 99,97%)

случайных величин из нормального распределения случайных величин.

 

Г истограмма

Г истограмма (от греч. histos, здесь столб + gramma — черта, буква, написание) — способ графического представления табличных данных.

Г истограмма в виде столбиковой диаграммы используется в статистике для графического представления распределения вероятностей значений некоторой случайной величины.

Для нормального закона распределения характерен симметричный вид гистограммы.

По форме гистограммы можно оценить, какому статистическому закону распределения подчиняется случайная величина. Например, если все столбцы гистограммы примерно одинаковы, то равномерному, если в виде симметричного «холма», как представлено на рисунке, то нормальному закону распределения. По гистограмме на рисунке можно предположить, что случайная величина х описывается законом, близким к нормальному, и имеет наиболее вероятное значение, лежащее в пределах 80-90. Достаточно вероятными будут значения из интервала 60-100, и очень маловероятными - меньше 30 и больше 120.

Гистограмма частот - это совокупность смежных

прямоугольников, построенных на одной прямой линии. Основания прямоугольников одинаковы, а высоты равны относительной частоте ш/п (вероятности).

Современный тонометр, используемый как домашний кардиоцентр, представляет не только результаты измерения артериального давления и пульса, но и построение гистограмм, наглядных графиков результатов измерения.

 

Пакет анализа данных MS Excel позволяет построить из любого ряда данных гистограмму распределения значений, автоматически рассчитывая оптимальные параметры. На рисунке представлено графическое

распределение значений концентрации гемоглобина.

Чем большее число наблюдений будет в исследовании, тем лучше получится график функции с симметричным видом.

В качестве примера далее приведен фрагмент отчета по учебно- исследовательской самостоятельной работе студентов - УИРС, по изучению распределений случайных величин антропометрических данных, таких как, ЖЕЛ (жизненная ёмкость лёгких), ЧСС (частота сердечных сокращений), рост, масса, АД (артериальное давление), ЧД (частота дыхания).

ЗАДАНИЕ: исследовать значение пульса студентов I курса.

ОТЧЕТ:

Учтены данные измерений частоты сердечных сокращений - ЧСС 50 студентов I курса.

Представляем полученные данные в виде статистического ряда:

 

Выделяем max и min значения ЧСС:

ЧCC_min= 55 удар/мин

ЧСС_тах= 94 удар/мин

4. При обработке статистических значений берём 5 интервалов с шириной интервала ∆ЧСС

, В качестве взяли максимальный

десяток, в который входит , т.е. 100, а в качестве взяли минимальный десяток, в который входит , т.е. 50.

Полученные интервалы: 50 - 60; 60 - 70; 70 - 80; 80 - 90; 90 - 100.

Середины интервалов соответственно равны: 55, 65, 75, 85, 95.

 

При расчёте попадания случайных величин в каждый интервал нижний предел входит в данный интервал, а верхний не входит, так как он учитывается далее как нижний предел в следующем интервале. Например, значение 60 мы учитываем только во втором интервале. Значения 70, 80, 90 учитываем в следующих интервалах, которые они открывают.

5. В работе используются следующие формулы для определения числовых характеристик изучаемого распределения:

-плотность вероятности.

 

Функция кривой Гаусса для расчета значений по отношению к середине интервала ;

АЧСС

б) - максимальное значение кривой Гаусса (для математического ожидания);

в)- среднее арифметическое значение

частоты сердечных сокращений;

г) математическое ожидание ;

д)

 

Составляем рабочую таблицу для построения гистограммы частот:

 

 

7. Проверяем правило «трёх сигм» по полученным данным М и а: для этого определим границы доверительных интервалов и число случайных величин, попадающих в интервал –

 

8. Составляем таблицу для построения кривой Гаусса:

 

9. На основании проведенных расчетов строим кривую Гаусса и гистограмму частот :

 

Выводы:

· Сумма всех плотностей вероятностей в интервалах равна единице, следовательно, выполняется условие нормировки.

· Математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому.

· в Из 7) пункта отчёта следует, что выполняется правило «трех сигм».

· Сумма распределений вероятности для середины каждого интервала равна единице.

· Гистограмма имеет практически симметричный вид, следовательно, выполняется нормальный закон распределения.

· Кривая Гаусса симметрична относительно М(ЧСС), максимум кривой соответствует математическому ожиданию.

Экспериментально получено подтверэюдение выполнения нормального закона распределения для случайных величин при исследовании антропометрических данных.

Вопросы для самопроверки:

4. Что называется дискретными и непрерывными случайными величинами?

5. Что называется условием нормировки?

6. Как вычислить математическое ожидание для дискретных и непрерывных случайных величин?

7. Как вы понимаете термин "плотность вероятности"?

8. Как определить дисперсию для дискретных и непрерывных случайных величин?

9. Как вычислить среднеквадратическое отклонение?

10. Как построить гистограмму и кривую Гаусса?

11. Какие особенности гистограммы и кривой Гаусса вам известны?

12. Что определяет нормальный закон распределения?

13. 10.Что показывает правило "3-х сигм"?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТЫ СЕРДЕЧНЫХ СОКРАЩЕНИЙ (ЧСС)

Цель работы: зная статистические методы обработки медицинских и биологических данных, исследовать предложенные значения результатов эксперимента по измерению ЧСС и проверить соответствие данного распределения нормальному закону распределения.

Приборы и оборудование:

Табличные данные, представленные преподавателем, либо результат самостоятельных измерений ЧСС с использованием секундомера или цифрового тонометра.

Рабочие Формулы:

-плотность вероятности- функция кривой Гаусса для расчета значений по отношению к серединам интервалов.

 

-максимальное значение кривой Гаусса

( для математического ожидания)

 

среднее арифметическое значение частоты сердечных сокращений

 

М( ЧСС) – математическое ожидание,

 

 

- дисперсия

 

 

- среднеквадратическое значение