Решение задач

Решение задач. Задача 1. Проложить прямую На местности колышками обозначены две удалнные друг от друга точки. Как проложить через них прямую и, в частности, как можно без помощника устанавливать колышки на прямой между данными точками Решение Пользуясь зрительным эффектом, состоящим в загораживание двух колышков третьим, стоящим на общей с ними прямой, нетрудно установить ещ один колышек в некоторой точке С на продолжении отрезка с концами в двух данных точках А и В. после этого точки отрезка АВ можно построить с помощью того же эффекта, поскольку они будут лежать на продолжении либо отрезка АС, либо ВС в зависимости от того, какая из точек - А или В - находятся ближе к точке С. Вообще, любая точка прямой АВ будет лежать на продолжении хотя бы одного из отрезков АВ, АС или ВС. Задача 2. Точка пересечения прямых На местности колышками обозначены две точки одной прямой и две точки другой прямой.

Как найти точку пересечения этих прямых Решение Пользуясь зрительным эффектом, указанным в решении задачи 1, легко найти точку пересечения прямых в том случае, если сразу ясно, что она лежит на продолжениях обоих отрезков с концами в данных точках.

В противном случае достаточно сначала проложить одну или обе прямые так, чтобы на каждой из них с одной стороны от предполагаемой точки пересечения были отмечены по две точки.

Задача 3. Симметрия относительно точки На местности обозначены точки А и В. Найдите точку С, симметричную точке А относительно точки В. Решение Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Для этого понадобится измерить в подходящих единицах длины расстояние между точками А и В. Задача 4. Параллельная прямая На местности обозначены три данные точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

Через точку А проложите прямую, параллельную прямой ВС. Решение Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку D на расстоянии АВ от точки В. Продолжим прямую СD за точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии СD от точки С. Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС, являющемуся средней линией треугольника АDЕ. Заметим, что предложенный способ выгодно отличается от множества других способов, опирающихся на измерение углов или на деление отрезка пополам.

Задача 5. Нахождение середины отрезка.

Найдите середину отрезка АВ, заданного на местности двумя точками А и В. Решение Возьмм какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую CВ за точку С и отложим на ней точку D на расстоянии 2ВС от точки С. Продолжим прямую АD за точку А и отложим на ней точку Е на расстоянии АD от точки А. Искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС. Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG - средней линии треугольника CDE здесь G - середина отрезка CD. Так как, кроме того, BC CG, то CF - средняя линия треугольника ABG, откуда AF FB. Задача 6. Деление отрезка в данном отношении Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В, требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков KL и MN, заданных на местности точками K, L и M, N. Как это сделать Решение Построение точки F, делящей отрезок АВ в отношении AFBF KL MN, произведм аналогично построению середины отрезка АВ, описанному в решении задачи 5. Отличие будет состоять в том, что точку С выберем на расстоянии KL от точки В, а точку D - на расстоянии 2MN от точки С. В этом случае прямая EC по-прежнему будет параллельна отрезку AG, а значит, разделит отрезок АВ в том же отношении, в котором она делит отрезок BG. Задача 7. Построение биссектрисы угла На местности обозначены три точки A, M и N, не лежащие на одной прямой.

Проложите биссектрису угла MAN. Решение Выберем на стороне данного угла точки В и С, а на другой - точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства AB BC AD DE. Найдм точку О пересечения прямых ВЕ и CD. Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике ACE биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан EB и CD. Задача 8. Построение перпендикуляра к прямой Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки А и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящей через данную точку H Решение Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В ещ две точки D и E в двух разных, но не противоположных направлениях.

Найдм точку F пересечения прямых AE и CD, а также точку G пересечения прямых AD и CE. Прямая FG перпендикулярна прямой АВ. Действительно, точка А, Е,D и С равноудалены от точки В, т.е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADC и AEC прямые, поэтому AD и CE высоты треугольника AFC. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку H, достаточно теперь проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG. Задача 9. Построения под заданным углом На местности обозначены точки А и В. Найдите точки C, D и E, для которых выполнены равенства BAC45, 6O, 3O. Решение Проложим перпендикуляр к прямой АВ, пересекающий в какой то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложить точки С и F, удалнные от точки В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен 45 из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС. На прямой AF отложим точку G на расстоянии АВ от точки А, а затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии CG от точки В. Тогда угол ВАD равен 6О, так как по теореме Пифагора для прямоугольного треугольников АВС, ACG и ABD имеют место равенства Для построения точки Е теперь остатся проложить биссектрису угла BAD. Задача 10. Измерение высоты дерева.

Высоту деревьев можно определить при помощи шеста.

Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева.

Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста.

Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой aC, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол.

Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено.

Остатся только на основании подобия треугольников adc и aBC вычислить ВС из пропорции ВС bc aC ас, Откуда Расстояния bc, aC легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние CD которое также измеряется непосредственно, чтобы узнать искомую высоту дерева.